浅谈函数思想在高中数学解题中的运用分析

李 侠

(江苏省连云港市灌南高级中学 222500)

在课程改革的大环境下，高中数学提倡提升学生的数学思维培养和能力提升.函数思想作为一种较为高级的思维模式，在数学题目求解过程中将函数思想运用进来可以促进解答效率的提升.所以，在日常课堂教学中，教师应将培养学生函数思维视为教学重点内容，启发和引导高中生寻找题目的正确解题思路，促使学生透过题目复杂的现象看到本质规律，将函数思维灵活运用进来.

一、函数思维的内涵和方法

1.函数思想的内涵

函数思想是解决数学问题的一种思维方式，是量与量之间的变化关系的一种反应，对函数而言，通常是一一相对的.所以，“规律”一词可以概括函数思维的基本内涵.比如，在y=f(x)这一函数中，以f为对应法则，变量范围就是函数的基本构成要素.在函数中，处于重要地位的通常是自变量的变化情况，它直接决定着因变量的值.然而，对于值域而言，其结果主要是由对应法则、定义域所决定的.三者之间存在着紧密的关系.站在整体的角度来讲，对应法则、因变量、自变量，三者之间的关系以及不断变化规律均可以通过函数显示出来.此外，运用函数思维进行数学问题的解答通常需要建立辅助函数，将问题转化成函数形式，再运用函数性质求得结论，依据我们常用的二次函数、一次函数、正比例函数、指数函数、反比例函数等来进行题目求解.所以，函数思维中所涵盖的内容量较大、复杂，需要学生能够统筹兼顾函数思想，合理的运用其解答数学问题，而数学教师应做好辅助引导的工作，为学生提供解题帮助.

2.函数思想的运用方法

常用的函数思想运用方法主要有：第一，整体法，即根据题目的整体形式进行统一思考，使解题过程更加便捷.这要求学生理解整体与局部的关系，善于从整体角度把握不同信息之间的关系.第二，递推思想法，这种方式指的是采用递推关系探索方式进行具备一定数学规律的题目的求解，构建函数，并运用函数思想解决问题，通常这种方式要求题目有迹可循，且与函数具有共同之处，这种运用方式在数列问题中比较实用.第三，归纳假设法，即凭借不完全归纳进行数学问题的归纳假设，再进行假设验证.在这种方法运用中通常需要建立函数，运用函数思想及其变化规律开展问题求解.

二、函数思想应用于数学解题的现实意义

1.削弱问题理解难度

高中阶段数学知识难度增加，理论性强，对学生的逻辑思维要求较高，若学生的基础薄弱，逻辑思维不强，在学习起来将具有较大难度.在数学题目的解题过程中，部分学生很难找到解题的窍门和方式，加之数学题目的内容及要求变化多样，要求学生详细了解已知条件、限定条件等，再进行问题的解答分析.部分学生在高中数学知识解答中凭借大量的习题训练，或背诵模板的方式来达到解题的目的，但这样的学习效果相对不明显，这主要是由于学生对数学思维的理解不够透彻而导致的.在数学问题的解题中，运用函数思想能够促进学生对知识内容的理解，并在一定程度上降低学生对问题的理解难度，促进学生在较短的时间内寻找到更加良好的解题办法，建立辅助函数，绘制函数图像等，将复杂化的函数知识利用相对直观的方式表现出来，在图像的指引下帮助学生分析和解答问题，进而促进学生更快、更好的解答题目.

2.提升教学效率

因高中数学知识自身具有的较高难度，不但对学生的理解能力有较高的要求，为教师的教学方式也带来更大的挑战.教师应在教学中帮助学生寻找解题的思路和方法，使学生能够拨开云雾见青天，找到解题的门路.函数思想的运用可对学生解题的过程发挥推动作用，教师在教学中加强函数思想的渗透、拓展，凭借函数图像等进行问题分析，帮助学生理解题目的用意，确保教师与学生思路一致，这样即可极大提升教学的教学效率，构建更加高效的高中数学教学课堂.

三、函数思想在高中数学中的应用

1.利用函数思想解决次数列问题

在高中阶段的数学知识内容中，数列题型很常见，将函数思想引入该类问题的解答过程颇具裨益.在数列中，每个数字均被视为数列的项，然而在题目的求解中则可以将每个项视为项数的函数.针对变量的规律以及变量的发展变化的研究是函数思想的本质内容，数列主要研究的是数量的分布特征.显而易见，函数与数列之间具有一定的相通性，学生可采用数列曲线图的方式来掌握数列的规律.然而，值得注意的是，在图像表达中函数具有连续性，而数列属于正数点位，这也是数列具有离散性特点的重要原因.对此，高中生务必具备对数列基本知识有所了解，再借助图像把握其变化规律和特点，掌握二者之间的不同点，进而实现从函数角度对数列问题的解答，提升其正确性.

2.利用函数思想解决不等式问题

不等式证明在高中阶段数学题目中占有较大比例，这类题型具有一定的难度，对学生的数学思维也具有较高的要求.在不等式问题的证明题类型求解时，教师和学生均发现了其解题方式与函数之间的关联，可以将函数思想运用至不等式证明中来，从根本上讲就是求解对应函数的零点、度计应区间及其单调性问题.不等式证明要求高中生具备较好的数学逻辑思维，在充分考虑不等式形式自身的同时兼顾集的范围.此外，并注意已知中给出的限定条件加以判断.若不善于运用函数思想或绘制图像，则会使学生难以理解，很容易出现解题错误.对此，高中数学教师在不等式题型的讲解中，应加强函数思想的渗透和运用.

比如，已知不等式a2+am+3>4a+m恒成立，并且0≤m≤4，求a的取值范围.在解题中，即可以m为自变量，建立函数：y=(a-1)m+a2-4a+3，由此，不等式即可转换为y>0恒成立，再根据0≤m≤4这一限定条件进行分析，就可以计算出a的取值范围，最终完成求证题目.

在此过程中，数学教师应根据学生的需求进行数学思想的渗透，引导学生在解题过程中寻求技巧，熟悉解题流程，使不等式求解的题型练习成为推动学生数学思维养成的有效方式，在不断的运算和思考中帮助学生掌握数学思维的运用技巧.此外，教师可以针对相似题目进行类推，对已有题目举一反三，转变题型，反复训练学生思维能力和函数思想应用能力，促进综合能力发展.

3.利用函数思想解决方程式问题

在高中数学方程式问题的解答中，对于存在多个未知数的问题中，学生经常会感到困惑、束手无策，这时，善于利用函数思想将取得良好效果.首先，学生审题后可以依据题目中给出的已知条件列解析式，在根据解析式的类型进行具体分析.可以将函数式视为已知是“0”的数量，再转化方程式，对方程式两端进行简要处理，对于相对复杂的方程式可以先作移项处理，再绘制方程式图像，按照图像依据作问题解析.

例如，“f(x)=mx2+nx+c(m>0)，方程f(x)-x=0 的两个根x1,x2,满足0