一类Burgers-KdV方程的李群分析、李代数、对称约化及精确解

胡彦鑫，郭增鑫，辛祥鹏

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

在数学、物理、生物以及工程的相关领域中,如固体物理、光学纤维、化学动力等，非线性发展方程能够对其某些特定的复杂现象进行描述。随着人们认知水平的提升，在对自然的不断探索中发现越来越多的物理、工程等问题，这些现实中的问题都可以通过数学方法将其转化成相应的非线性偏微分方程的求解问题。因此,方程精确解的研究是十分有意义的。当前,非线性发展方程的求解已经有了非常多成熟的方法,例如(G′,G)展开法[1-3]、齐次平衡法[4-6]、F-展开法[7-9]、双曲函数展开法[10，11]等。 Burgers-Kortewegde Varies方程最早在研究液体在不同场景下流动的相关问题所提出来，它也经常作为在研究一些物理现象的内在规律控制方程，因此对于Burgers-Kortewegde Varies方程的研究是十分有意义的，在本世纪初，已经有了许多对于各种不同形式的Burgers-Kortewegde Varies方程的研究，本文将研究如下形式的Burgers-Kortewegde Varies方程

ut+αux+βuux+γu2ux+δuxxx=0,

(1)

其中u=u(x,t),α,β,γ,δ为任意常数,方程(1)由Burgers-Kortewegde Varies方程[11]变形得到。在流体力学领域有十分广泛的应用。在此之前,文[12]已采用展开法得到方程(1)的精确解,文[13]使用首次积分法也得到了不同的精确解。本文将辅助函数展开法构造方程(1)新的精确解,所得结果丰富了该方程的精确解的种类,方法也更加简便,所得精确解与之前相比更加简洁。

李群与微分方程的联系由来已久,其创始人S.Lie在探索微分方程的对称性[14-16]的时候首次提出了李群的概念。如今,如何让构造方程的精确解成为了微分方程这门学科中一个非常重要的课题。而使用李群方法,可以通过寻找方程的李点对称[17],将偏微分方程转化为当下研究已经非常透彻的常微分方程,最终可以构造方程的群不变解。在本文中,利用李群方法得到了方程(1)的对称及约化方程[18]。

本文由5部分组成:第1部分求出方程的李点对称;第2部分构建一维李代数的最优系统;第3部分利用对称将原方程约化为了常微分方程；第4部分结合齐次平衡法与构造辅助函数展开法构造了方程(1)新的精确解;第5部分对全文做简要总结。

1 方程(1)的对称

设方程(1)的向量场为

(2)

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),φ(x,t,u)是待定函数。如果向量场是方程的李点对称，则要满足

pr(3)V(Δ)|Δ=0=0,

(3)

其中Δ=ut+αux+βuux+γu2ux+δuxxx,可以得到方程(1)的三阶延拓为

pr(3)V=φt+βuxφ+(α+βu+γu2)φx+δφxxx=0,

(4)

式中φt,φx,φxxx是由(2)式中的ξ(x,t,u),τ(x,t,u),φ(x,t,u)的微分项决定

φt=Dt(φ-ξux-τut)+ξuxt+τutt,

(5)

φt=Dx(φ-ξux-τut)+ξuxx+τuxt,

(6)

φt=Dxxx(φ-ξux-τut)+ξuxxxx+τuxxxt,

(7)

这里(5)-(7)中的Dx,Dt是关于t,x的全微分算子。

将方程(5)-(7)带入(4)，由对称的相关条件，令包含u的各阶导数的系数均等于零，可得到关于ξ,τ,φ的决定方程组，对方程组进行求解后可得出方程(1)的李点对称

(8)

式中的C1,C2,C3为任意非零常数,下面将上述结果做分类讨论。

(a) 当C1=1,C2=C3=0时,

(9)

把(9)式代入(2)式，得到

(10)

(b) 当C2=1,C1=C3=0时，

φ=0,τ=1,ξ=0,

(11)

把(11)式代入(2)式，得到

(12)

(c) 当C3=1,C1=C2=0时,

φ=0,τ=0,ξ=1,

(13)

把(13)式代入(2)式，得到

(14)

综上,得到了方程(1)的三个李点对称,第2部分中利用对称构造出方程(1)的一维最优系统，在第3部分中利用对称将方程(1)转化为常微分方程。

2 李代数与最优系统

我们在第1部分中已经求出的方程(1)的李点对称向量场为

(15)

表1 李代数交换子表

表2 李代数伴随表

根据求一维最优系统的方法，设一个非零的V∈L3,L3是构成李代数

V=a1V1+a2V2+a3V3，

(16)

其中a1,a2,a3是任意常数。

综上得到方程(1)的一维最优系统为{V1,V2,V3,V1+λ1V2}，λ1是任意常数。

3 对称约化

对称约化是常用的约化方法之一,利用第1部分中的向量场可对方程(1)进行对称约化，从而可使方程(1)转化为常微分方程。接下来基于第1部分的(10)、(12)、(14)式,对方程进行对称约化。

(17)

(18)

u=f(ξ2)，

(19)

其中ξ2=x，代入(1)得到约化方程

αf′+βff′+γf′f2+δf‴=0,

(20)

u=f(ξ3)，

(21)

其中ξ3=t，代入(1)得到约化方程

f′=0,

(22)

至此，我们完成了对于方程(1)的约化。

4 方程(1)的精确解

接下来将选取第1部分的对称中C1=0的情况，令u(x,t)=u(ψ),ψ=x-qt这里的q是任意常数。

将变换代入(1)得

-qu′+αu′+βuu′+γu2u′+δu‴=0,

(23)

对(23)积分得

(24)

对于方程(24)假设方程有解

(25)

这里的ω=w(ψ)，并且满足方程

ω2-ω′+μ=0,

(26)

这里的αm,μ是任意常数。

由齐次平衡原理得

m=1,

(27)

则方程有解

(28)

将(26)、(28)代入(24)得

提取ωm的系数得到超定方程组

(29)

可以求出α-1,α0,α1,q的值，我们选取以下两种情况

(30)

(31)

其中P是以下方程的实根

p2γ+6δ=0。

(32)

(i) 把(30)代入(28),当μ>0时,精确解为

(33)

当μ<0时,精确解为

(34)

当μ=0时,精确解为

(35)

(ii) 把(31)代入(28),当μ>0时,精确解为

(36)

当μ<0时,精确解为

(37)

5 总结

利用李群方法对一类 Burgers-Kortewegde Varies方程进行了研究，得到了方程的对称，构建了一维李代数的最优系统，得到了约化方程,并采用了辅助函数展开法得到了方程的一系列新精确解,具有一定的理论意义,该研究方法可以应用于其他的非线性发展方程,希望本文中的结果对于日后微分方程的研究能够提供帮助。