渐近非扩张半群不动点的隐式黏滞迭代逼近

（渤海大学 数理学院，辽宁 锦州 121013）

关于渐近类非线性映象不动点的迭代序列收敛性问题，一些学者做过研究，如文献[1-4]。文献[1]引入了渐近非扩张映象隐式黏滞迭代，在Hilbert 空间中，在一定条件下，证明了该序列{xn}强收敛于变分不等式＜（A -γf）q，z -q＞≥0，∀z∈F 的唯一解，其中A 为强正算子，f为压缩映象。文献[2]引入了渐近非扩张映象黏性迭代xn+1=αnf（xn）+βnxn+γnTnxn，其中f 为压缩映象，并在Banach 空间中，研究了渐近非扩张映象不动点的黏性迭代逼近问题。文献[3]引入并研究了渐近伪压缩型强连续半群隐式迭代序列xn=αnxn-1+βn（T（tn））nxn+μn（T（tn））nxn-1+γnun，推广了文献[4]中的结果。文献[5-6]分别研究了渐近非扩张映象和严格伪压缩映象迭代收敛性。文献[7-11]研究了包括严格伪压缩半群、Φ-压缩型映象在内的几类映象不动点存在性与迭代逼近问题。受上述工作启发，本文引入并研究渐近非扩张半群对的隐式黏滞迭代序列，并在一定条件下，在Hilbert 空间中建立了渐近非扩张半群对公共不动点的隐式黏滞迭代序列的强收敛性定理，推广和改进了相关文献中的结果。

1 预备知识

定义1设E 是Banach 空间，C 是E 的非空闭凸子集，

（i）若存在α（0 ＜α ＜1），对∀x，y∈C 有‖f（x） -f（y）‖≤α‖x -y‖，则称映象f：C →C 是压缩的；

（iii）若存在常数L ＞0，使得∀x，y∈C，∀n≥1，有‖Tnx -Tny‖≤L‖x -y‖，则称映象T：C →C是一致Lipschitz 的；

易知若T 是渐近非扩张的，则T 一定是一致Lipschitz 的，其中

设C 是Banach 空间E 的非空闭凸子集，R+表示非负实数集。一族映象T={T（t）：t∈R+}，其中T（t）：C →C 称为渐近非扩张半群，如果满足下列条件:

（i）T（0）x=x，∀x∈C；

（ii）T（s+t）x=T（s）T（t）x，∀x∈C 和∀s，t∈R+；

‖（T（t））nx -（T（t））ny‖≤（1+hn）‖x -y‖。

存在常数L ＞0，使得∀x，y∈C，∀t≥0，∀n≥1，有

则T 称为一致L-Lipschitz 的。用F（T）表示半群T的公共不动点集，即

定义2若存在序列=0，使得∀x，y∈C，tn≥0，∀n≥1，有

则称渐近非扩张半群T={T（t）：t∈R+}与Q={Q（t）：t∈R+}是渐近非扩张半群对。

注1 渐近非扩张半群T 与自身是渐近非扩张半群对。

为了证明主要结果，需要如下引理：

引理1[5]设C 是Hilbert 空间H 的有界闭凸子集，T：C →C 是渐近非扩张映象，若C 中序列{xn}弱收敛于x 且=0，则x∈F（T）。

2 主要结果

定理1设H 是实Hilbert 空间，C 是H 非空闭凸子集，T={T（t），t∈R+}与Q={Q（t）：t∈R+}，其中T（t）：C →C，Q（t）：C →C 分别是具有渐近数列{hn}⊂的渐近非扩张半群，使得是具有系数α∈（0，1） 的压缩映象，A 是具有＞0的强正有界线性算子。{αn}，{βn}，{σn}，{δn}是[0，1]中的实数列，{tn}是（0，∞）中的序列，满足下列条件：

若T 与Q 是渐近非扩张半群对且序列{xn}满足（Q（t））n+1xn‖=0，则式（1）定义的隐式黏滞迭代序列{xn}强收敛于渐近非扩张半群T 与Q 的公共不动点q∈F（T）∩F（Q）且q 是变分不等式

这表明对∀n ＞N，Sn：C →C 是压缩映象，因此，存在唯一xn∈C 使式（1）成立。

其次证明{xn}有界。对∀p∈F（T）∩F（Q），由式（1），∀n ＞N，有

则存在正整数N 和唯一xn∈C，∀n ＞N，有

若序列{xn}满足0，则该隐式黏滞迭代序列{xn}强收敛于渐近非扩张半群T 的公共不动点q∈F（T）且q 是变分不等式

的唯一解。

在推论1 中取δn≡1，σn≡1 可得推论2：

推论2设H 是实Hilbert 空间，C 是H 非空闭凸子集，T={T（t），t∈R+}，其中T（t）：C →C 是具有渐近数列的渐近非扩张半群，使得是具有系数α∈（0，1）的压缩映象，A 是具有＞0 的强正有界线性算子，{αn}，{βn}是[0，1]中的实数列，{tn}是（0，∞）中的序列，满足下列条件：

则存在正整数N 和唯一xn∈C，∀n ＞N，有

若序列{xn}满足=0，则该隐式黏滞迭代序列{xn}强收敛于渐近非扩张半群T 的公共不动点q∈F（T）且q 是变分不等式

的唯一解。