正交异性压电双材料反平面界面端裂纹分析

赵慧娟，李俊林，谢秀峰，董安强

(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

压电材料具有机电耦合性，即力载荷可以引起材料变形，进而引起电场的改变，同时电场也会引起变形使应力和裂纹尖端撕开位移发生改变，这样的特性使其在现代工程中具有广阔的应用前景。在现代工程应用中最典型的就是双压电材料复合的压电元件。双压电材料存在连接界面，界面处的工艺缺陷在外加机电载荷的作用下会形成界面裂纹，这在很大程度上影响压电元件的正常工作的可靠性。目前，双压电材料的研究主要集中在横观各项同性压电双材料界面裂纹或单侧裂纹尖端场的各类强度因子，对正交各向异性压电双材料的界面端裂纹应力分析相对较少。因此，研究正交异性压电双材料界面端裂纹是有意义的。2011年，赵静和李俊林教授[1]分析了在任意角度的边界条件作用下的各向同性与正交异性双材料反平面平板搭接界面端裂纹应力，运用复合材料断裂复变方法解析了广义重调和方程组的边值问题从而得到了裂纹界面端的位移场、应力场、应力强度因子的理论解析解。同时，赵文婷和李俊林教授[2]分别研究了在一种各向同性和一种正交异性双材料、正交异性双材料界面端裂纹分析中数值分析了边界条件中的任意角度的不同和材料参数的不同对应力场的影响，分析得到不同材料的界面端裂纹应力显表现出各不相同的规律，运用这些规律在分析双材料界面端裂纹分析和现代工程上合理选择材料上有一定的理论指导意义。2016年，M.Gherrous和H.Ferdjani[3]分析了反平面机械载荷和平面内电载荷作用下的半无限大双压电双材料反平面界面三阶Griffith裂纹问题，利用傅立叶变换法，将压电方程转化为奇异积分方程组，并用切比雪夫多项式进行数值求解，得到应力强度因子和电位移强度因子，并分析了材料参数对裂纹的影响。2016年，韩贵花和张雪霞[4]研究了横观各向同性双压电板Ⅲ型界面裂纹问题。本文在反平面无穷远处机械载荷和平面内电载荷共同作用下，利用复合函数法和待定系数法，研究了正交各向异性压电双材料反平面界面端裂纹，得到应力强度因子、电位移强度因子，并数值算例分析应力强度因子和电位移强度因子的影响因素。

1 问题的描述与求解

正交异性压电双材料板反平面界面界面端裂纹如图1，xoy平面为正交异性界面，受到无穷远处机械载荷σ0和面内电载荷D0作用。

图1 正交异性压电双材料板Fig.1 Orthotropic piezoelectric double plate

正交异性双材料反平面问题，其本构方程为:

(1)

在不考虑体力和自由电荷的情况下，静态平衡方程和电静态下的 Maxwell方程如下：

(2)

将本构方程(1)代入静态Maxwell方程(2)，有：

(3)

对反平面界面裂纹应力分析时，有：

(4)

特征方程组有两对共轭虚根，均取虚部大于零的根。

则特征方程组的根为：

正交异性双材料的边界条件如下：

边界条件:

(5)

连续条件：

(6)

不可导通边界条件:

(7)

根据复变函数理论，可知(4)式的位移、电势函数有如下实值解析解，选取特殊应力函数、电势函数[5]：

(8)

(9)

式中：r，θ为从裂纹边缘起度量的极坐标。

将式(8)代入式(1)中，得到：

(10)

将式(9)代入式(10)，得：

(11)

cosθ=-1，sinθ=0.

(12)

将式(12)代入式(11)中，整理得：

解得

cosθ=-1，sinθ=0.

(13)

将式(13)代入式(11)中，整理得：

解得：

此时：

cosθ=1，sinθ=0.

(14)

将式(14)代入式(8)中，整理得：

(15)

将式(15)代入式(6)中，整理得：

定义应力强度因子和电位移强度因子[5]为：

(16)

将(11)代入式(16)，整理得：

2 数值算例分析

以正交各向异性压电材料KNBO3、KTP、PMN-PT、KTA为例，利用应力强度因子和电位移强度因子表达式，数值分析极半径对应力强度因子和电位移强度因子的影响。 材料常数列于表1，其中ε0=8.854×10-12.

表1 各材料相关参数

由图2可知，Kσ随着r的增大而增加。同样条件下，在四种材料中，应力强度因子大小从小到大排列为：PMN-PT、KNBO3、KTA、KTP，即材料性能上PMN-PT最有利于抑制裂纹扩展，KTP最不利于抑制裂纹扩展。

图2 Kσ与r的关系Fig.2 Relationship of Kσ and r

由图3可知，KD随着r的增大而增加，同样条件下，在四种材料中，电位移强度因子从小到大排列依次为：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT.从图3可以了解到增长速度从慢到快排列依次为：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT，其中KTP、KTA增长速度比较小，KD随着r的增大而增加的比较微小，KNBO3、

PMN-PT增长速度比较大，增长比较明显。即材料性能上KTP最有利于抑制裂纹扩展，PMN-PT最不利于抑制裂纹扩展。

图3 KD与r的关系Fig.3 Relationship of KD and r

3 结论

在反平面无穷远处机械载荷和面内电载荷作用下，利用复合材料断裂复变方法，结合待定系数法，研究了正交异性压电双材料反平面界面端应力，得到应力强度因子、电位移强度因子理论解，数值算例分析了r对应力强度因子和电位移强度因子的影响。结果表明:

(1)应力强度因子和电位移强度因子随着r的增大而增加。

(2)同样条件下，在四种材料中，应力强度因子大小从小到大排列为:PMN-PT、KNBO3、KTA、KTP，即材料性能上PMN-PT最有利于抑制裂纹扩展，KTP最不利于抑制裂纹扩展。

(3)同样条件下，在四种材料中电位移强度因子从小到大排列依次为：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT.电位移强度因子增长速度从慢到快排列依次为：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT，其中KTP、KTA增长速度比较微小，电位移强度因子增长比较微小，KNBO3、PMN-PT增长速度比较大，电位移强度因子增长比较明显。