做数学：学科育人方式的实践创新*

董林伟 石树伟

(1．江苏省教育科学规划领导小组办公室 210013；2．江苏省扬州市广陵区教师发展中心 225006)

改革开放后，我国义务教育从基本普及逐渐走向优质均衡，为了让更多的孩子喜欢数学、学好数学，基础教育阶段的数学教育逐渐从“精英数学”向“大众数学”转变．基于数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，“大众数学”观下的数学教学过程应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间：虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的[1]．世纪之交开始的新课程改革对数学教育不断提出更高的目标要求，从过去的双基目标到三维目标、“四基四能”，再到现在的数学核心素养，这些目标的达成仅仅依赖教师的讲授是不行的，更主要的是需要学生亲自参与其中，需要学生的独立思考和深刻感悟，在发展能力的同时，品格和观念也得到相应的发展.“做数学”就成为数学教学的应然选择．

1 “做数学”的内涵特征

“做数学”起源于上世纪中后叶美国科学学科为改变传统的以传授为主的教学方式而实施的“Hands-on”(动手做)学习计划，后逐步在美国、法国科学教育界得到推广．上世纪九十年代先在我国幼儿园和小学的科学教育中引进尝试[2]，后被引入中小学数学教育．

许多数学教师对于“做数学”的认识停留在对“Hands-on”(动手做)字面意义理解的阶段，片面的认为“做数学”仅是动手操作的一些活动．某杂志曾经刊登过一个小学数学加法交换律的“做数学”案例：活动一让学生相互交换位置，但没有让学生感悟得到人数不变的结论；活动二让学生看动画：兔子和鸭子交换任务，兔子摸螺蛳，鸭子拔青草，仍然没有让学生感悟其中的不变性；活动三让学生用柄很长的勺子喝水，自己喝不到，唯有互相帮助，相互用勺子喂水，但始终只有交换，没有让学生感悟到不变的规律．因此，“做数学”除了动手做，还要动脑想，“做数学”做的对象是数学，主体是学习者，要通过做，建立与已有数学知识和经验的密切联系，引发数学思考和自主探究，感悟理解数学规律，揭示数学本质.

“做数学”强调的是从实际生活中取材，引导学生注意观察周围的事物，鼓励学生自己提出问题；引导学生自己去探索问题的答案，教师不是直接给出问题的答案，而是设计操作、实验、实践等活动，让学生亲身经历概念、规律的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果，学生获得的除了结果性数学知识，更多的是过程性知识，包括数学的基本思想、基本活动经验、发现提出问题、分析解决问题的能力和数学学科素养．

“做数学”是学生运用材料和工具，在动手动脑相协同的过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识、探究数学规律、解决问题的一种数学学习方式．“做数学”具有以下显著特征：

1.1 主体性与交互性

主体性即“做数学”的学习主体是学生．教育的终端是学生，知识、技能、能力、情感的获得，最终都要依靠学生自己的内化，因此“做数学”必须明确学生主体．当然，强调学生主动操作与发现的同时并不否认或削弱教师的主导作用，正好相反，教师主导作用的发挥就体现在确保学生的主体性，它对教师提出了更高的能力要求[2]．好的“做数学”活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一．一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展．

交互性强调“做数学”的过程中学生间的交互合作与经验共享，即学生个体进行意义建构的同时，还需注重学生之间的合作、交流与经验的共享．这种学生间的交互合作与经验共享的过程，既有利于学生充分展示与表现自我，使他们因自己富有创意的做法或观点得到他人的认同而产生强烈的心理满足感与成就感；又有利于不同意见或见解在相互碰撞中产生新的思想火花，激发学生的创造性思维，以进一步修正或完善某些尚有偏颇的观点；还有利于学生在互动的过程中学会竞争与合作，增强团队互助的精神[2]．

1.2 情境性与实践性

情境性强调“做数学”的学习素材与现实生活的联系．“学习中的建构过程总是与知识赖以产生意义的背景及环境关联在一起的，即知识与学习总是具有情境性的”．以学生熟悉的生活或数学现实为背景开展“做数学”活动，旨在引发学生的共鸣，让学生产生自主探索的需求，从而主动参与学习，培养学生的问题意识，使学生乐学、好学，培养学生积极的数学信念．情境性一方面体现在数学学习资源的选择利用应具有现实性，它强调活动所需设备与材料的可取性与简易性，鼓励学生从周围的日常生活中选取唾手可得的简易材料[2]；另一方面体现在数学知识的探究与应用过程也要结合实际情境，探究过程强调让学生亲自观察各种生活中的真实现象，或在现实情境中进行多种可能的操作、实验与实践活动，应用过程注重让学生综合运用知识以创造性思维解决各类现实情境中的问题，体现现实的重要性．

实践性强调“做数学”的过程中问题探究与实践活动的开展，让学生围绕着某个具体问题的解决，亲自开展一系列的动手操作、实验、观察、记录、探究等实践活动[2]．“做数学”活动学习主体不是直接从书本上或教师讲授中获取知识，而是主动探究解决问题、感悟数学基本思想、积累数学基本活经验的操作实践性学习，有利于激发学习主体的求知欲．值得注意的是，这时的实践活动不单纯是简单、机械的动手操作，而是同时伴有深刻的观察、想象、假设、推理、探究等高层次的思维活动；也不是仅凭学生的抽象思考、演算推理就能完成的，而需借助一定的操作与实践活动．

1.3 开放性与教育性

开放性即“做数学”的形式、内容、结果等都是开放、多元的．“做数学”活动注重学生的体验和实践，所以“做”的形式是多样的，“做”的内容是开放的，“做”的结果又是动态、可误的数学知识．无论哪种形式的“做数学”都要容许学生“犯错”，允许不同的想法出现，引发大家的思考，发展学生的创新思维和学习能力，在学生的交流合作中发现数学本质，建构新知．

教育性即“做数学”的目的除了通过活动过程得到知识、思想和方法，还有活动过程中所蕴含的素养、能力、情感态度和价值观．“做数学”的过程仅是载体，学生操作与实践活动等行为的最终目的不只是满足于完成某一任务或获取某些数学原理与知识，而更注重培养学生探究与应用数学的各种能力、认识现实世界的一般方法以及随之而来的对数学价值的体悟认识和积极的情感态度等，从而促使学生的全面和谐发展．

2 “做数学”的实践模型

“做数学”的教学实践模型可以从实施途径和目标指向两个维度进行建构．

2.1 从实施途径看“做数学”的实践模型

从实施途径看，“做数学”的实践模型包括操作体验、数学实验、综合实践三类．

操作体验类指通过操作、观察、感悟、理解等实践活动使学生获得大量的感性认识，同时提高学生的学习兴趣，激发学生求知欲的一类“做数学”活动．如通过纸上圆规画圆、黑板上短绳粉笔画圆、操场上皮尺画圆让学生感悟圆“一中同长”的特性和“圆心—半径”两要素，促进学生对圆的概念的理解；通过抛硬币、摸球、转转盘等游戏活动让学生感悟随机的意义及可能性的大小，体会随着试验次数的增加事件发生的频率逐渐趋于稳定的规律．

数学实验类指学生在教师指导下，利用一定的工具(实物或软件)，通过动手操作、观察思考、归纳抽象等过程建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题的一类“做数学”活动．如学生通过具体运算归纳出完全平方公式后，可以安排拼图实验，引导学生通过建立图形的面积关系来验证完全平方公式，进而形成公式的几何直观．

综合实践类指以实际问题为载体，学生自主参与并综合运用数学知识和方法解决实际问题的一类“做数学”活动．如由生活中常见的各种各样的规则或不规则地砖铺设图案，引导学生研究平面镶嵌问题；通过亲历实际的统计活动，综合运用统计知识研究确定某一区域范围内初中毕业男生引体向上项目的测试评价标准．

2.2 从目标指向看“做数学”的实践模型

从目标指向看，“做数学”的实践模型包括验证理解、探索发现、应用实践三类．

验证理解类指学生通过操作实践等活动帮助验证、理解某些抽象概念和原理的一类“做数学”活动．如通过翻牌(或茶杯)游戏帮助学生验证、理解“不讲道理”的有理数乘法符号法则；利用直观形象的多米诺骨牌游戏帮助学生理解抽象的数学归纳法．

探索发现类指学生通过操作实验、观察猜想、推理论证、合作交流等探索活动主动建构数学知识的一类“做数学”活动，类似于荷兰数学家弗赖登塔尔提出的“再创造”．如学生通过折叠等腰三角形纸片自主探索等腰三角形的性质；利用转笔探索发现多边形的内角和和外角和．

应用实践类指学生通过实践操作等活动应用数学知识解决实际问题，发展学生综合运用知识的实践能力，培养学生积极数学信念的一类“做数学”活动，如学生通过月历游戏，经历用数学符号建立方程表示实际问题中的数量关系和变化规律、求出结果并讨论结果意义的过程，切实体会用方程解决问题的优越性．

3 “做数学”的育人价值

“做数学”所具有的主体性、交互性、情境性、实践性、开放性、教育性等特征，充分说明“做数学”具有发展学生核心素养从而实现数学学科育人的价值．

3.1 “做数学”有利于数学关键能力的提升

“做数学”让抽象的数学知识变得形象直观，内隐的数学思维变得可视化，枯燥的技能训练变得有趣、有意义，有利于基础知识、基本技能目标的达成，特别是难点知识、重要技能的掌握；“做数学”不是结果性知识的直接灌输，而是一个让学生动手操作、动脑思考的主动学习的过程，在此过程中学生主动发现和提出问题、分析和解决问题，为学生感悟基本思想、积累基本活动经验提供了时空和机会．“做数学”有利于“四基四能”目标的全面实现，而“四基四能”则是培养学生数学关键能力的沃土，是发展学生数学关键能力的有效载体[3]．

“做数学”还为数学关键能力的培养提供了必要的现实情境或数学情境、科学情境，提供了发现和提出问题、分析和解决问题的机会．“做数学”通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，从直观、想象到发现、猜想，最后得到验证，从感性到理性掌握数学概念和命题，使学生亲历数学知识的建构过程；或通过演算、推导发现数学规律，解决实际问题；或通过亲历统计活动过程感悟随机现象，作出正确推断和决策，这些都有利于学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等关键能力的提升．

3.2 “做数学”有利于必备思维品格的培养

中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，包括文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等六大素养，“做数学”在发展上述素养品格方面有力地体现了数学学科的责任担当，特别是在学生必备思维品格的培养方面发挥了数学作为一门思维学科应有的作用．

“做数学”是一个动手操作与动脑思考紧密结合、证伪与证实和谐统一、主动探究与意志努力相互促进的数学学习过程，有利于培养学生的理性思维能力、批判质疑的意识和勇于探究的精神，从而促进科学精神素养的培育；有利于培养学生乐学善学、勤于反思的优良学习品格和现代公民必须具备的信息意识，从而促进学会学习素养的培育；有利于培养学生的动手实践意识、问题解决能力和技术运用水平，从而促进实践创新素养的培育[3]．

3.3 “做数学”有利于正确价值观念的形成

“做数学”从具身体验性出发，动脑“做”辅之以动手操作实验，手脑协调，在信息的输入输出和存储过程中，突出并延长体验环节，通过学习者的感受、觉知及“做中学”等不同的方式，将传统的视听学习转变为操作性的体验过程，将“脖子以上的学习”发展迁移为全身心融合的学习，有利于改善学生的学习体验，增强学生对学习的兴趣．

“做数学”为学生创设了熟悉的现实情境或数学情境、科学情境，为学生提供了发现和提出问题、分析和解决问题的机会，有利于学生充分感悟到数学来源于生活又服务于生活，充分领略到数学的科学价值、应用价值和文化价值，增强学生学习数学的动力和学好数学的信心．“做数学”可以改变学生学习的数学知识形态，化抽象为形象，化结果为过程，化静态为动态；“做数学”可以改善学生的数学学习方式，变被动接受为主动探究，变统一化学习为个性化学习，变“离身”思辨为具身体验，变“半脑”学习为全脑学习，从而有利于改变学生数学抽象难学的刻板印象，获得数学学习的成就感，增强继续学好数学的信念[3]．

联合国教科文组织在上个世纪九十年代提出了“四个学会”，其中之一就是学会共处，即学会共同生活，学会与他人共同工作．类似的，世界经合组织及美国、欧盟的学生发展核心素养框架也都共同强调了“能在异质社会团体中互动”的素养，要求学生学会与他人合作．学生在“做数学”的过程中，与老师、同学的合作交流是必不可少的，甚至有时还需要与社会、企业、行业专家打交道．因此，“做数学”还有利于学生合作意识和能力的培养，增强对合作交流重要性的认识．