考虑外部环境和个体采信程度的谣言传播模型

周子龙，文兴超，孙琦现，韩兆焱，关艾，胡煜寒

（辽宁科技大学 理学院，辽宁 鞍山 114051）

信息传播是社会发展和生存的基础，随着科学技术的进步，互联网的出现使信息的传播变得更为方便快捷。但是，由于社会生活的不确定性、科学知识的缺乏、社会信息管理的滞后等，使信息传播过程中不可避免地产生了谣言，其中一些谣言对社会安定会产生不利影响。要控制谣言传播，就需要对谣言传播过程中各种因素的作用进行分析研究。SIR 模型是传染病模型中经典模型之一，模型中的S 表示易感者，I 表示感染者，R 表示移出者［1-2］。谣言传播与传染病传播具有一定的相似性，借助于经典的SIR 模型，学者们建立了谣言传播模型，对谣言传播问题进行了相应的研究。江成等［3］以及匡文波等［4］研究了网络上谣言传播的特征、路径、机制等作用，分析了网络谣言传播规律。江宁等［5］对微博、微信等新媒体对谣言传播的影响做了研究分析，提出了一些在新媒体环境下控制谣言传播的相应对策。臧成功等［6］采用算法对谣言传播问题进行分析，提供了相应的解决思路。但目前已有的谣言传播研究仍缺少对群体环境和个人采信程度方面的分析和讨论。

2019年，张亚楠等［7］应用传染病模型对校园急性出血性结膜炎的暴发规模进行了分析讨论。受此启发，对谣言传播问题，也可以采用类似的思路和方法分析讨论其传播的最终规模。另外，谣言传播涉及到的个体具有异质性，对于所接触到的信息，每个人的采信程度是不同的。因此，本文综合考虑外部环境和个体对谣言不同采信程度，建立谣言传播模型，并分析传播的最终规模。希望对现实中的谣言传播控制提供参考。

1 分组的SIR模型

根据个体对谣言的不同采信程度，将人群分为三组：具有不轻易信谣特性的人群N1，具有一般信谣特性的人群N2和具有易信谣特性的人群N3。Si、Ii、Ri分别代表第i组的可能听信谣言者、传播谣言者、对谣言不再相信也不再传播者；αi为第i组中的活性；β为听到谣言后会相信的概率；pi为第i组中个体不再传播谣言也不信谣的概率；Cij为第i组个体与第j组个体在谣言传播过程中的接触率，描述外部环境中人群接触比例发生变化的特征，且

在三组不同人群中，个体对谣言的采信程度以传谣率区分。一般信谣特性人群的传谣率为δ2，并以它为标准，令δ2=1；不轻易信谣特性人群的传谣率为δ1，取值小于1；易信谣特性人群的传谣率为δ3，取值大于1。

谣言传播模型的基本假设：

（1）在谣言传播期间，区域内无新的人口转入和转出，不考虑人口流动因素；

（2）人口自然出生，自然死亡和因病死亡不作为影响因素考虑；

（3）区域内人群以比例混合的方式进行接触。

根据上述分析和假设，建立分组SIR谣言传播模型

2 基本再生数和最终规模

基本再生数［8］是在没有人干预的理想情况下，当所有人都具有易信谣特性时，平均一个谣言传播者可传播的人数。以基本再生数R0=1 作为谣言传播是否消亡的阈值。通过下一代矩阵［9-10］的方法计算模型（2）的基本再生数，也就是通过构造再生矩阵P=FV-1，计算再生矩阵的谱半径ρ(FV-1)，基本再生数R0=ρ(FV-1)，也是再生矩阵P=FV-1的特征值中模的最大值。其中，矩阵的构造以不同人群状态分类，具体的形式多种多样，这里考虑系统（2）对人群的分类，可得

式中：r1、r2、r3表示人群中信谣速率即表示传谣期。

特征方程为

假设三组人群间为比例混合，所以有

即

可计算出特征方程的根为：λ1=0 ，λ2=0 ，

模型（2）基本再生数

将模型（2）的前两个方程相加可以得到

易知，S1+I1为非负连续减函数，当t趋于无穷大时它有极限存在。而且其导数极限趋于0，即同 理 可 证 ，

式（9）两边对t积分

因此

同理可得

将模型（2）中的第一个方程等号两边同时除以S1，再对t积分得到第一组人群的最终规模

同理得第i(i=1,2,3)组人群的最终规模

以Zi=Si(0)-Si(∞)(i=1,2,3)表示第i组的最终规模，代入式（14）得到

谣言传播最终规模

3 数值模拟

采用数值模拟方法分析三组中任意两组人群比例（Ni:Nj，i,j=1,2,3）及个人采信程度δi变化对基本再生数和最终规模的影响。

根据谣言传播特点及谣言传播案例分析，一般谣言传播中蔓延期为10～20 天，在此选取1/r=15，即r1=r2=r3=0.067；谣言的传播活性，在此取相同数值α1=α2=α3=1。根据新冠疫情期间“板蓝根能预防新冠肺炎”的谣言中“板蓝根”关键词在2020年1月18日至2月25日间百度指数变化的数据，作为计算个体相信谣言的概率β的依据，由最小二乘法计算得β=0.464 1。

计算模型（2）的基本再生数

式中

若取第一组和第二组进行模拟计算，N3和δ1取定值，仅考虑两组人群N1:N2比例变化时，N2越大，基本再生数R0就越大。

讨论两组人群比例以及个人采信程度变化时对最终规模的影响。分别取N1:N2=10、8、5、3、2、1、1/2、1/3，δ1=0.1、0.3、0.9，得到人群中谣言传播的最终规模如图1所示。N1:N2比值越大，且δ1越小时，总的最终规模Z=Z1+Z2+Z3越小，累计信谣人群越少。

在现实生活中通过降低人群中具有易信谣特性个体的比例，对人群个体进行教育引导以降低人群中的传谣率，就能够有效控制谣言传播的规模，减少谣言传播带来的危害。

具体模拟数值详见表1。固定δ1的值，比如δ1=0.1 时，当N1:N2值递增时，最终规模急剧减小；当δ1=0.3 或δ1=0.9 时，N1:N2值递增时，最终规模略有减小。这说明当人群传谣率固定时，不轻易信谣特性个体所占比例越大，谣言传播的最终规模越小。

固定N1:N2，即人群中各类信谣特性个体比例固定，人群传谣率δ1越小，谣言传播最终规模越小。

表1 N1:N2 与 δ1 数值变化时的 Z 值Tab.1 Z values at different N1:N2 and δ1 values

当其它变量固定时，Z为关于δ1的增函数。又 0 ＜δ1≤ 1 ，因此当δ1=1 时Z(δ1)达到其最大值Z(1)。引入表示最终规模Z降低的百分比。E的变化曲线如图2所示。

当δ1固定，例如δ1=1 取时，N1:N2越大，E越大，说明最终规模降幅程度越大。对于任意N1:N2比值，最终规模E降幅程度都会随δ1的增大而减小；且当δ1超过0.6 时，最终规模都趋于不变。也就是说，当具有轻易信谣特性的人群中传谣率超过一定数值时，单纯控制传谣率效果非常有限，对谣言传播的最终规模没有显著影响。

4 结 论

提出了一个考虑外部环境和个体采信程度的分组谣言传播模型，分析了谣言传播最终规模。信谣特性差异人群的比例和人群传谣率直接影响基本再生数和最终规模；人群传谣率越低、不轻易信谣特性人群比例越高，均对降低谣言传播的最终规模有显著影响。为了控制谣言传播，政府部门加大宣传力度以降低人群传谣率值，并对谣言传播进行干预，控制对谣言不同采信程度人群比例以从外部环境有效降低谣言传播的最终规模。