航天器快速有限时间姿态跟踪输入饱和控制

张晓伟，陈 明

（辽宁科技大学 电子与信息工程学院，辽宁 鞍山 114051）

航天器姿态跟踪控制系统是航天器系统的重要组成部分，相关研究已取得相当大的突破［1-6］。文献［1］基于最优控制理论设计了一种最优的航天器姿态控制律；文献［2］提出了一类航天器姿态跟踪鲁棒最优控制策略；文献［3］针对受约束的航天器姿态控制，设计了一类最优的PID 控制器；文献［4］结合自适应律和状态观测器对航天器系统扰动进行估计，设计了一类滑模控制器。在这些研究中，闭环系统的收敛速度大都以指数形式进行收敛。

基于有限时间控制的姿态跟踪控制方法，能使航天器的姿态误差在有限时间内收敛到零或是零点附近，与传统的李雅普诺夫稳定性理论相比，系统具有更好的快速性、鲁棒性和抗干扰性。丁世宏等［7］基于最优控制理论，设计了一类有限时间姿态控制器，使角速度能够在有限时间内跟踪上最优角速度。文献［8］结合自适应有限时间状态观测器和角速度计算设计了一种只需要姿态测量的有限时间航天器姿态控制器。文献［9］考虑外部干扰、执行器故障等，基于反步法提出了一种稳定的自适应模糊航天器姿态跟踪控制器。文献［10］基于容错控制和双幂次方法，设计了一类自适应有限时间航天器姿态跟踪容错控制算法。文献［11］针对存在实际问题的航天器系统，利用神经网络估算系统中未知的线性函数，设计了一类基于backstepping 策略的自适应有限时间控制器。马广富等［12］为了提高航天器姿态跟踪系统的快速性，结合自适应控制、backstepping策略以及滑模控制，设计了一类航天器姿态跟踪有限时间控制策略。

目前，提升航天器姿态跟踪系统的控制速度成为了亟待解决的问题。某些特定的任务需要保证航天器姿态系统达到特定的控制速度才能够完成，不仅如此，即便航天器没有要求特定的速度，更快的姿态控制速度也能提高航天器的工作效率。已有成果表明，快速有限时间控制器［13］具有更快的收敛速度。张凯等［14］为了保证实际系统的快速性，将非奇异快速终端滑模的思想和backstepping 策略相结合，并将控制器的参数进行限制，构造了快速有限时间控制方案。

本文设计了一类基于输入饱和的快速有限时间控制器，控制目标是实现航天器姿态跟踪系统的姿态在任何有界输入的前提下，都能够快速收敛到平衡点。最后，通过数值仿真验证了所设计控制器的有效性。

1 基础知识

1.1 航天器姿态数学模型

航天器姿态跟踪模型由运动学方程和动力学方程组成。本文采用四元数描述法来描述航天器的姿态。

首先定义四元数为［7］

其中

式中：参数q0∈R为四元数的标量；qv=(q1,q2,q3)T∈R3是向量参数；ev是旋转轴的方向单位矢量；φ∈[0°，360°]表示旋转角度。

航天器姿态运动学方程［7］

式中：ω=(ω1,ω2,ω3)T是航天器的姿态角速度；E(q)表示单位矩阵，为反对称矩阵，表示为

经过计算可以验证：E(q)TE(q)=I3×3。

航天器的姿态动力学方程

其中：J∈R3×3表示转动惯量矩阵，并且J是一个正定对角阵；u=(u1,u2,u3)T是由3 个执行器所产生的控制力矩向量；ω×为反对称矩阵，表示为

1.2 输入饱和函数

在实际航天器姿态系统中存在输入饱和现象，即航天器姿态跟踪系统的输入力矩必须在有界范围内。在本文中，针对输入信号u中的向量ui，定义一类新的饱和函数［15］

其中：S=(S1,S2,S3)T是系统的饱和输入信号；umax和umin是输入信号的上界和下界。

对于式（4），采用分段函数来表示饱和输入函数的近似值，定义

式中：h=(h1,h2,h3)T，则u=sat(S)可表示为

其中：h和l=(l1,l2,l3)T都是关于S的函数，l=sat(u)-h是一个有界函数，且满足

这里，L=(L1,L2,L3)T，Li=max(li),i=1,2,3。

依据中值定理，存在一个已知的常数μ(0 ＜μ＜1)，满足

其中

则

令S0=0，可以得到

结合式（4）、式（6）和式（10），得出

即

1.3 定义和引理

定义1［16］对于本文中的x=(x1,x2,x3)T，定义sgnα(x)的形式为：其中 sgn(⋅)为符号函数。

引理1［7］对于任何实数，若有 0 ＜b＜1 和xi，i=1,2,…,n，则有下列不等式成立

引理2［13］快速有限时间Lyapunov 稳定性定理：考虑如下系统

若存在一个函数V(x)＞0，使得

其中，x∈D,D=Rn，c＞0 ，b＞0 ，0 ＜α＜1，那么系统（14）的原点是全局快速有限时间稳定的，并且设定时间取决于初始状态x(0)=x0，且收敛时间

2 控制器设计

将航天器的角速度ω作为运动学模型的输入，将整个航天器模型视为一个非线性系统［5］。本文的控制器设计分为两个部分：快速有限时间控制律u和考虑输入饱和的快速有限时间控制器S。

2.1 快速有限时间控制律设计

对于航天器运动学模型来说，其目标一般都是将qv镇定到 (0,0,0)T，将q0镇定到1 或者-1。当q0=1 时，φ=4kπ,k∈Z；当q0=-1 时，φ=4kπ+2π,k∈Z，显而易见，无论q0等于1或者-1，φ均为2π 的整数倍。也就是说航天器绕转动轴转动的角度是2π 的整数倍，所以q0无论为1或者是-1，均表示航天器具有相同的姿态。

针对航天器运动学模型（2），选取性能指标为

式中：Q=QT≥ 0,R=RT＞0 都为加权阵。

式（16）是一个典型的线性二次型性能指标。接下来构造Hamilton 函数，并通过分析Hamilton-Jacobi方程，从而解出最优控制律其目标是保证针对运动学模型所设计的性能指标Θ 能够达到极小。

Hamilton函数可以取为

其中Θ*为性能指标Θ 的最优值。由于控制律u不受约束，所以，由最优控制的极值条件以及式（17）得

由式（18）得到最优控制律

由Hamilton-Jacobi方程得到

整理得

令

将式（22）代入到式（21）中，并且由ET(q)E(q)=I，得出

式中：R-1是个参数对角阵。

令Q=R-1，λ=2qv，结合式（19）得到最优控制律

在此基础上设计一个快速有限时间控制器u，使航天器的角速度ω能够趋近于。令e(t)=再结合航天器动力学方程（3）得到误差模型

针对误差模型（25），将控制律u设计为

式中：a1和a2都是大于零的设计参数；指数α满足 0 ＜α＜1。

证明取Lyapunov函数

对V1求导，可得

由定义1可得

将式（28）写为

结合引理1，可以得到

式中：Jmax=max{Ji},i=1,2,3。

根据式（28），将式（32）重新表示为

两边同时乘以a1，得到

又因为

两边同时乘以-a2，得到

将式（36）重新表示为

结合式（28）、（33）及（37），得

显见，式（38）满足快速有限时间得收敛形式，且收敛时间为

证毕。

2.2 基于输入饱和的快速有限时间控制器

设计一类基于输入饱和的航天器快速有限时间姿态跟踪控制器

式中：S是将要设计的控制器；diag(L1,L2,L3)是一个对角阵；L1,L2,L3是L3×1的行向量；sgn(e)是关于e的符号函数，且sgn(e)=[sgn(e1) sgn(e2) sgn(e3)]T。

证明取Lyapunov函数为

对V求导，可得

令

则式（42）可改写为

所以仅证明如下

由式（7）可得，li≤Li，所以

综上所述，可得

收敛时间满足

由式（48）可以得知，本节所设计的控制器满足快速有限时间Lyapunov稳定。证毕。

3 仿真分析

3.1 快速有限时间控制方案仿真分析

首先，在不考虑输入饱和的情况下，利用文中所设计的快速有限时间控制律（26），对航天器姿态模型（2）和（3）进行跟踪控制。取与文献［7］中相同的系统参数。

设四元数的初始状态为：q(0)=(0.330 2 0.462 1 0.191 6 0.800 4)T，设角速度初始值ω(0)=(-0.2 0.3 0.5)T，将控制律设计参数设为：a1=8 ，a2=8,指 数α=0.5 ，取

航天器姿态跟踪控制系统的四元数响应曲线对比如图1 所示。在快速有限时间控制律的设计下，四元数q0,q1,q2,q3的响应速度明显比有限时间控制器能够更快地达到稳态，而且还在一定程度上抑制了q2和q3中的扰动。

角速度响应曲线如图2所示，角速度误差响应曲线如图3所示。两种方法均能实现姿态跟踪，但相比于有限时间控制方法来说，本文所设计的快速有限时间控制器能够以较快的速度和相当准确的控制精度跟踪上最优角速度使性能指标Θ更快达到极小。

控制力矩响应曲线如图4 所示。本文设计的快速有限时间控制器的响应时间明显比有限时间控制器的响应时间快。需要注意的是，本文的设计方案并没有考虑到输入饱和问题，所以控制器的峰值力矩相对较高，从而导致控制器输入的能量消耗。

3.2 基于输入饱和的快速有限时间控制方案仿真分析

本文所提出的基于输入饱和的快速有限时间控制器为

仿真过程中所用到的新参数

图5 是基于输入饱和的快速有限时间控制器所描绘出的四元数的响应曲线。加入输入饱和限制条件以后，四元数的响应曲线并没有受到明显影响。

图6是考虑输入饱和的角速度的响应曲线，图7 是考虑输入饱和的角速度误差的响应曲线。本文设计的控制方案能够保证航天器的姿态和角速度达到正常情况下的稳定效果，并且具有较高的快速性以及稳定度。

图8 是基于输入饱和的快速有限时间控制作用下的响应曲线，控制输入的界限设置在（-1,1）区间内。考虑到输入饱和以后，控制器可以满足任何的控制输入要求，也就是说通过很小的控制量就能够快速实现有限时间姿态跟踪，这在实际系统中大大减少了输入的能量消耗。

上述仿真结果充分说明了本文所提出的基于输入饱和的航天器快速有限时间姿态跟踪控制方案，在系统输入受限的情况下，能够使航天器姿态跟踪系统的姿态在任意有界输入下被快速有限时间镇定到平衡点。

4 结 论

本文针对四元数描述法建立的航天器姿态模型，首先利用最优控制理论，得到最优期望跟踪角速度；以此为基础，提出了一种快速有限时间控制策略，旨在实现航天器角速度的快速跟踪，确保其跟踪误差在有限时间内快速收敛到零。同时，考虑到执行器输出的力矩不能过大，进一步考虑了输入饱和问题，即通过较小的控制量就能实现航天器姿态的快速跟踪。仿真结果验证了设计方案的有效性。期望为航天器姿态跟踪控制提供有效的分析方法及理论依据。