直线步进电机的有限时间预设性能控制器设计

孙 悦，高 闯

（辽宁科技大学 电子与信息工程学院，辽宁 鞍山 114051）

直线步进电机是一种结构简单、精准度高的设备，通常运用在自动化生产、印刷厂、高精准度测量以及较为准确的位置跟踪等方面。反步法（Backstepping）是解决非线性系统控制问题的一个有效方法［1-3］，适用于直线步进电机的控制。文献［4］给出了一种直线步进电机的输出反馈控制器方法，实现了电机在状态不可测条件下的电机位移跟踪控制。文献［5］针对内置式永磁同步电机，进行了自适应反步控制研究，解决了参数不确定对于系统的影响，使永磁同步电机能够达到渐近稳定的跟踪控制。文献［6］设计了一个永磁同步电机的鲁棒自适应反步滑模容错控制器，实现了转速的高精度跟踪，并且能够抑制扰动。文献［7］研究了永磁直线同步电机位移的跟踪动态面反步滑模控制问题，运用人工鱼群-蛙跳混合算法，实现了控制器参数的优化。上述文献设计的控制器，虽然能够保证系统的稳定性，但是系统跟踪误差的收敛速度以及超调量均处于不可控状态，影响系统的暂态和稳态性能。针对此问题，文献［8］和［9］通过引入预设性能函数，有效提高非线性系统的暂态和稳态性能，同时保证整个闭环系统的所有信号有界。因此，本文针对直线步进电机的跟踪控制问题，给出一种新的电机控制方案，通过引入有限时间预设性能函数，结合Backstepping法设计控制器，使电机动子能够较好地跟随期望轨迹运动。同时，可调节跟踪误差的收敛速度和超调量，提高系统的暂态和稳态性能，保证电机的跟踪误差能在设定的时间内收敛到平衡点，即电机系统在平衡点处是渐近稳定的。

1 直线步进电机的数学模型

直线步进电机的动力学模型［10］

式中：x是动子的位移，m；m是动子的质量，kg；B是粘性摩擦系数，N/（m·s）；p是齿距，mm；Fc是齿槽力常数，N；Fe是电磁推力，N；kf定义为2km/p，N/A；km是反电动势常数；R是每个绕组的电阻，Ω；L是每个绕组的电感，mH；ia和ib分别是两个绕组的电流，A；Va和Vb分别是两个绕组的电压，V。

基于磁场定向控制原理，通过坐标变换简洁地建立了直线步进电机的d-q模型［11］，将ia、ib、Va和Vb变换成id、iq、Vd和Vq，坐标变换的优点是变换后的电磁推力与q轴电流iq简单相关，即Fe=kf x3。令x1=x，dx/dt=x2，x3=iq以及x4=id，通过d-q模型将系统（1）中的方程重新整理，得出等效系统［4］

式中

针对上述系统，可利用Backstepping控制器设计方法，在给定期望运动轨迹yd(t)的条件下，实现电机动子跟随期望轨迹运动。

2 有限时间预设性能函数

为了提高电机系统的暂态和稳态性能，定义有限时间预设性能函数［9］

式中：v0表示函数的初值，v0≥1.25；表示函数的终值，

该函数是光滑的，并具有下述性质［9］：

（1）v(t)＞0 ；

（2）v̇(t)≤ 0 ；

本文的控制目标为：

（1）利用式（4）的预设性能函数，保证电机动子位移的跟踪误差e1(t)=x1(t)-yd(t)能在一个预先设定的区域内快速收敛，并在Tf时刻收敛到平衡点；

（2）电机闭环系统在平衡点处是渐近稳定的。

为了实现目标（1），假设跟踪信号yd(t)及其高阶导数是连续且有界的，定义坐标变换

式中：η是转换误差。函数tanh(η)表达式为

式（6）是一个光滑的严格递增的函数；tanh(η)∈(-1,1)

由于 -1 ＜tanh(η)＜1和v(t)＞0 ，则 -v(t)＜tanh(η)＜v(t)成立。此外，可以证明 -v(t)＜e1(t)＜v(t)，这意味着输出跟踪误差e1(t)被限制在范围(-v(t),v(t))内。由于v(t)的界限逐渐下降，e1(t)将在有限的时间Tf后被限制在Δ 范围内，即

3 控制器设计

为了实现目标（2），由跟踪误差e1(t)=x1(t)-yd(t)，结合式（5），则可表示为

从式（2）和式（8）可知

其中

根据式（9），系统（2）可改写为

参照文献［4］的控制器设计思路，第4 个子系统可以通过直接设计Vd=-f3/b2，即可使x4收敛到零点。这样对于前三个子系统，可采用Backstepping控制器设计法，引入坐标变换

Step 1：对于第一个子系统，选择如下李雅普诺夫函数

将式（12）两边对时间t求导，利用z2=x2-α1和式（10），可得

设计如下虚拟控制率α1

将α1代入式（13）可以得到

Step 2：对于第2个子系统，选择如下李雅普诺夫函数

将式（16）两边对时间t求导，利用z2=x2-α1、z3=x3-α3以及式（11）和式（15），可得

设计虚拟控制率α2

将α2代入式（18）即得到

Step 3：选择第三个子系统的李雅普诺夫函数

将式（15）两边对时间t求导，结合式（11）和式（19），可得

设计如下实际控制电压Vq

4 仿真实验

本文采用数值模拟，与文献［4］中的状态反馈控制器比较，以验证所提出控制方法的有效性。实验目标是期望电机动子能够跟随期望轨迹yd(t)=sin(t)运动。控制律中使用的参数设置：c1=1，c2=30，c3=50，电机运行时间为T=15 s。电机参数 ：m=0.65 kg ，B=0.01 N/(m·s) ，Fc=2.4 N ，p=1.28 mm，kf=27.83 N/A，R=3 Ω，L=0.5 mH。电机状态的初值为：x1(0)=0.8，x2(0)=0，x3(0)=0，x4(0)=0。选取有限时间预设性能函数

利用上述参数，结合虚拟控制律式（14）和式（18），以及实际控制律式（22）和Vd=-f3/b2，实现电机动子的跟踪控制。电机动子的位移轨迹如图1所示。在两种控制律的作用下，电机动子从距离中心点0.8 m 的位置开始移动，在动子运行2 s 左右跟随期望轨迹移动。

电机动子位移的跟踪误差如图2 所示。对比发现，在控制器参数相同的条件下，所提出的控制器可在预设性能函数的作用下，获得较快的收敛速度，可在给定的1.5 s内快速收敛到平衡点，并且稳态效果也优于文献［4］。说明所提出的控制器可提高电机系统的暂态和稳态性能。

动子的速度、输入电压Vd和Vq的曲线如图3所示。在跟踪轨迹的波峰和波谷处，电机动子的移动速度较快；输入电压Vq的峰值为25 V 左右，曲线趋势与速度曲线相似；输入电压Vd通过较小的振幅，即可保证状态x4收敛到零点。因此，本文设计的有限时间预设性能控制器可有效地改善系统性能，效果优于文献［4］的状态反馈控制器。

5 结 论

本文针对直线步进电机的跟踪控制问题，用反步法设计了一种有限时间预设性能控制器，与传统方法相比，改善了电机系统的暂态和稳态性能，且能保证电机闭环系统在平衡点处是渐近稳定的。实验结果验证了所提出的控制方案能够使电机动子更好地跟踪参考信号，证明了该控制器的可行性和有效性。后续工作可在此基础上，进一步设计输出反馈自适应控制器，从而实现电机状态在不可测条件下的跟踪控制。