矩阵初等变换的应用举例

摘 要：矩阵的初等变换是高等代数的重要组成部分，其思想贯穿于高等代数的始终，在矩阵的理论研究中占有非常重要的地位。而大部分的《高等代数》教科书理论性很强，例题很少，学生学起来比较吃力，本文主要举例探讨初等变换在矩阵的逆、矩阵的秩、线性方程组的解、向量组的线性相关性、二次型的标准化等方面的应用，以供高代初学者一个学习参考。

关键词：初等变换;逆矩阵;矩阵的秩;相关性;二次型標准化

1 绪论

在高等代数中，数域P上的矩阵的初等变换是指下列三种变换：[1]

由行列式的性质知，每个方阵做初等变换后不改变方阵的行列式的非零性，因此可以通过对方阵做初等变换来判断原矩阵是否可逆。当然，这仅仅是矩阵初等变换的简单应用，它在高等代数的主要应用体现在以下几点：求矩阵的逆、求矩阵的秩，求向量组的极大线性无关组以及线性相关性，求线性方程组的解，二次型的标准化等。

2 矩阵初等变换的应用

2.1 求矩阵的逆矩阵

说明：在求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换，只能使用某一种，不能同时用两种方法。

2.2 初等行变换法求矩阵的秩

对于任给的矩阵，利用初等行变换化成行阶梯型矩阵，那么阶梯型矩阵中非零行的数目就是矩阵的秩。

2.3 求线性方程组的解

求解非齐次线性方程组一般解的步骤为：

3 结语

本文仅介绍初等变换在求矩阵的逆、矩阵的秩、向量组的线性相关性，线性方程组的解、二次型的标准化等方面的应用，它还有许多应用，这就要求我们在高等代数的学习和教学中要注意归纳总结。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明修订.北京大学数学系前代数组编.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]段正敏.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]张芳英，朱睦正.矩阵初等变换在高等代数中的应用及教学研究[J].河西学院报，2020，36（2）：117-122.

[4]李坤金.高等代数（第三版）全程辅导及习题精解[M].北京：中国水利水电出版社，2012.2.

作者简介：陈小燕（1982— ），女，海南临高人，本科，硕士，讲师，研究方向：基础数学、数论。