新高考数学应用能力考查研究*

赵 轩 任子朝 翟嘉祺

(教育部考试中心 100084)

《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》(下称《实施意见》)中明确指出，要“着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”[1]，为高考内容改革指明了发展方向.为落实《实施意见》的要求，近几年的高考数学试题中，通过多种形式加强了对于应用性的考查，并取得了积极的成效.2020年新高考全国卷(供山东、海南两省使用的新高考试卷)中提高了应用型试题的比例，2021年1月在八省新高考测试中更是在考查方式和试题呈现形式上有所创新.其变化创新之处主要体现为，一是突出对逻辑推理、信息获取和加工、数学阅读等方面的考查，强调对于思维能力和表达能力的培养；二是通过设置真实的问题情境，考查学生发现问题、分析和解决实际问题的能力，促进学生真懂会用；三是通过新颖的题目和设问方式的设计，增强试题的开放性和探究性，引导学生拓宽思维广度，主动分析思考，促进创新应用能力的提高.本文将基于高考评价体系的理论框架，进一步梳理和总结这些举措，并对新高考关于应用能力的考查路径及方法提出建议.

1 数学应用能力是数学教育的本质要求

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课程标准》)中提出，要“强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力”[2].“数学应用”是一个比较宽泛的概念，不应简单地将数学应用等同于数学知识在日常生活中的应用.除了生活实际中的应用之外，数学作为工具学科，和其他学科有着紧密的联系，在自然科学乃至人文社会科学中都有广阔的交叉应用领域，这种理论研究情境下的应用也是数学应用的重要组成部分.事实上，《课程标准》中规定的高中课程内容的每个模块都能够和其他学科建立起关联，因此在中学阶段打好数学基础就是在为未来学习和工作中的数学应用筑牢根基.从更广义的角度来说，数学学科内部知识之间的关联与交互可以看作数学应用的一种延伸，这里我们谈的数学学科不仅限于中学数学，更包括未来学习中高等数学的各个分支学科.数学的学习具有很强的连续性，前阶段学习所掌握的知识与能力是后阶段学习必备的基础，对于新知识学习的效果、新概念掌握的程度往往受到以前积累的数学基础的密切影响，因此理解新信息、解决新问题等情境在这种广义的视角下也可以视为数学知识、能力和思想方法在数学学科的内部应用.

《课程标准》中“用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界”的课程理念集中体现了中学阶段数学应用能力的重要表现.数学科高考落实应用性的考查要求，就要引导学生通过数学学习，在日常生活中以及学习过程中，能够发现身边事物或者新的课程学习情境与数学的关系，针对这些关联提出问题，并能够将这些问题抽象成为可以解释的数学模型，用数学语言进行描述和表达，进而体会和认识数学广阔的应用领域，真正做到学懂数学、会用数学.

2 高考评价体系中应用性考查要求的内涵

按照国家新一轮高考内容改革的要求，教育部考试中心研制完成了中国高考评价体系.高考评价体系遵循新时代党的教育方针，基于高等教育人才选拔要求和国家高中课程标准，体现各类高校对人才的共性需求，衔接高中育人方式改革，确立了“一核”“四层”“四翼”的整体框架，是高考命题的理论基础[3].其中，“四翼”是“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求.应用性作为重要的考查要求，强调高考要突出学以致用的导向，在知识、能力以及学科素养的培养过程中，关注国家社会发展、生产生活实际与学科的联系，避免考试内容与生活实践脱节，让学生充分体会到所学知识的应用价值.

高考评价体系中将问题情境作为高考的考查载体[4]，以此来承载考试内容，实现考查要求.高考数学科将试题的问题情境分为三类：课程学习情境，探索创新情境和社会实践情境.课程学习情境主要关注学生通过学习掌握的知识基础，包括数学概念、原理、运算、逻辑推理等问题情境.探索创新情境主要关注学科知识的深入探索与思想方法的创新，包括数学探究、数学创新、数学实验等问题情境.社会实践情境主要关注数学与其他学科和社会生活实际的关联，包括生活生产实际、科学研究等问题情境.高考数学科的应用性主要指的是数学知识与其他学科知识、生活生产实际等方面的外部联系，强调数学在其他领域的应用价值.这三种情境都可以作为应用性的有效考查载体，通过建立数学模型等方式，建立数学知识、思想方法等与理论问题或实际问题之间的联系，将数学作为解决问题的工具.

3 新高考数学应用的考查路径与方法研究

数学在人类社会发展的过程中起到了极其重要的作用，我们身边的各种社会经济、生产活动都与数学有着密不可分的联系.在当今的信息化社会，数学实力已经影响着一个国家的综合实力[5]，劳动者数学素养的提高会对经济发展起到重要的促进作用.站在立德树人的角度来看，数学素养对于个人的未来发展有很重要的影响，重视数学素养的数学教育在培养创新意识和创造力方面起到独特而关键的作用.高考数学科重视对于数学素养的培养，数学应用作为重要的数学素养，是高考考查的重点内容.近年来，高考数学试题进一步加强对于数学应用的考查，取得了良好的效果.

3.1 强调对思维和表达能力的考查

3.1.1 综合考查数学思维

思维能力在数学学习中起到最本质、最核心的作用，对于思维能力的考查是高考数学科考查目标中的重中之重.思维能力包括观察、猜想、类比、抽象、概括、证明等推理能力，还包括信息获取、加工等认知能力，创新意识、创新方法、创新能力也是思维能力的高层次表现，这些能力都是影响学生个人终身发展的关键能力.在理论联系实际，结合具体实践中的问题综合运用数学知识的过程中，这些关键能力起到至关重要的作用.为此，新高考数学将继续贯彻“多考一些想的、少考一些算的”这一原则和理念，着重在数学应用和探究等方面突出体现对思维能力的考查[6]，从根本上引导学生提升数学应用的素养.

例如2018年全国I卷理科数学第20题和2019年全国I卷理科数学第21题，两题都是有实际背景的应用型试题，将概率统计知识分别与函数导数、数列的内容相结合，综合考查学生的思维能力，尤其是不同知识模块交叉运用的能力.这两个题目都有一定难度，所涉及的数学模型比较复杂，思维量较大，考查的知识范围较广，涉及到数学学科内部各知识模块之间的综合与应用，对培养学生的数学应用意识与数学思维能力起到了很好的促进作用.再如2021年八省联考第16题以物理测量误差为背景，将物理问题与其中蕴含的数学原理相结合，综合考查正态分布的相关知识与问题分析能力，强调数学思维跨学科的运用，对学生拓宽思维广度具有良好的导向作用.

3.1.2 注重考查数学表达

《课程标准》中“用数学语言表达世界”的课程理念体现在数学应用的各个方面，数学表达能力不仅包括能用口头语言或书面语言沟通交流的基本能力，还包括能通过数学语言表达数学思维与现实世界的重要能力.能够准确、严谨地用数学语言表达数学思想，描述现实事物，是数学应用能力的重要组成部分.数学科高考落实应用性的考查要求，就要引导学生通过数学学习，在日常生活中以及学习过程中，能够发现身边事物或者新的课程学习情境与数学的关系，针对这些关联提出问题，并能够将这些问题抽象成为可以解释的数学模型，用数学语言进行描述和表达.

近年高考试题中，通过对数学模型的分析、解释、描述等形式，不断强化对于数学表达能力的考查.例如2018年全国II卷文、理科数学第18题，给出了关于同一组数据的两种数学模型描述，要求通过计算和分析来比较哪一种模型更符合实际，预测更有效.2019年全国I卷理科数学第21题要求通过计算结果解释题目中给出的试验方案的合理性.2020年全国II卷文、理科数学第18题要求根据实际情况判断抽样方式的合理性.这些题目的共同点在于要通过运用数学知识能力对问题进行分析，进而利用分析结果来解释和回答问题.不同于传统的数学证明或计算问题，这类题目的考查重点在于运用数学语言进行表达和说明，通过这种形式很好地体现了新课标“用数学语言表达世界”的教学理念.

3.2 试题情境的真实化

高考评价体系在应用性的考查要求中强调“真懂会用”，这就要求高考试题情境要更加贴近学生生活实际，让学生体会到身边的数学，认识到所学知识是有用的.在试题中通过使用真实背景，真实统计数据等方法，能够有效提升学生对于题目真实性的感受度，进而有助于学生了解数学工具在解决实际问题时的使用方法和适用范围，对提升数学建模素养，加强数学应用能力有着积极的引导作用.

在高考数学科一些涉及实际生活背景的试题中，往往采用真实数据和真实情境，使题目更加真实可信.例如2018年全国II卷文、理科数学第18题中给出的环境基础设施投资额数据来源于统计局公布的真实数据；2020年新高考II卷(供海南省使用的新高考全国卷)第9题中的复工复产指数数据来源于地方政府公布的税电复工复产指数.2020年高考数学科关注时事，“战疫”科学入题，全国III卷文、理科数学第4题和新高考I卷(供山东省使用的新高考全国卷)第6题都是有关新冠肺炎传播的数学模型，试题素材取自于我国学者基于实际数据的研究成果，具有完全真实的情境，相关参数真实可靠.

3.3 试题形式的动态调整

2020年10月，中共中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》中明确指出，要“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象”.在近年的数学科高考中，采取多种形式对试题形式进行了调整.在实际问题中，解决问题的方式方法经常是多样的，答案与结论也没有一定之规.因此在面临实际问题时，思维的灵活性、多样性往往起到重要的作用.为使应用型问题更加贴合实际，高考数学近年在增强题目开放性与探究性上做出了一些探索，对中学教学中培养学生应用意识、提高学生数学应用能力等方面产生了积极的影响.同时，新高考中将进一步加强对命题技术和评分量表的研究，在进行试题形式创新、提高解答主观性的同时，也要保证构建的科学性和可操作性，以保障试题的区分和考查效果.

例如2018年全国III卷文、理科数学第18题要求根据统计图表判断哪种生产方式效率高，2020年全国II卷文、理科数学第18题要求根据实际情况给出一种合理的抽样方法并说明理由，这类题目的答案往往没有一定之规，学生需要根据自己对于知识的理解对问题进行说明，这实际上考查了更为高阶的知识理解、运用与迁移的能力.2021年八省联考第20题以大兴机场为背景，将高等数学中的著名定理迁移到中学知识内容的范围，着重强调学生对新概念的理解能力，拓展了立体几何问题的考查方式与形式，打破常规套路，引导学生注重数学思维和数学理解能力的培养.

此外，2020年新高考全国卷在题型上进行了新的探索，引入了结构不良试题，这是新高考全国卷增强题目开放性与探究性的一个重要举措.结构不良试题的开放程度更高，要求学生在题目所给的多个条件中选取一个，或是补充条件，亦或去掉冗余条件进行作答，不同的选择可能会得出不同的结论.学生在解答这类问题时，能够根据自身的知识储备，选取适合自己的形式和方法作答.从功能上看，这类问题不仅能够考查思维的多样性和灵活性，而且有利于引导学生从多角度来思考问题.

4 结语

高考作为素质教育的关键环节，强调培养学生支撑未来学习、工作的关键能力.学科知识应用能力是联接高中所学知识和未来学习、工作的关键能力，在高考内容中应得到充分的体现.高考评价体系中明确提出将应用性作为重要的考查要求，数学科以高考评价体系为指导，越来越重视对于数学应用的考查和引导.应用型试题作为高考数学科应用性考查的最主要方式，在近年的高考题，尤其是新高考全国卷中所占比重有所增加，其考查方式与呈现形式也愈加多样，这些改革举措取得了良好的成效，产生了积极的影响.今后，随着新高考的逐步落地，数学科应不断研究探索，通过创新试题情境设置等手段更好实现应用性的考查要求，为落实立德树人的教育根本任务，实现高考考查的核心功能提供更加科学的评价手段.