带跳的McKean-Vlasov随机微分方程解的存在唯一性

王 如， 马 丽，2*

（1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158；2.海南师范大学 海南省数学研究中心，海南 海口 571158）

随机模型在很多科学和工程的分支中起着重要的作用，例如随机控制、自动化、生物数学、滤波等。随机微分方程本质上是带有随机项和随机系数的偏微分方程，若随机微分方程的系数依赖于分布，则称之为McKean-Vlasov 随机微分方程，又称为分布依赖的随机微分方程或Mean-field随机微分方程，该方程最早出现在文献[1-2]中。研究该方程的困难之处在于系数依赖于测度，因此随机微分方程经典的方法不能用，例如，在研究解的存在唯一性时要考虑测度空间及合适的度量。此外，该方程可看作交互粒子的极限，由于粒子有交互作用，因此蒙特卡洛方法不适用，研究该方程具有一定的挑战性。

目前已有大量文献研究了由布朗运动驱动的McKean-Vlasov随机微分方程解的存在唯一性。在系数连续、局部有界、局部Lyapunov条件下，文献[3]用了局部化的方法得到了D⊆Rd上的McKean-Vlasov随机微分方程的弱解的存在唯一性，此外，在全局Lyapunov条件下得到了弱解的唯一性。当扩散系数是非退化的，漂移系数和扩散系数关于空间变量满足某些可积性条件，关于测度变量满足Lipschitz 条件时，文献[4]得到了强解的存在唯一性。当系数关于测度变量在弱收敛的拓扑下连续，关于空间变量满足线性增长条件、扩散系数非退化条件下，通过对分布迭代，文献[5]得到了弱解的存在唯一性。在方程系数关于空间变量满足线性增长，扩散矩阵一致非退化条件下，文献[6]通过系数光滑化、Krylov估计、矩的估计及Skorokhod表示定理得到了弱解的存在性。文献[7]在系数为有界且联合连续，扩散项为非退化的条件下，得到了带有公共噪音的McKean-Vlasov随机微分方程弱解的存在唯一性。

关于带跳测度的McKean-Vlasov随机微分方程解的正则性方面的文献不多。在扩散系数与漂移系数均是有界的且满足全局Lipschitz 条件，跳测度的系数满足线性增长条件且有界的条件下，文献[8]得到了解的存在唯一性。文献[9]研究了由α-stable过程驱动的McKean-Vlasov 随机微分方程。在α-stable项的系数为1，漂移系数有界、关于测度满足Lipschitz连续、关于空间变量满足Hölder连续的条件下，借助于Krylov估计、Prohov定理及Skorohod表示定理得到了弱解的存在性，再由逐轨道唯一性得到强解的存在唯一性。文献[10]在方程系数满足全局Lipschitz条件和线性增长条件下得到了由Lévy过程驱动的McKean-Vlasov随机微分方程解的存在唯一性，并证明了Itô公式。

本研究考虑了带跳测度的McKean-Vlasov 随机微分方程的解的存在唯一性，在系数满足连续性及局部有界性的条件下，用局部化的方法，结合Itô公式、弱收敛、Skorohod表示定理等工具，得到了弱解的存在唯一性。本研究创新点如下：首先，把文献[10]的全局Lipschitz条件推广到局部Lipschitz条件，构造了截断函数，此截断函数满足文献[10]的条件，因此对部分过程可以用Itô公式，进而用局部化的方法得到了弱解的存在唯一性；其次，把文献[9]中的模型推广到带跳测度项，在跳测度满足一定条件下，得到弱解的存在唯一性。本研究不要求扩散项系数的非退化性，允许方程中含有跳测度，从而拓展了McKean-Vlasov的随机微分方程解的存在唯一性方面的结果。

本研究安排如下：第一节首先给出一些符号和定义，并证明弱解的存在性。第二节证明弱解的唯一性。

1 弱解的存在性证明

2 弱解的唯一性证明