彭罗斯对广义相对论和黑洞理论的贡献

2021-01-25赵峥

大学物理 2021年2期

赵峥

(北京师范大学物理系，北京 100875)

今年的诺贝尔物理学奖发给了三位研究相对论天体物理的科学家. 一位是对广义相对论和黑洞物理做出杰出贡献的数学物理学家彭罗斯(R. Penrose)，另外两位是对银河系中心的高密度天体做出了精确观测和研究的天文学家根泽尔(R. Genzel)和盖兹(A. Ghez)，他们重点研究的这个高密度天体，很可能是黑洞. 所以说，今年的诺贝尔物理学奖是发给了研究黑洞，并做出重要贡献的学者们.

图1 彭罗斯

图2 根泽尔和盖兹

图3 霍金(左)与彭罗斯(右)

遗憾的是，对黑洞研究做出最大贡献的霍金(S. W. Hawking)已经去世，诺贝尔奖只发给活人不发给死人，所以霍金与诺贝尔奖擦肩而过. 这是霍金的重大损失，也是诺贝尔奖的重大损失. 当然，还有一位对黑洞研究做出重大贡献的科学家贝根斯坦(J. Bekenstein)，他比霍金去世更早，当然也与诺贝尔奖失之交臂.

本文将主要介绍彭罗斯本人对广义相对论和黑洞研究的贡献. 对这方面原来不熟悉的读者，可以阅读他和霍金写的科普著作，初步了解他们的物理思想和成就[1-3]. 希望深入钻研的读者，则可以进一步阅读他们的科研论文及相关著作[4-8].

1 彭罗斯对广义相对论研究的贡献

彭罗斯原来是一位数学家，在霍金的研究生导师西阿玛的动员下进入了相对论研究. 霍金就是在读研期间通过老师西阿玛的介绍结识了彭罗斯.

当时彭罗斯正在研究黑洞和奇点问题，已经提出了研究奇点形成的数学物理思路，并给出了奇点定理的第一个证明. 证明塌缩形成黑洞的天体，物质一定会聚集在一起形成密度为无穷大、时空曲率也为无穷大的奇点，并认为这个奇点可以看作时间的终点.

彭罗斯的工作证明了黑洞内部一定有一个奇点，即时间的终点，作为黑洞的时间反映的白洞的内部也一定有一个奇点，那就是时间的起点.

彭罗斯的上述研究引起了霍金的极大兴趣. 正在寻找博士论文题目的霍金，联想到宇宙大爆炸创生和大塌缩终结的过程，与黑洞和白洞过程的相似性，决心把彭罗斯的奇点定理推广到宇宙创生和终结的研究中去，并把这一研究作为自己博士论文的一部分. 于是，他在彭罗斯的引导下，学习了当时多数相对论工作者尚不熟悉的现代微分几何(即整体微分几何).

爱因斯坦创建相对论所用的黎曼几何和张量分析，离不开坐标系的应用. 而整体微分几何则把坐标赶了出去，强调拓扑、流形和几何本身，从而避免了坐标选取引入的一些误解、混乱和疑问.

霍金针对宇宙创生和演化的情况，给出了奇点定理的第二个证明，然后把这一证明作为了自己博士论文的一部分. 后来，他发现这一证明有不足之处，于是又作出了改进. 此后，他又与彭罗斯一起对奇点定理作了进一步研究，给出了更加严密的证明.

从以上情况看来，彭罗斯对广义相对论研究做出的第一个重大贡献就是把整体微分几何引入了这一领域. 第二个重大贡献就是把霍金引进了时空理论研究的大门. 所以说，彭罗斯是霍金的半个老师. 此后几十年，他们成为真诚的朋友和合作的伙伴，一起展开了对黑洞、宇宙学和时空结构的深入研究.

霍金的贡献偏重于黑洞热力学. 在与彭罗斯一起提出并证明奇点定理之后，霍金又独自提出了黑洞的面积定理：黑洞的表面积随着时间的发展只能增大不能减少. 从这一定理可以得出一个推论：两个黑洞可以合并成一个，但一个黑洞不可能分裂成两个. 在最近的引力波研究中，霍金的黑洞面积定理就得到了应用.

美国相对论大师惠勒的研究生贝根斯坦首先猜测到黑洞的表面积可能是熵. 在老师惠勒的支持下，贝根斯坦对这一问题进行了深入研究，确认黑洞有“熵”存在，黑洞的表面积就是黑洞的熵，并进一步推测黑洞还有温度，初步建立起黑洞热力学这一分支. 贝根斯坦的大胆创新遭到霍金的反对. 霍金觉得贝根斯坦曲解了自己的面积定理. 霍金认为，他的面积定理是从广义相对论和微分几何推导出来的，根本没有引入热和统计的因素，怎么可能有熵和温度呢？而且有温度的物体就应该有热辐射，黑洞是只进不出的天体，怎么可能发出热辐射呢？于是，霍金和另外两位学者合写了一篇论文，反驳贝根斯坦的观点. 文章发表后，霍金转而又想，万一贝根斯坦是对的呢？于是他又反过来考虑，黑洞是否真的可能产生热辐射. 经过一段时间的努力，他终于用弯曲时空量子场论证明了黑洞真的有温度，真的会产生热辐射，这就是著名的霍金辐射. 于是，霍金完成了他一生中最大的贡献，和贝根斯坦一起完成了黑洞热力学的创建.

彭罗斯对广义相对论和黑洞研究的贡献是多方面的，除去奇点定理之外，还有彭罗斯图、宇宙监督假设和转动黑洞的彭罗斯过程等等.

下面我将依次介绍彭罗斯的几个重要贡献.

首先我想强调，用广义相对论证明星体塌缩会形成黑洞的第一人是美国物理学家奥本海默. 奥本海默在研究中子星时发现，中子星有一个质量上限(即现在所说的奥本海默极限)，大约是2～3个太阳质量，超过这一极限的星体，中子间的泡利斥力将抗衡不住万有引力，中子星将进一步塌缩进它的史瓦西半径r=2GM/c2，形成暗星. 此后不久，奥本海默本人成为原子弹的总设计师，研制出第一颗原子弹. 不过他后来再也没有回到对暗星的研究.

第二次世界大战结束后，另一位美国物理学家惠勒用当时最好的计算机，模拟了星体塌缩，证实了奥本海默的理论，确认中子星塌缩会形成光跑不出来的暗星，并把这种暗星命名为“黑洞”.

彭罗斯用广义相对论研究星体塌缩的创新性成就，重点不在于证明了质量超过奥本海默极限的星体一定会塌缩成黑洞. 因为在他之前，奥本海默等人就已经用广义相对论证明了这一点，只不过他们的证明仅限于严格球对称的星体，而彭罗斯的证明取消了严格球对称这一限制. 在更一般的情况下，得出了星体塌缩会形成黑洞的普遍结论.

彭罗斯的创新性成就的重点，在于提出和证明了奇点定理，即证明了塌缩进入黑洞的物质一定会聚集形成内禀奇点. 内禀奇点处物质密度为无穷大，时空曲率也是无穷大. 而且这种奇点是时空的本性奇点，它的发散不可能通过坐标变换而消除.

2 奇点定理的提出和证明

现在，我们来介绍彭罗斯最杰出的工作：奇点定理的提出和证明. 我们将对奇点定理及其造成的困难作简要的介绍.

2.1 内禀奇点与坐标奇点

我们先区分一下内禀奇异性和坐标奇异性.

广义相对论诞生不久，人们就发现爱因斯坦方程的解(即满足广义相对论的时空)普遍存在奇异性(奇点或奇环等). 奇异性有两类，一类是内禀奇异性，是时空本身存在问题，表现为时空曲率发散，而且这种发散不能通过坐标变换加以消除. 例如，球对称黑洞(史瓦西黑洞)的“中心”奇点，转动黑洞内部的奇环，大爆炸宇宙的初始奇点，大塌缩宇宙的大挤压终结奇点等，都属于这类奇异性.

另一类是坐标奇异性，这种奇异性不是时空本身存在问题，而是由于坐标系选择不当引起的，可以用坐标变换加以消除. 只存在坐标奇异性的地方，时空曲率正常，并不出现发散. 当然具有坐标奇异性的地方，往往也有物理意义，例如前面谈到的黑洞的表面(事件视界)，就存在坐标奇异性.

下面我们探讨的都是内禀奇异性. 为了讨论方便，以后我们把出现内禀奇异性的地方(奇点、奇环等)，统称为奇点.

2.2 栗弗席兹与卡拉特尼科夫的失误

上世纪70年代对奇点问题的深入研究，起源于苏联物理学家的工作. 当时朗道已经去世，他的助手栗弗席兹与另一位物理学家卡拉特尼科夫联手，对广义相对论中的奇点问题展开了研究.

把他们吸引到这一问题上来的原因是，他们注意到当时已知的广义相对论场方程的解，除去作为真空的闵可夫斯基时空和德西特时空(常曲率时空)之外，一般都存在内禀奇点，奇点处时空曲率发散，因而是物理理论无法了解的地方，它随时可能产生无法预测的信息. 环形奇点(如转动黑洞中的奇环)的附近，还会出现“闭合类时线”，沿这类曲线生活运动的人，会回到自己的过去. 这简直令人不可思议. 因此他们觉得，真实的物理时空不应该存在奇点.

那么，为什么满足广义相对论的时空普遍存在奇点呢？他们认为，这是因为人们在求解爱因斯坦场方程时，把时空的对称性假设得过于理想所致.

他们想，当一个星体做标准的球对称塌缩时，所有的星体物质都球对称地下落，因此最终都挤到球心，形成奇点，例如史瓦西黑洞中心的奇点.

但是真实的星体塌缩不可能是标准而严格的球对称塌缩，所有各个方向塌向球心的物质会在中心附近交叉而过，最终不会形成奇点.

克尔黑洞中的奇环，也是人们把星体塌缩想得太理想所致，当旋转的星体做标准的轴对称塌缩时，才会形成奇环. 但真实的旋转星体，塌缩时不会严格轴对称，塌缩的星体物质也会相互碰撞，最终“擦肩而过”，不会形成奇环.

总之，他们认为奇点和奇环的出现，都是因为人们把星体塌缩时的对称性想得太好所致. 真实的塌缩过程不可能保持如此严格的对称性，所以奇点和奇环都不可能真正形成.

人们为什么要把物质和时空的对称性设想得那么完美呢？这是因为广义相对论的场方程过于复杂，求解起来非常困难. 把对称性设想得越好，场方程越可能化简，越容易求解. 所以，场方程的复杂性迫使科学家们把时空的对称性想象得尽可能好，这样，他们才求出了场方程的一些解. 卡拉特尼科夫与栗弗席兹认为，令人遗憾的是这也导致了奇点的出现.

他们进行了较为深入的研究，最后得到一个结论：奇点并非广义相对论的必然结果，奇点的出现是把时空和物质的对称性设想得太好所致. 真实的时空和物质分布不可能保持严格的对称性，所以真实的时空中不应该存在奇点.

2.3 彭罗斯的创新思维

彭罗斯不相信他们的结论，认为他们的证明过程有误.

彭罗斯指出，奇点是广义相对论理论固有的“毛病”，满足广义相对论的真实时空中都不可避免地存在奇点.

经过仔细思考与研究，彭罗斯和霍金证明了“奇点定理”. 这个定理可粗略表述为：只要爱因斯坦的广义相对论正确，并且因果性成立，那么任何有物质的时空，都至少存在一个奇点.

更加值得注意的是，彭罗斯和霍金在提出并证明“奇点定理”的过程中，对“奇点”概念进行了重新认识，提出了极其重要的新思想：奇点应该看作时间的开始或终结！

这就是说，他们的奇点定理证明了一定存在时间有开始和终结的过程，这使得物理学介入了“时间有无开始和终结”的探讨.

时间有没有开始和结束？千百年来，许多伟大的思想家对此进行过深入的探索，但那都是些哲学家和神学家，而且有关的探讨都局限在哲学分析、神学研究和主观猜测上. 从20世纪60年代开始，物理学介入了这一问题的研究. 其标志就是彭罗斯和霍金提出的奇点定理(或称奇性定理)，该定理概括并超出了关于宇宙开端和终结的研究.

奇点定理可粗略表述为：只要广义相对论成立，因果性良好，有物质存在，就至少有一个物理过程，其时间存在开始或存在结束，或既有开始又有结束. 这一数学定理在物理学和哲学上的重大意义是不言而喻的. 遗憾的是，到目前为止，它还没有引起哲学界的注意，科学界对它的重视也远远不够.

彭罗斯与霍金等人对于奇点的这一认识，来源于对黑洞和宇宙的研究. 在大爆炸宇宙模型中，宇宙与时间一起诞生于时空曲率发散的初始奇点；对于其中的大塌缩结局，宇宙与时间又一起终结于时空曲率发散的大挤压奇点.

另一方面，广义相对论告诉我们，黑洞内部的时空坐标要发生互换，原来的时间t成为空间坐标，而径向坐标r则成为时间坐标. 所以黑洞内部的等r面不再是球面，而成为了等时面.

对于黑洞，时间方向指向r=0的奇点处. 这样，等r面成为“单向膜”，任何进人黑洞的物质只能向r减小的方向运动，不能停留，也不可能反向运动，而且没有任何力和任何物质结构能够抗拒这种运动.

这是因为，这不是一般的运动，而是一个时间发展的过程，什么力量都不能抵挡，不能不顺着时间方向前进. 也就是说，任何物质都必须“与时俱进”.

黑洞内部整个是单向膜区，黑洞的边界(视界)是单向膜区的起点. 进入黑洞的飞船和任何其它物质都将在有限的时间内穿越单向膜区到达奇点. 值得注意的是，由于时空坐标互换，r=0现在不是黑洞的“球心”，而是时间的终点. 这就是说，进入黑洞的飞船和宇航员的时间将在有限的经历中结束.

按照广义相对论，还可能存在白洞. 白洞是黑洞的时间反演. 它的内部也是单向膜区，只不过时间方向从奇点r=0处指向视界处，所以它的单向膜的单向性与黑洞相反. 需要强调的是，白洞内部的r=0处，不是时间的终点，而是时间的起点.

2.4 奇点：时空中无法修补的洞

有奇点的时空，称为奇异时空. 然而，如果有人把奇点从时空中挖掉，剩下的时空还能叫做奇异时空吗?彭罗斯和霍金认为即使把奇点挖掉，时空的根本性质也不会有变化，仍然是奇异时空.

然而，挖掉奇点之后，时空中就不存在曲率为无穷大的点了，因此，仅仅用“曲率无穷大”来定义奇点是有缺陷的. 他们注意到，虽然人们可以把奇点从时空中挖掉，但挖掉之后总会留下空洞，那么时空中任何一条经过空洞的曲线(世界线)都会在那里断掉.

于是，彭罗斯和霍金建议，干脆把奇点从时空中“去掉”，认为它们不属于时空. 粗略地说，干脆把它们看作时空中的“空洞”. 但是任何一个正常点也都可以从时空中挖掉，形成空洞，时空中的曲线到达这样的空洞当然也会断掉，不过，这种空洞可以用数学方法补上，而奇点处的空洞则由于曲率发散不可能补上.

2.5 奇点：时间的开始与终结

于是，彭罗斯和霍金这样去证明他们的“奇点定理”：证明时空中至少存在一条具有如下性质的类光(光速)或类时(亚光速)世界线：它在有限的长度内会断掉，而且断掉的地方不能用任何手段修补，以使这条世界线可以延伸过去.

类空(超光速)世界线不在他们的考虑范围之内，因为这样的曲线描述超光速运动，而自然界不存在超光速运动的粒子.

类光世界线描述光子运动，类时世界线描述低于光速的质点的运动，例如电子运动、火箭运动以及我们人类可以进行的任何活动. 总之，光速或亚光速世界线描述自然界存在的一切实际过程.

相对论研究表明，时空中的亚光速世界线的长度，恰恰是沿此线运动的质点(或火箭、或任何物体和人)所经历的真实时间(称为固有时间). 所以，按照彭罗斯和霍金的观点，“奇点”就是时间过程断掉的地方.

奇点定理的实质内容是：在因果性成立、广义相对论正确、而且有物质存在的时空中，至少有一个可实现的物理过程，它在有限的时间之前开始，或在有限的时间之后终结. 也就是说，至少有一个物理过程，它的时间有开始，或有终结，或者既有开始又有终结. 换句话说，至少有一个时间过程，它的一头或两头是有限的.

总之，奇点定理告诉我们，时间不都是无穷无尽的. 黑洞的内部，有一个时间的“终点”，即黑洞的奇点. 白洞的内部，有一个时间的“起点”，即白洞的奇点. 膨胀宇宙的时间有一个起点(大爆炸奇点)，脉动宇宙的时间，则不仅有一个起点(大爆炸奇点)，还有一个终点(大挤压奇点).

奇点定理的前提条件是无可非议的. 奇点定理的证明过程，依据了现代微分几何和广义相对论的研究成果，经过了不少专家的反复推敲. 看来，奇点困难无法摆脱. 奇点定理不仅确认了奇点不可避免，而且指出奇点困难反映了时间的有始有终性.

下面，我们先介绍一些基本概念，然后介绍证明奇点定理的思路.

2.6 测地线与仿射参量

由于一般的世界线反映的不一定是质点(或光子)的自由运动，可能有外力作用，即反映的不一定是纯“时空”性质，而且一般世界线不易找到合适的参量来表征“长度”，彭罗斯和霍金在研究奇点时把注意力集中到测地线(即“短程线”)这类特殊的世界线上.

测地线是直线在弯曲时空中的推广，它是不受外力(万有引力不算外力)的自由质点和自由光子在弯曲时空中的运动轨迹，反映的是时空本性，而且测地线有一种很好的参量可以反映长度，那就是仿射参量.

类时测地线(自由质点的轨迹)的仿射参量可以看做固有时间(即沿此测地线运动的观测者亲身经历的时间). 类光测地线(自由光子的轨迹)的仿射参量虽然不能看做固有时间，但仍能很好地描述光线的长度.

如果有一根非类空测地线(即类时或类光的测地线)，在未来或过去方向上，在有限的仿射长度内断掉，不能再继续延伸，那么，这根测地线就被认为碰到了时空的“洞”. 如果这个“洞”补不上(例如，曲率发散处的“洞”就补不上)，那么它就是奇点.

严格说来，“洞”不一定是一个点，可能是一个区域，而且此区域不属于时空，甚至可能不属于流形，个别情况还不属于拓扑空间.

注意，现代广义相对论认为，奇点本身不属于时空. 奇点与无穷远点均不属于时空，区别在于伸展到无穷远点的光线或类时线长度无限，即光线的仿射参量和类时线的固有时间趋于无穷；而伸展到奇点的光线和类时线长度有限，即仿射参量或固有时间有限.

2.7 时空的因果结构

分别满足下述5个条件的时空，具有不同的因果结构，因果性一个比一个好.

1) 编时条件：不存在闭合类时线. 即，一个人或一个质点不能随着时间前进，又转回自己的过去.

人或质点不管在3维空间中静止还是运动，在4维时空中都会描出一条亚光速的世界线—类时线. 此类时线描述了人或质点的“历史轨迹”和 “生活经历”.

如果此类时线闭合，就表明这个人或质点会回到自己的过去，影响过去的自己，从而改变自已过去的历史，造成因果性的破坏. “编时条件”就是禁止出现这种荒谬的情况.

2) 因果条件：不存在闭合因果线. 即，不仅没有闭合类时线，也没有闭合类光线. 闭合类光线表示一条光线随着时间前进，会转回自己的过去，这同样会影响过去，破坏因果性.

3) 强因果条件：不存在闭合因果线，也不存在无限逼近闭合的因果线.

沿“无限逼近闭合的因果线”发展的人、质点或光子，不可能完全不影响自己的过去.

4) 稳定因果条件：在微扰下也不出现闭合因果线. 即，不存在闭合因果线，而且在对时空进行微扰的情况下，也不会导致原来不闭合的因果线闭合起来.

物质的存在和运动变化，不可能不对时空产生反作用，造成微扰. 如果一有微扰因果线就闭合，这种时空的因果结构还是有问题的.

5) 整体双曲：时空存在柯西面. 所谓柯西面是这样一张超曲面，时空中的任何一条因果线都必须与它相交，而且只交一次.

整体双曲时空被一张张柯西面充满. 粗略地说，每张柯西面都可以看作该时空的一张“同时面”. 而且，我们只要知道了任何一张柯西面上的全部数据，就可以知道整个时空的全部“历史”，所有的这些数据如何从过去演变而来，又如何继续发展演变. 非整体双曲的时空都做不到这点.

所以许多人认为，真实的物理时空都应该是整体双曲的. “整体双曲”有可能是物理学对时空性质的要求. 当然，对于这一点，学术界还有不同意见.

感兴趣的读者可参看梁灿彬与周彬合著的《微分几何与广义相对论》.

整体双曲的时空是因果性最好的时空. 整体双曲的时空一定稳定因果，稳定因果的时空一定强因果，强因果时空一定满足因果条件，因果条件一定能推出编时条件.

闵可夫斯基时空和史瓦西时空都是整体双曲的. Reissner-Nordstrom时空(即带电史瓦西时空)是稳定因果的. 转动轴对称的Kerr时空和Kerr-Newman时空(带电Kerr时空)则因果性很差，连编时条件都不满足，在奇环附近存在闭合类时线，沿此类时线生存的观测者，将不断地返回自己的过去.

2.8 能量条件

真实的时空，不应该一点能量都没有. “能量条件”就是给出时空中能量和压强存在的情况.

1) 弱能量条件

此条件表示能量密度ρ一定非负

ρ≥0

(1)

2) 强能量条件

(2)

式中ρ为能量密度，pi为压强(应力). 强能量条件是说应力不能太负. 事实上，在绝大多数情况，应力都是正的，所以一般情况下强能量条件反而比弱能量条件弱. 但是，存在应力为负的情况，这时，强能量条件就比弱能量条件强了.

3) 主能量条件

u2≤1,ρ≥0

(3)

主能量条件是要求能量流不能超光速，且弱能量条件必须成立. 式中u为能流速度，此处采用了自然单位制，光速c=1. 从主能量条件可以推出弱能量条件.

2.9 共轭点

讨论奇点定理，需要用到测地线的共轭点的概念. 我们来介绍一下共轭点.

测地线是直线在弯曲时空中的推广. 大家都知道，平直时空中的两条直线只能有一个交点. 弯曲时空则不同，两条测地线可能不止一个交点. 例如地球表面的经线，它们都是大圆周，都是球面上的测地线(短程线)，但它们在北极和南极各有一个交点，一共两个交点，这两个交点称为“共轭点”.

在一般的弯曲时空中，我们可以定义测地线汇，就是在时空的每一点画出一条测地线，它们汇成一束，在这束“线汇”中，每一点都有一根且只有一根测地线.

测地线汇中无限邻近的测地线，如果有两个交点，则称此二交点为共轭点. 测地线汇，按照定义，是指过每一时空点有一根且只有一根测地线的情况. 在测地线的交点，当然有两根以上的测地线. 从这个意义上讲，共轭点是线汇的奇点，但它还不是时空的奇点.

2.10 最长线：无共轭点的测地线

黎曼空间(包括欧几里得空间)中，两点之间的测地线是最短线，而在相对论所用的黎曼时空(包括闵可夫斯基时空)中，两点之间的测地线是最长线. 这是因为黎曼时空属于伪黎曼空间.

可以证明：在广义相对论中，不管是类时线还是类光线，两点之间长度取最大值的世界线一定是中间无共轭点的测地线.

前面我们曾经谈到，两点之间距离取极小值(或极大值)的线，一定是测地线(或称“短程线”). 这里我们又进一步看到，两点之间距离取极小(或极大)值的线，不仅必须是测地线，而且还要其上不存在共轭点，这是为什么呢？

我们用球面来举一个例子，大家就易于理解了. 在地球表面，从北京到北极点最近的连线，一定是过这两点的大圆周(测地线)，也即过北京的经线.

但是，从北京到北极点，沿这条经线有两条路可走，一条是从北京径直往北，到达北极点. 另一条是从北京往南走，沿这条经线到达南极点，绕过南极后再继续向前，往北走，最终到达北极点. 这两条路线都是沿同一条经线，也就是说沿同一个大圆周，同一条测地线.

显然，只有从北京出发径直往北的路径最短，从北京往南越过南极点再往北到北极的路径，不是最短的线. 它们不都是大圆周吗？不都是测地线(“短程线”)吗？为何只有从北京径直向北的一条是最短线，往南的一条不是呢？

这是因为往南的一条上有共轭点，例如南极点就是与北极点共轭的点，共轭点的存在，使这段测地线不再是最近的距离. 不经过南极点的那段经线上没有共轭点，所以只有从北京往北走，直达北极点的经线才是最短线.

2.11 奇点定理的证明思路

可以证明：

1) 在强因果时空中，不一定有最长线；如果有，则一定是无共轭点的测地线.

2) 在整体双曲时空中，一定有最长线，它一定是无共轭点的测地线.

另一方面，又可以证明：

如果广义相对论正确，强能量条件成立，并且时空中至少有一个存在物质的时空点，则测地线上在有限的仿射距离内必存在共轭点.

总之，因果性要求有最长线，即要求存在无共轭点的测地线. 能量条件、广义相对论和物质的存在则要求测地线上一定有共轭点，而且是在有限的仿射距离内就出现共轭点.

如果时空同时满足上述因果性和能量条件，并存在物质，而且广义相对论正确，那就会导致矛盾的结论：测地线上既要有共轭点，又要无共轭点.

解决此矛盾的唯一出路是，测地线不能无限延伸，在出现共轭点之前，在有限的仿射距离内就断掉. 也就是说，此测地线一定会遇到奇点，时空一定存在奇异性.

例如，有一个因果性很好的时空，在此时空中的任意两点p与q之间，必定有最长线，它一定是一条不存在共轭点的测地线，如图4的左图所示.

如果此时空是广义相对论场方程的解，满足能量条件，且存在一点儿物质，那么从p到q之间的测地线一定存在共轭点，例如图4的中图所示.
图中r点即是与p点共轭的点.

因果性要求p、q之间无共轭点，能量条件等又要求有共轭点. 这个矛盾如何解决呢？唯一的办法是认为此测地线从p出发后，在抵达共轭点r之前碰到了洞，断掉了，即碰到了奇点(如图4的右图).

图4 共轭点与奇点

由此，就证明了奇点定理：如果广义相对论正确，能量密度非负，时空不完全是真空，因果性良好，则时空一定存在奇点.

我们看到，史瓦西时空、克尔-纽曼时空、膨胀宇宙模型中都有奇点. 不过，闵可夫斯基时空和德西特时空没有奇点，这是因为它们是完全的真空，没有任何物质存在.

通常确认时空奇点有两个步骤：一是如上所述，证明有非类空测地线在某处不可延伸. 二是进一步证明反映时空曲率的标量在该处发散，这种发散使得该处的时空不能被修补，以使测地线延伸过去.

对第二个步骤应该做一点说明，在广义相对论中描述曲率的量，有的是张量，有的是标量. 张量在坐标变换下会发生变化，它的某些分量如果在一个坐标系中发散，变到另一个坐标系就有可能不发散. 但标量的值与坐标系的选择无关，如果在一个坐标系中发散，那么无论你怎样变换坐标系，它都会保持发散. 所以判断时空曲率是否出现发散，一定要用描述时空曲率的标量.

奇点定理的表述形式有好几种，具体的证明方式也有所不同，但大体上类似于我们上面证明的思路. 感兴趣的读者可以参考彭罗斯和霍金的原始论文，或者R. M. Wald所著的GeneralRelativity以及S. W. Hawking著的Thelargescalestructureofspace-time.

3 彭罗斯图、宇宙监督假设和彭罗斯过程

下面我们再来介绍彭罗斯对广义相对论和黑洞研究的另外几个已被公认的贡献：他设计了彭罗斯图，提出了宇宙监督假设，发现了从转动黑洞的能层中提取能量的方法——彭罗斯过程.

3.1 彭罗斯图

为了研究时空整体结构的方便，特别是研究时空无穷远性质的方便，他设计了一种图——彭罗斯图. 在这种图中，他通过共形变换，把无穷远拉近，成为研究者看得见摸得着的东西.

对于空间球对称的时空，他设计了下列几种无穷远：

1) 类时未来无穷远I+：r有限，t→+∞；

2) 类时过去无穷远I-：r有限，t→-∞；

3) 类空无穷远I0：t有限，r→∞；

4) 类光未来无穷远J+：(t-r)有限，(t+r)→+∞；

5) 类光过去无穷远J-：(t+r)有限，(t-r)→-∞.

其中，t表示时间；空间坐标r表示到原点的距离，所以每一个r值都不只是代表一个点，而是代表取这个值的球面上的所有点. 下面我们以闵可夫斯基时空为例来进行讨论.

可以证明，在共形变换下，闵可夫斯基时空图5可变成彭罗斯图6. 应该注意，共形变换实际上是一种尺度变换，它把“无穷远”压到了有限距离之内. 例如，闵可夫斯基时空，它的时间无穷远(类时无穷远)和空间无穷远(类空无穷远)，都是既画不出又摸不着的. 但利用尺度压缩的共形变换作成彭罗斯图之后就是既画得出又摸得着的了.I0点就是空间无穷远，I+点和I-点就是时间无穷远，读者不妨用手摸摸这几个无穷远. 应该说明，从我们的上、下、前、后、左、右均可以走向空间无穷远，我们把所有这些空间无穷远“认同”为一个点，就是图中的I0点.J+和J-两个不含端点(即不含I+、I-和点I0)的开线段，是类光无穷远.

图5 闵可夫斯基时空图

图6 闵氏时空彭罗斯图

我们的闵可夫斯基时空，对应不含上述无穷远点(即不含I0、I±、J±)的开区域. 开区域的边界(I0、I±、J±)实际上并不对应闵可夫斯基时空中的点. 也就是说，闵可夫斯基时空不含无穷远点. 上述共形变换的尺度压缩，越趋向无穷远，压缩越厉害. 在I0、I±及J±处，尺度产生无限压缩.

还应该注意共形变换的另一特点，它是一个保角变换. 虽然时空的尺度发生了压缩，但角度保持不变. 原时空中呈45°角的光锥，在彭罗斯图中仍保持45°角.

下面我们再看一下史瓦西时空. 史瓦西时空的视界具有坐标奇异性. 史瓦西坐标可以覆盖视界外部，也可以覆盖视界内部，但不能覆盖视界本身. 当然坐标变换可以消除视界的坐标奇异性. 克鲁斯卡找到了一个能够覆盖整个史瓦西时空，而且使其具有最大解析区和最高完备性的坐标系——克鲁斯卡坐标系.

图7 克鲁斯卡时空图

克鲁斯卡坐标系可以统一描述整个史瓦西时空，它覆盖了黑洞内、外及视界. 而且，从克鲁斯卡时空图可知，它扩大了原来已知的史瓦西时空. 它把白洞区也囊括图中，而且告诉我们还有一个与我们类似，但与我们没有任何关联的“平行宇宙”. 两条对角线是视界，由于采用了自然单位制c=1、G=1，所以视界r=2GM/c2写成r=2M. I区即通常的黑洞外部宇宙，F区为黑洞区，P区为白洞区，II区是另一个洞外宇宙，它和我们的宇宙没有因果连通，没有任何信息交流. 奇点r=0分别出现在白洞区和黑洞区，以双曲线形式呈现.
图中阴影部分不属于时空. I区和II区中r=常数的双曲线，就是史瓦西时空中静止粒子的世界线.F区和P区中的r=常数的双曲线为等时线. 应当注意，此图中的任何一点，都代表一个二维球面. 光锥如图7所示，总是呈45°角张开. 显然，白洞P中的粒子和信号可进入宇宙I和宇宙II，但宇宙I、II中的粒子和信号都不能退回白洞区. I或II中的粒子或信号都可以进入黑洞区F，但I、II之间不能交流. 黑洞区的粒子和信号也不能倒回宇宙I或II，只能向前到达奇点. 应该指出史瓦西解是场方程的真空解，除去r=0外，都是真空区，洞内的单向膜区也不例外，视界处当然也是真空.

在数学上，克鲁斯卡坐标比史瓦西坐标优越，它能覆盖整个史瓦西流形，而且能对流形上的一切过程(黑洞过程、白洞过程等)作最完备的描述，即除去通往内禀奇点的测地线之外，所有的测地线都可以无限延伸，通向无穷远. 所以说，克鲁斯卡度规具有最大解析区和最高完备性.

下面我们再介绍一下描述史瓦西流形的彭罗斯图——克鲁斯卡时空彭罗斯图.
图8是克鲁斯卡时空的彭罗斯图. 此图中任何一点代表一个r取定值的二维球面. I、II是两个相互不通信息的宇宙. 每个宇宙均有自己的类时无穷远I±、类光无穷远J±和类空无穷远I0，r=2M是视界.F是黑洞区，P是白洞区.r=0是内禀奇点. 奇点和边界(I0、I±、J±)均不属于克鲁斯卡时空. 此时空也是一个开区域，光锥仍保持45°角.

图8 克鲁斯卡时空彭罗斯图

对于I和II这两个相互不通信息的宇宙，O点是一个“喉”，或者叫做“虫洞”，又叫做爱因斯坦-罗森桥. 这两个宇宙可以通过此虫洞相通. 但是，通过这个虫洞的世界线都是类空的，也就是说，都是超光速物体的世界线. 这就是说，只有超光速运动的质点或飞船才能通过此虫洞，从一个宇宙进入另一个宇宙，而超光速运动是相对论理论所禁止的，所以这是一种不可穿越的虫洞.

3.2 宇宙监督假设

克尔—纽曼黑洞是转动带电的黑洞，假如向这类黑洞注入角动量，使它越转越快，或者进入它的电荷越来越多，其单向膜区就会越来越薄，最后内、外视界重合，形成所谓“极端黑洞”. 这种黑洞的单向膜区退化为一层膜. 如果再转得快一点，或再增加一点电荷，内、外视界都将消失，连这层膜也消失了. 视界没有了，奇环裸露在外面. 由于奇环是人类认识的不可知区，或者说是任何规律和任何事实均不确定的区域. 裸露的奇环会使整个时空的因果性受到破坏. 对只转动不带电的克尔黑洞不断输入角动量，加快旋转，或者对只带电不转动的带电史瓦西黑洞(R-N黑洞)不断输入电荷，都会形成极端黑洞，并最后导致单向膜区全部消失，奇环和奇点裸露，使时空因果性受到破坏的情况. 为了避免这种荒谬的现象出现，彭罗斯提出了“宇宙监督假设”. 此假设说：“存在一位宇宙监督，它禁止裸奇点(奇环)的出现”. 也就是说，自然界不允许裸奇点(奇环)出现，不允许形成极端黑洞. 注意，此假设没有说明裸奇点(奇环)不能出现的物理原因. 宇宙监督假设使我们想起了当年“自然害怕真空”的说法. “自然害怕真空”的背后，是存在大气压强. 宇宙监督假设的背后也必然存在某个物理因素，有人猜测可能是热力学第三定律，因为极端黑洞是绝对零度的黑洞.

出现“宇宙监督”这个说法，与西方人的文化背景有关. 古罗马的时候，城市里有一种监督官，禁止人们不穿衣服在街上走. 彭罗斯也给宇宙“任命”了一位监督，不准奇点裸露在宇宙中，奇点必须穿上衣服，这个衣服就是黑洞，就是视界. 黑洞内部的奇点，不能把信息传到黑洞外部，不会影响黑洞外的因果关系.

后来，彭罗斯进一步改进“宇宙监督假设”的说法，改成“类时奇异性是不稳定的”. 这种说法的意思是，克尔—纽曼黑洞的奇环和内视界都是不稳定的，稍有扰动就会变化，封住内视界，不让任何飞船钻进去，这就避免了进入克尔—纽曼黑洞内部的人“看见”奇环，导致他们的因果性变得不确定.

此后，他又把宇宙监督假设的说法改为：时空一定是整体双曲的. 这就意味着，真实存在的物理时空，内部的因果性一定良好.

3.3 彭罗斯过程与黑洞的激发态

彭罗斯在研究转动黑洞时发现，转动的克尔黑洞的能层中存在负能轨道. 我们设想，一块具有能量E，的物体进入能层，然后分裂成两块，一块沿负能轨道穿过外视界进入黑洞,使黑洞的能量减少E1，另一块沿正能轨道跑出能层飞向远方. 从能量守恒的角度看，飞向远方的物体具有的能量E2应该大于入射物体的能量E. 出射物体比入射物体增加的能量，在数值上等于负能物体带入黑洞的负能E1. 研究表明，负能物体减少的是黑洞的转动动能. 这个过程叫做彭罗斯过程.

利用彭罗斯过程可以提取黑洞的转动能量，同时使黑洞的转动逐渐变慢，能层逐渐变薄. 最后转动停下来，能层消失，克尔黑洞蜕化为不转动的、球对称的史瓦西黑洞.

美国物理学家米斯纳把彭罗斯过程推广到量子情况. 他认为，彭罗斯过程对于任何大小的入射物体都正确. 即使入射物体小到电子、光子那样，彭罗斯过程仍应成立. 然而电子、光子等微观粒子具有波粒二象性，可以看作波，因此米斯纳认为，入射一定频率范围的波进入克尔黑洞的能层，有可能使出射波比入射波强. 这一过程非常象通常的激光，被称为米斯纳超辐射. 米斯纳超辐射是彭罗斯过程的量子对应，提取的仍是克尔黑洞的转动动能. 重复进行米斯纳超辐射，克尔黑洞的转动将慢慢停下来，能层也会慢慢消失，最后蜕化为史瓦西黑洞.

图9 彭罗斯过程

苏联物理学家斯塔诺宾斯基和加拿大物理学家安鲁进一步发展了米斯纳的工作. 他们认为，米斯纳超辐射是一种受激辐射. 按照爱因斯坦30多年前提出的原子辐射理论，受激辐射与自发辐射之间有一种必然的联系，只要存在受激辐射就应存在自发辐射. 所谓自发辐射就是在没有任何外来影响的情况下，处于激发态的原子会自发地辐射光子. 因此，他们认为即使不入射任何粒子或波进入能层，克尔黑洞也会自发地辐射粒子和波，辐射的频率范围与米斯纳超辐射相同，自发辐射带走的同样是克尔黑洞的转动动能. 这一现象被称为斯塔诺宾斯基-安鲁过程，这一过程也会导致克尔黑洞蜕化为不转动的史瓦西黑洞.

研究表明，既转动、又带电的克尔-纽曼黑洞，同样存在彭罗斯过程、超辐射和自发辐射. 这些过程带走的不仅是黑洞的转动动能，还有黑洞的电磁能和电荷. 这将导致黑洞转速变慢，电荷减少, 能层变薄，最后蜕化为不转动、不带电的史瓦西黑洞.

不转动的带电史瓦西黑洞称为R-N 黑洞，它也会产生自发辐射和超辐射，带走的是黑洞的电荷和静电能，使自身逐渐蜕化为不带电的史瓦西黑洞.

上述讨论表明，既不带电又不转动的史瓦西黑洞，可以看作黑洞的基态. 而转动的克尔黑洞、转动带电的克尔-纽曼黑洞以及带电的R-N 黑洞都可以看作黑洞的激发态. 处于激发态的黑洞并不宁静，它们会通过超辐射、自发辐射及彭罗斯过程甩掉自己的转动动能、电荷和电磁能，使自己逐渐回到基态. 基态黑洞看来应该是宁静的，这是霍金辐射发现之前的情况.

斯塔诺宾斯基-安鲁效应可以这样来理解. 黑洞的转动或带电，会使其表面附近的狄拉克真空能级发生变化，出现正负能级交错现象. 按照狄拉克的观点，所谓真空态,是所有负能态都已填满，而所有正能态都空着的状态. 黑洞的转动(或带电)会使黑洞表面(外视界)附近充满粒子的负能态升高，高于邻近的空着的正能态.

图10 黑洞附近的真空能级与自发辐射

这时，禁区相当于势垒，负能粒子可以通过隧道效应穿越势垒成为正能粒子，然后跑向远方. 这些粒子带走黑洞的转动能量、电荷和电磁能，从而使激发态的黑洞慢慢蜕化到基态.

应该说明，黑洞的霍金辐射不属于上述自发辐射和受激辐射. 在霍金辐射发现之前，学术界认为所有的黑洞都将蜕化为史瓦西黑洞，成为一颗没有任何生命力的死亡的星. 霍金的发现震惊了相对论界，原来黑洞不是一颗死亡了的星，它会不停地发出热辐射，而且小黑洞温度会极高，会发出猛烈的热辐射，甚至爆炸. 霍金的发现，大大地改变了人们对黑洞的认识.

彭罗斯是杰出的数学物理学家，他的成就分布于数学、物理两个领域. 除去上述贡献之外，他还得出了扭量理论、外尔曲率猜想、广义逆矩阵、彭罗斯地砖等许多成就.

下面我想对本次获奖的另外两位天文学家(根泽尔和盖兹)的贡献介绍几句.

黑洞理论刚提出来的时候，天文界的反应并不热烈. 这种情况持续了多年. 记得上世纪80年代的时候，笔者参加中国天文学会的一些活动，在会上只有几个涉及黑洞的报告，而且报告人基本都是学物理出身后来转入天文界的学者. 一般天文方面的专家都对此将信将疑、不置可否. 但是后来情况有了很大的改变，在黑洞的理论研究不断取得进展的情况下，越来越多的天文工作者加入了探寻黑洞的研究与观测. 最近一段时间以来，天文界似乎觉得宇宙间普遍存在黑洞，特别是在类星体和星系的中心，似乎都存在超大质量黑洞.

许多天文观测发现，大质量天体周围存在吸积和喷流. 不过研究表明，黑洞和非黑洞都能产生吸积和喷流. 最近公布了一些疑似黑洞的、经过处理的照片，虽然还不能确认那就是黑洞，但毕竟把探寻黑洞的工作又向前推进了一步.

图11 银河系与太阳系(本图取自：https//www.nobelprize.org/prizes/ physics/2020/popular-information/)

今年这两位获得诺贝尔奖的天文学家的工作尤其值得赞扬，他们克服观测上的重重困难，竟然把探测深入到距离银河系中心半径约1光月的区域. 在这个极小的区域内，他们发现了30多颗围绕银心高速运转的恒星. 其中离银心最近的那颗(S0-2)距银心只有0.12光年，以每秒7000公里的速度运动，公转周期大约16年. 这与木星围绕太阳转动的公转周期(12年)相近. 众所周知，我们的太阳系距银河系中心2.6万光年，绕银心公转一周需要两亿多年. 由此可以看出他们的视线已经深入到离银心多么近的地方. 根据这些观测数据，他们估计在银心处大约相当于太阳系大小的空间区域内，集中了相当于400万个太阳质量的物质. 这很可能是一个单独的超大质量致密天体，非常可能是大黑洞. 这一观测结果表明，他们很可能已经在银河系中心发现了黑洞.