广义热波长:定义、意义和应用

李心宇，张子奕，王 鑫，刘全慧

(湖南大学物理与微电子科学学院 理论物理研究所，湖南 长沙 410082)

(1)

其中h为普朗克常数.注意(1)不是热波长.按照统计物理的惯例，尽管热波长的定义也是沿用了德布罗意波长的定义，但是局限于同样温度下的经典理想气体[1-5]：

(2)

广义热波长(1)的物理意义如下.注意式(1)中出现的是粒子的平均动量，根据量子力学，粒子将具有波动性.当两个粒子间的波长和平均距离差不多大小的时候，两个粒子之间发生量子相干.因此广义热波长(1)也就是系统中任意两个粒子量子相干性的一个量度，不妨称为相干热波长(coherent thermalwavelength (CTWL)).

本文将计算低温下，自由玻色气体、自由费米气体和光子气体CTWL，并用来讨论这些系统的空间尺度问题.所谓空间体积问题，指的是低温下量子统计理论的自洽性所要求的最小空间体积，在玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)中讨论较多[7].

对于立方体L3中的单个粒子，能级为(周期性边界条件[8])

ni=0,±1,±2,...

(3)

基态、第一、二激发态的能量分别记为

(4)

这里还必须引入另外一个重要的参量即粒子之间的平均距离l ：

(5)

其中N为系统中粒子的个数.

本文给出的判据(简称CTWL判据)为，对于一个立方体中的系统，设边长为L的三维容器内，下列条件必须满足

L>λcoh

(6)

否则，粒子的波动性将超出系统之外，不再满足热力学系统的自洽性.注意，尽管这个判据针对的线度，但是可以立即转化为体积.线度判据(6)是本质判据.

本文将研究利用CTWL判据(6)分别研究自由玻色气体，费米气体和光子气体中的空间体积问题.

1 自由玻色气体的CTWL及其空间体积问题

1.1 表观判据和Yamamoto判据

由于临界温度以上，自由玻色气体的行为接近经典理想气体，不是我们感兴趣的研究对象.如果系统要发生BEC，则粒子将主要集中在基态上，那么温度必须足够低，以至于热运动能量小于基态和第一激发态之间的能量差.因此，表观判据是[7]

(7)

即

(8)

这个结果表面温度越高，宏观系统的线度越小，也就是宏观系统可以小到微观的程度.这明显是错误的.问题何在?Yamamoto认为(简称Yamamoto判据)[7]，因为正确的判据应该是温度不但要低于临界温度，还必须同时要求

ε1

(9)

其中TC为临界温度：

(10)

式(10)的物理意义很清晰：只有玻色子之间的平均距离和每个玻色子的平均热波长相若时，才能发生BEC.Yamamoto判据(9)给出的结果是

(11)

α≡TC/T

(12)

Yamamoto认为式(8)错误的原因是[7]，式(3)其实是连续的，不能分割出ε0,ε1,....问题是，在讨论BEC的时候的标准做法是，在计算自由玻色子按能级的分布的时候，必须把ε0和能级的其余部分分离出来才能给出正确的结果.因此，即使Yamamoto判据(9)是对的，他给出的理由也有些勉强.换言之，同时要求式(9)成立是一种手动的结果，不是物理理论的自然结果.

1.2 CTWL判据

当温度低于临界温度时，自由玻色气体的化学势近似为零，这样，粒子的平均动量为

(13)

(14)

因此CTWL(1)为

(15)

这个长度会随温度的下降而急剧上升.因此，CTWL判据(6)给出的结果是

(16)

(17)

这说明温度越低，需要的系统体积越大，才能观测到有意义的BEC.

1.3 Yamamoto判据和CTWL判据的比较

下面进行一点定量的比较.

1)T=TC时.Yamamoto判据(11)给出的结果是

(18)

即

N>0.816

(19)

CTWL判据(17)给出的结果是

(20)

即

N>(7.38×10-2)3≈4.02×10-4

(21)

这两个结果没有本质差别，都认为临界温度时，粒子系统会出现凝聚.

2)T=TC/10时.Yamamoto(11)给出的结果是

(22)

即

N>25.8

(23)

CTWL判据(17)给出的结果是

L>102×7.38×10-2l

(24)

即

N>(7.38)3≈4.02×102

(25)

这里出现了定量上较大的差别.给定体积，CTWL要求的粒子数必须大于402，而Yamamoto认为粒子的个数大于26就可以了，比我们的结果小了16倍.换言之，二者都认为，低温下热力学极限要求的粒子数会越来越多，但是我们要求的粒子数更多.

尽管Yamamoto判据和我们定量上不一样，但是他抓住了物理本质.我们认为，CTWL判据更加物理因而更加合理.而表观判据是错误的.

2 自由费米气体的CTWL及其空间体积问题

考虑到室温下金属中的自由电子形成强简并的费米气体，CTWL(1)可以定义如下

(26)

其中pF为费米动量，

(27)

式(26)表明粒子之间的CTWL约为晶格常数的两倍.这是必须的，否则两个晶格之间的粒子的波包无法发生重叠，就不会发生强简并.同时，注意到式(27)可以改写为

lpF=(3π2)1/3ћ≈3.09 ћ≈3.09 ћ≈0.49h

(28)

即和量子力学的不确定性关系相符.

利用CTWL判据(6)，立即得

N>2.033=8.38

(29)

认为这个条件自然满足.也就是，金属导体样品无论多么小，其中的自由电子总可以形成强简并的费米气体.

注意热波长(2)随温度的下降而上升.如果温度很低，则热波长(2)完全可能超出样品本身.这说明温度较低的时候，热波长(2)对于强简并的费米气体是不适用的.这也是需要引入CTWL判据的一个原因.

如果不使用费米动量而使用较为精确的平均动量，结果没有定性的改变.在费米统计中，简单计算可得粒子的平均动量为

(30)

3 光子气体的CTWL及其空间体积问题

在体积V的空窖中，在频率ω到ω+dω中的范围内，光子的量子态数是[1-5]

(31)

平均光子数为

(32)

总平均光子数为

(33)

平均动量为

(34)

CTWL(1)为

(35)

这个结果和维恩位移定律ћωm/kT=2.822相符.与CTWL相应的频率ωcoh正比于温度

(36)

CTWL判据(6)给出

(37)

这说明温度越低，需要的系统体积越大，才能观测到平衡辐射.注意到可观测的宇宙的直径大约为8.81026m，式(37)给出的最低的温度大约为10-29K.因此，整个宇宙为我们提供了非常广阔的温度范围.

必须说明，对光子气体来说热波长(2)将是一个完全不相关的概念.

4 讨论与总结

对于一个低温下真实的粒子系统来说，存在粒子的平均动量，也就存在一个真实的CTWL.这个长度和热波长的定义类似，但是很不同.有些系统例如光子气体不能定义热波长，但是CTWL依然有效.

利用这个CTWL，可以对热力学系统的线度进行估算.得到的线度和温度之间具有不同的幂次关系.对于有质量的玻色子，L～T-2；对于光子气体，L～T-1；对于室温附近金属中的电子，L～T0即和温度无关.

本文仅仅对于简单系统的CTWL进行了研究，如果是极端相对论性的玻色或者费米气体，有限温度下的费米气体，或者冷原子气体，甚至超导体等等，CTWL依然适用.这些将是今后深入研究的问题.