无限深势阱问题的可视化研究

肖光延，陈凤翔，汪礼胜

(武汉理工大学 理学院物理科学与技术系，湖北 武汉 430070)

无限深势阱是量子力学研究与教学中的经典问题，通常人们所关心的是这些无限深势阱的薛定谔方程如何求解，以及所解出的“定态”的概率分布可视化.前者的研究已经十分成熟，现有的教材和习题中均有涉及[1]1,2]，而后者尤其是三维势阱的可视化研究还是比较少见的.张春国[3]和杨红卫[4]等利用Matlab给出了三维无限深方势阱波函数和概率密度的切片图，这不失为一种可行的方式，但对于一些更加复杂的图案仍有一定的局限性.本文对其做出改进，绘制了电子云图像，并成功将其应用在了柱形势阱和球形势阱之中.将无限深势阱中粒子的量子行为可视化，可以有效辅助教学，帮助学生理解相关抽象概念，对量子力学理论的教学大有裨益[4].

1 无限深方势阱

1.1 一维无限深方势阱的求解及推广

一维无限深方势阱可以说是最经典的模型，该势阱实际中并不存在，但在一定条件下，很多系统都可以抽象成无限深势阱问题来处理，如量子点、量子线段等[5].其势阱可以简单描述为

(1)

这个势阱的定态解为

(2)

(3)

其中，m=1,2,3,….

以上结论可以直接推广到二维和三维的情况，对于二维势阱，有

(4)

(5)

(6)

对于三维势阱，则对应的波函数和能级分别为

(7)

(8)

1.2 无限深方势阱可视化

借助Matlab软件中强大的计算和显示功能，我们依托GUI界面开发了无限深势阱显示界面，可以通过下拉菜单选择一维势阱、二维势阱和三维势阱，同时在不同势阱模型下又可以进行细分，如二维势阱可以细分为方形和圆形势阱等.然后在不同方向选择合适的量子数，点击“运行”即输出此时的空间波函数和概率密度图.

图1 GUI主界面图

二维和三维图像也有类似规律，分别如图3和图4所示，他们的概率密度或者电子云图像在某一方向上的“峰值”的个数总是等于这个方向上的量子数.图3中给出了几个二维无限深方势阱中的波函数及对应的概率分布，其中图(a)、图(b)、图(c)分别对应Ψ21、Ψ12和Ψ13情形，其中上部分为波函数分布，下部分为概率密度.从图3(a)中可以看出，二维波函数Ψ21在x方向有两个极值，而y方向仅有1个极值，在概率密度分布中x方向出现了2个峰值，而y方向只出现了1个峰值.对其他2种情形可进行类似分析.

图2 一维无限深方势阱前3个波函数及其概率密度

图3 二维无限深方势阱的几个波函数及其概率密度

图4 三维无限深方势阱Ψ212电子云图像

对于三维无限深势阱中的波函数，我们采用电子云来描述，以图4中Ψ212的概率分布为例.|Ψ212|2在空间形成了四朵云，保证了概率密度在x方向出现2个峰值，y方向有1个峰值，z方向存在2个峰值.

2 无限深圆形势阱和柱形势阱

2.1 二维无限深圆形势阱的求解及其推广

二维无限深圆形势阱可以表述为

(9)

粒子被束缚在势阱之中，在边界上有无穷大的力限制它逃逸，而在势阱内部，它是自由的.在铜(Cu)表面量子围栏的研究中，组成围栏的48个铁(Fe)原子将Cu表面态电子禁锢其中，形成同心圆驻波，该体系就可以抽象为二维无限深圆形势阱[8,9].圆形势阱内部的哈密顿量为[1]

(10)

考虑分离变量法，令哈密顿量的本征态为Ψm(r,θ)=R(r)Φm(θ).采用数学方法求解，则二维无限深圆势阱中的波函数

Ψn,m(r,θ)=J|m|(ηn,|m|r)Φm(θ)=

(11)

其中J(r)为贝塞尔函数[10].可以看出，能级是二重简并的(m=0除外)，m取正取负虽表示着不同的波函数，却有着相同的能量.

如果考虑柱形势阱，那只不过是在竖直方向上多了一个一维无限深势方阱，粒子被约束在0

(12)

而对应的能量本征值

(13)

此时能级仍然为二重简并.

2.2 无限深圆形势阱和柱形势阱的可视化

Ψ12的波函数和概率密度

Ψ22的波函数和概率密度

无限深柱形势阱在水平方向上的变化规律和圆形势阱相同，而在竖直方向上的变化规律则和一维无限深方势阱相同，图6是其电子云图像.

Ψ122的电子云图像

Ψ222的电子云图像

图6(a)和(b)分别是柱形势阱中粒子处于态Ψ122和Ψ222时的概率分布，从正视图中可以看出，他们都在空间中分成了上下两层，这保证了概率密度在z方向上出现2个峰值.此外，图6(a)中俯视图展示了|Ψ122|2在水平方向上有1个同心圆环，而图6(b)中俯视图展示了|Ψ222|2在水平方向上的2个环，这是由径向量子数n控制的，我们已经在二维的分析中提到了其原因.

3 无限深球形势阱

3.1 三维无限深球形势阱的求解

三维无限深球形势阱可作为原子核内势能的一个高度简化的物理模型[11]，势函数表示如下

(14)

在势阱内，哈密顿算符可以写成[1]

(15)

要求解的波函数应该是(H,l2,l)的共同本征函数，它必然有着如下形式

(16)

分两部分讨论，当l=0时，m只能为0，这个时候的定态波函数为

(17)

(18)

该能级无简并.

当l≠0时，方程的解为

(19)

(20)

可见，能级E只与n、l有关，因此，这个能级的简并度取决于m，由于m=0，±1，±2，...，±l，因此简并度为2l+1.

3.2 无限深球形势阱的可视化

无限深球形势阱概率分布随3个量子数n、l、m变化的规律如图7所示.在波函数中，半整数阶贝塞尔函数和球谐函数互相调制，粒子在势阱中的概率分布受两者共同影响.因为贝塞尔函数电子云分布有了球壳结构，球壳的层数就是量子数n，同时粒子的概率分布又保留了球谐函数的大部分特征.

图7中的(b)、(c)、(d)图均可以看做是由半整数阶贝塞尔函数和球谐函数互相调制而成.由于n=2，它们的电子云都有着2层的结构.而图(b)的纺锤形，图(c)的中间大环，图(d)俯视图中的零点，都是来自于对应的球谐函数的特征.

为进一步分析，在图8中给出了三维无限深方势阱|Ψ220|2以及构成它的径向函数|Rl|2与球谐函数|Ψ20|2.从图8(a)、(b)、(c)的对比中，我们可以直观地看出|Ψ220|2既保留了|R2|2的两层球壳结构，又可以从中看出|Ψ20|2的轮廓.

Ψ100的电子云图像

Ψ210的电子云图像

Ψ220的电子云图像

Ψ221的电子云图像

|Ψ220|2

径向函数|R2|2

球谐函数|Ψ20|2

4 总结

本文共介绍了一维、二维、三维等6个无限深势阱的理论计算和可视化模拟，这基本上已经涵盖了所有的规则势阱.对于每一个势阱，我们都对其波函数、概率密度以及电子云图形随量子数变化的趋势进行了讨论，此外，还分析了二维、三维势阱的能级简并度等.借助Matlab软件的强大功能，粒子在势阱中的概率分布变得直观，有些图像作出来后令人眼前一亮，使人不由地赞叹对称之美.无限深势阱中波函数的直观可视化，对量子理论的课堂教学及学生对量子力学中抽象概念的理解和掌握都具有很大帮助.