变参数下角接触球轴承保持架的稳定性与振动特性分析

2021-01-22赵春江殷玉枫冯毅杰

工程设计学报 2020年6期

曾光，边强，赵春江，殷玉枫，冯毅杰

（1.太原科技大学机械工程学院，山西太原 030024；2.太原科技大学重型机械教育部工程研究中心，山西太原 030024）

保持架是角接触球轴承的重要元件之一，用于均匀地隔离滚珠和引导滚珠保持在滚道内。引导间隙和兜孔间隙是保持架的重要结构参数，其直接影响保持架的受力和性能。保持架间隙参数设计不合理会增大保持架与滚珠、引导套圈间的碰撞力和摩擦力，导致轴承运动失稳，严重时会引起保持架断裂或轴承磨损等故障。在保持架设计前期，通过振动分析来预测其动态性能，可避免共振的发生；通过优化引导间隙和兜孔间隙等参数可使保持架具有更好的防振性能。因此，针对不同引导间隙和兜孔间隙下保持架稳定性和振动特性的研究具有实际工程意义。

对于高速角接触球轴承的动态性能分析，国外的Jones［1］提出了套圈滚道控制理论，解决了滚动轴承的动力学分析问题；Harris［2］结合弹流润滑理论建立了第1种高速球轴承拟静力学分析方法，但未分析保持架的动态特性；Gupta［3］利用理论分析与试验相结合的方法研究发现，在一定工况条件下，保持架的引导间隙和兜孔间隙对其稳定性有直接影响。国内的邓四二等［4］采用柔体动力学分析方法，研究了保持架的动态性能，并对基于柔体动力学和刚体动力学的保持架动态性能进行了对比分析；张刚等［5］利用ANSYS/LS-DYNA对特定工况下的滚动轴承进行了显式动力学仿真分析，得到了滚珠的应力、加速度和位移等的变化规律；冯劲辉等［6］使用ABAQUS-Explicit显式算法对轴承进行了动力学分析；叶振环等［7］利用拟动力学方法建立了以保持架的引导方式和兜孔间隙为设计变量的优化模型，并提出了相应的优化方案；刘秀海［8］建立了考虑碰撞等因素的高速滚动轴承动力学模型，并研究了载荷、转速、游隙和间隙比等对其保持架稳定性的影响。上述文献均对角接触球轴承的特性进行了分析，且部分文献还研究了保持器结构参数对轴承动态特性的影响，但仍缺乏对引导间隙和兜孔间隙等结构参数对保持架振动特性影响的研究。保持架的固有频率过小会引发保持架共振，从而缩短保持架的使用寿命。因此，在设计保持架结构参数时，需同时考虑保持架的稳定性和振动特性。

为此，笔者综合考虑角接触球轴承各元件间的动态接触和变形关系，借助ABAQUS软件建立7005型角接触球轴承的显式动力学模型，求解不同引导间隙和兜孔间隙下保持架的打滑率、质心涡动速度偏差比和各阶振动模态的固有频率，同时对不同引导间隙和兜孔间隙下保持架的稳定性和振动特性进行分析，旨在为保持架的优化设计提供理论依据。

1 保持架稳定性与振动特性的理论分析

1.1 保持架稳定性的理论分析

保持架的稳定性可通过打滑率和质心涡动速度偏差比来判断［9-10］。保持架的打滑率定义为保持架的理论转速与实际转速之间的误差。其中，保持架的理论转速可根据角接触球轴承的运动学关系（见图1）计算得到，实际转速可从角接触球轴承显式动力学模型中直接提取。

图1 角接触球轴承运动学关系示意图Fig.1 Schematic diagram of kinematics relationship of angular contact ball bearing

假设角接触球轴承的内、外圈同时转动，滚珠与轴承内、外圈的接触角α相同，由此可得滚珠与轴承内、外圈的接触点的线速度v1、v2为：

式中：n1、n2分别为轴承内、外圈的转速；dm为节圆直径；D为滚珠直径。

假设保持架的角速度与滚珠公转的角速度相等，则滚珠质心的线速度为其与轴承内、外圈接触点的线速度的平均值，由此可得保持架的线速度vc为：

保持架的线速度vc还可表示为：

式中：ωc为保持架的角速度；nc为保持架的转速。

轴承内、外圈的角速度与转速之间的关系为：

式中：ω1、ω2分别为轴承内、外圈的角速度。

联立式（3）至式（5），得到保持架的理论角速度为：

则保持架的打滑率S为：

式中：ωb为保持架的实际角速度。

保持架的质心涡动速度偏差比定义为保持架质心瞬时线速度的标准偏差与其平均线速度的比值。质心涡动速度偏差比越小表示保持架的稳定性越好，其计算公式为：

式中：v（ii=1，2，…，n）为各时刻保持架质心的线速度；为保持架质心的平均线速度。

1.2 保持架振动特性的理论分析

模态分析是动力学分析的基础，振动模态可以反映机构的固有振动性能［12］。通过对角接触球轴承保持架的模态振型和各阶振动模态的固有频率进行分析，可以预测保持架在实际运动过程中的振动响应，从而有效地避免共振。

具有h个自由度的线性系统的振动方程为：

式中：M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；u（t）为系统的位移向量；u̇(t)为系统的速度向量；ü(t)为系统的加速度向量；P（t）为系统的载荷向量。

在不考虑系统阻尼和外力的情况下，线性系统的自由振动方程为：

式（11）的通解为：

式中：U为系统的位移幅值向量；θ为系统的初相位；f为系统的固有频率。

将式（12）代入式（10），可得该线性系统位移的齐次方程，为：

令式（13）中U的系数为0，可得到齐次方程的非零解，即：

将式（14）展开后可得关于f2的h次方程。若M和K均为正定矩阵，则可求出频率方程的h个特征值，表示为f2j（j=1，2，…，h），各个特征值的平方根即为该线性振动系统的固有频率fj，且f1

令ψj表示对应f2j的振型向量，代入式（13）可得：

求解式（15）即可得到线性振动系统的模态向量。对于齐次方程（13），其有无数个解，即任意常数倍的ψj均为该齐次方程的解。假设任意常数为a，则有Uj=aψj。此时模态向量ψj中元素间的相对比值保持不变，说明模态振型是唯一的［13］。

2 基于ABAQUS-Explicit的变参数下保持架的稳定性分析

2.1 ABAQUS-Explicit的计算原理

ABAQUS-Explicit是一种高效的复杂非线性数值问题求解工具。轴承的动态接触问题即为复杂的非线性问题，且轴承的材料、各元件之间的动态接触关系及其所受载荷的影响增大了计算难度。借助ABAQUS-Explicit可以很便捷地分析轴承的动态接触关系［5］。

在t时刻的增量步开始时，计算得到的节点加速度为：

采用中心差分法对节点的加速度进行积分计算。在计算节点的速度时，假设其加速度为常数，t时刻增量步中间时刻的节点速度为：

式中：Δt为增量步步长。

同样，在计算节点的位移时，假设其速度为常数，则t时刻增量步末节点的位移为：

得到节点的位移后，通过应变速率和本构关系获得节点的应力矩阵［14-15］。

2.2 有限元模型建立

本文以7005型角接触球轴承为研究对象，其基本结构参数如表1所示。

表1 7005型角接触球轴承的基本结构参数Table 1 Basic structural parameters of 7005 type angular contact ball bearing

根据表1中的参数，在SolidWorks软件中建立7005型角接触球轴承的三维实体模型，并将其导入ABAQUS软件。在ABAQUS软件的属性单元中，设置轴承内、外圈的材料为轴承钢，弹性模量为 2.0×105MPa，密度为7 800 kg/m3，泊松比为 0.3；保持架的材料为尼龙，弹性模量为2 600 MPa，密度为1 240 kg/m3，泊松比为0.35；滚珠的材料为氮化硅，弹性模量为3.2×105MPa，密度为3 200 kg/m3，泊松比为0.26；各元件截面均为均质实体。

当7005型角接触球轴承工作时，其滚珠与保持架及内、外圈之间的接触和运动关系非常复杂；同时，滚珠和保持架之间的相互撞击会导致保持架与内圈的转动不同步。因此，为了尽可能真实地模拟角接触球轴承各元件之间的动力学关系，在建模时将滚珠、保持架及内、外圈视为弹性体。建立内、外圈滚道表面与滚珠的接触，保持架内、外表面与内圈外表面和外圈内表面的接触，以及滚珠与保持架兜孔的接触，共建立44对接触对。设置接触类型为表面与表面接触，接触属性中切向接触公式选罚接触，保持架与滚珠及引导面间的摩擦因数为0.1，内、外圈滚道表面与滚珠间的摩擦因数为0.05，滑移公式为有限滑移公式，法向接触为硬接触，允许接触后分离。在设置边界条件和施加载荷时，将角接触球轴承外圈固定，并对其内圈施加载荷与转速，利用内圈带动滚珠和保持架转动；设置仿真时间为0.05 s。

在对7005型角接触球轴承三维实体模型进行网格划分时，将其各元件拆分后再进行网格划分。采用以六面体为主的扫掠方式对保持架进行网格划分，采用六面体扫掠方式对其余元件进行网格划分；为了保证计算精度，对内、外圈滚道的表面及保持架的兜孔表面进行网格细化。设定六面体单元的类型为C3D8R，楔形块单元的类型为C3D6R。7005型角接触球轴承的有限元模型如图2所示。

图2 7005型角接触球轴承的有限元模型Fig.2 Finite element model of 7005 type angular contact ball bearing

2.3 计算结果与分析

当施加在7005型角接触球轴承内圈上的轴向载荷Fa=2 000 N，径向载荷Fr=200 N，转速n1=15 000 r/min时，该轴承部分节点的动态响应曲线如图3所示。其中：第3597号节点位于保持架外表面，第2745号节点位于滚珠与轴承内圈接触处，第811号节点位于滚珠与轴承外圈接触处。图3（a）为所选取的3个节点的位移曲线；图3（b）为第811号节点的线速度曲线。

图3 7005型角接触球轴承部分节点的动态响应曲线Fig.3 Dynamic response curves of some nodes of 7005 type angular contact ball bearing

从图3（a）中可以看出，滚珠与保持架的运动均具有周期性。从图3（b）中可以看出，在0.007 s时滚珠的线速度开始逐渐增大，说明此时轴承内圈开始转动，滚珠在轴承内圈的带动下开始转动。在该线速度曲线上，波谷表示滚珠与轴承外圈接触时的线速度，波峰表示滚珠与轴承内圈接触时的线速度。滚珠的转动周期为0.001 4 s，其与轴承内圈接触时的平均线速度为23.054 m/s。

2.3.1 引导间隙对保持架稳定性的影响

在7005型角接触球轴承内圈上轴向载荷Fa=2 000 N，径向载荷Fr=200 N，转速n1=15 000 r/min，兜孔间隙g=0.15 mm的工况下，取引导间隙c=0.35，0.45，0.55，0.60 mm，分析不同引导间隙下保持架的打滑率和质心涡动速度偏差比，结果如图4、图5和图6所示。

图4 不同引导间隙下保持架打滑率随时间的变化曲线Fig.4 Variation curve of cage slip rate with time under different guide clearances

图5 不同引导间隙下保持架的打滑率均值Fig.5 Average slip rate of cage under different guide clearances

图6 不同引导间隙下保持架的质心涡动速度偏差比Fig.6 Deviation ratio of centroid whirl velocity of cage under different guide clearances

由图4和图5可以看出，随着引导间隙的增大，保持架的打滑率均值逐渐减小，表明其稳定性逐渐增强，这与文献［7］所得的轴承内圈引导时保持架稳定性的变化规律一致。但随着引导间隙的增大，保持架打滑率的波动幅度逐渐增大，这是因为当引导间隙增大时，保持架的径向运动空间随之扩大。由图6可知，当引导间隙增大时，保持架的质心涡动速度偏差比逐渐减小，但变化不明显，这是因为当引导间隙比较小时，轴承内、外圈与保持架之间很容易发生碰撞，导致保持架难以保持平稳。因此，适当增大保持架引导间隙可以提高其稳定性，但是从整体上看，引导间隙对保持架稳定性的影响并不大。

图7为引导间隙c=0.35和0.60 mm时保持架质心位移的变化曲线。从图7中可以看出，随着引导间隙的增大，保持架质心的最大位移增大，且位移的变化更加具有规则性，说明增大引导间隙可使保持架的稳定性增强。另外，在启动阶段，保持架质心在x与y方向上的位移变化不具有周期性；在平稳运行阶段，保持架质心在x与y方向上的位移变化具有较强的周期性。

图7 不同引导间隙下保持架质心位移的变化曲线Fig.7 Variation curve of displacement of cage centroid under different guide clearances

2.3.2 兜孔间隙对保持架稳定性的影响

在7005型角接触球轴承内圈上的轴向载荷Fa=2 000 N，径向载荷Fr=200 N，转速n1=15 000 r/min，引导间隙c=0.55 mm的工况下，取兜孔间隙g=0.10，0.15，0.20，0.25 mm，分析不同兜孔间隙下保持架的打滑率和质心涡动速度偏差比，结果如图8、图9和图10所示。

图8 不同兜孔间隙下保持架打滑率随时间的变化曲线Fig.8 Variation curve of cage slip rate with time under different pocket clearances

由图8和图9可以看出，随着兜孔间隙的增大，保持架打滑率的波动幅度和均值逐渐增大。这说明适当减小兜孔间隙有利于减少保持架滑动，提高保持架的稳定性。由图10可知，保持架的质心涡动速度偏差比总体上变化不大且无明显规律，这与文献［16］所得结果相符。但是，当保持架兜孔间隙过小时，在轴承运动过程中兜孔与滚珠间会频繁接触和碰撞，导致保持架与滚珠间相互作用，不利于保持架的稳定运动，因此保持架的兜孔间隙不宜过小。

图9 不同兜孔间隙下保持架的打滑率均值Fig.9 Average slip rate of cage under different pocket clearances

图10 不同兜孔间隙下保持架的质心涡动速度偏差比Fig.10 Deviation ratio of centroid whirl velocity of cage under different pocket clearances

图11为兜孔间隙g=0.10和0.25 mm时保持架质心位移的变化曲线。从图11中可以看出，兜孔间隙的变化对保持架质心位移的影响较小。

图11 不同兜孔间隙下保持架质心位移的变化曲线Fig.11 Variation curve of displacement of cage centroid under different pocket clearances

3 变参数下保持架的振动特性分析

3.1 保持架振动模态分析模型建立

将保持架三维实体模型导入ABAQUS软件，并对其赋予材料属性，具体参数如表1所示。然后，对保持架三维实体模型进行网格划分，仍采取以六面体为主的扫掠方式。由于要求解保持架的高阶振动模态，而高阶振动模态下保持架的变形较大，为了保证计算精度，对保持架有限元模型进行网格细化。采用Lanczos快速求解特征器进行求解［17］，提取保持架前30阶振动模态。

3.2 保持架振动模态分析

3.2.1 引导间隙对保持架振动模态的影响

当7005型角接触球轴承保持架的兜孔间隙g=0.15 mm时，不同引导间隙下保持架前30阶振动模态的固有频率如表2所示。由表2可知，自由状态下保持架前6阶振动模态为刚性模态，其固有频率均为0 Hz。基于转速与频率间的关系，计算保持架各阶振动模态对应的极限转速，确保保持架转速不超过极限转速的75%，就可以避免共振［18］。从表2中还可以看出，保持架前30阶（除前6阶外）振动模态的最小固有频率为807.3 Hz，其对应的临界转速为36 329.4 r/min，而本文设置的轴承内圈的转速为15 000 r/min，显然不会发生共振。另外，保持架前25阶（除前6阶外）振动模态的固有频率均随引导间隙的增大而减小，说明引导间隙越大，保持架越容易发生共振。

表2 不同引导间隙下保持架各阶振动模态的固有频率Table 2 Natural frequency of each order vibration mode of cage under different guide clearances

图12为不同引导间隙下保持架第30阶模态的振型。从图12中可以看出，当引导间隙c=0.35mm时，保持架两兜孔中间部位的变形最严重；随着引导间隙的增大，兜孔左右两侧部位的变形量增大。

图12 不同引导间隙下保持架第30阶模态的振型Fig.12 Vibration shape of 30th order mode of cage under different guide clearances

3.2.2 兜孔间隙对保持架振动模态的影响

当7005型角接触球轴承保持架的引导间隙c=0.55 mm时，不同兜孔间隙下保持架前30阶振动模态的固有频率如表3所示。从表3中可以看出，保持架前6阶振动模态的固有频率为0 Hz，此时保持架为刚体振动。保持架各阶（除前6阶外）振动模态的固有频率随兜孔间隙的增大而减小，说明兜孔间隙越大，保持架越容易发生共振，因此兜孔间隙不宜过大。

表3 不同兜孔间隙下保持架各阶振动模态的固有频率Table 3 Natural frequency of each order vibration mode of cage under different pocket clearances

图13为不同兜孔间隙下保持架第30阶模态的振型。从图13中可以看出，保持架变形最大的位置为兜孔左右两侧部位。

4 显示动力学模型的准确性验证

在7005型角接触球轴承内圈上的轴向载荷Fa=2 000 N，径向载荷Fr=200 N，转速n1=15 000 r/min的工况下，该轴承各元件线速度的仿真值与理论值对比如图14所示。从图14中可以看出，角接触球轴承内圈在0.007 s后开始加速并带动保持架与滚珠一起转动。在0.01 s后，角接触球轴承各元件的转动达到平稳状态。图14结果表明，角接触球轴承保持架线速度的仿真值略高于理论值，相对误差为0.099 6%；轴承内圈和滚珠的线速度的仿真值均略低于理论值，相对误差分别为0.086 0%和0.030 0%。有限元仿真分析得到的线速度的波动不大，且与理论值基本吻合，这在一定程度上验证了所建立的角接触球轴承显式动力学模型的准确性。