动手操作 理解“图形”

丁建生

“走进图形世界”涉及的知识较多，有点、线、面的关系，图形的运动，展开与折叠，三视图等，是今后学习几何的基础。学习这部分内容时，我们可以动手操作图形，以便更直观地观察图形，加深对图形的理解。

一、动手操作，理解“图形的形成”

通过简单的操作，我们能体会“点动成线，线动成面，面动成体”。同学们试着进行类似下面的操作并进一步思考：

1.若长方形绕它的一边旋转1周，能形成什么样的几何体？有几种情况？何时体积较大？何时几何体的表面积较大？

2.若直角三角形绕它的一边旋转1周，形成的几何体有几种？哪种体积较大？哪种表面积较大？

3.若锐角三角形绕它的一边旋转1周，能形成什么样的几何体？

4.若钝角三角形绕它的一边旋转1周，能形成什么样的几何体？

5.请说说求上述几何体体积的思路。

我们一边旋转（操作）图形，一边就能发现，几何体的形状已经具体呈现了。但要回答何时（种）体积较大、表面积较大，需要我们多操作几次，同时进行观察、比较、分析、归纳、猜想。当我们有足够的知识时，可以做严密的计算与论证。这样的过程其实也是我们研究问题、学习数学的一般性过程。

二、动手操作，理解“图形的运动”

平移、翻折、旋转是几何中的3种图形运动。一个图形经过上述“运动”后，运动前后的图形大小、形状都没有改变，这意味着组成图形的元素及相互关系也没有改变。我们借助这些运动，既可以用一个简单的图形组合、构造复杂的图形，也可以寻找解决问题的方法。

回忆一下小学阶段我们是如何画一个角等于已知角的，其本质就是平移角的边。由此进一步思考：线平行，角就相等吗？这是我们后续要學习的。民间剪纸中许多图案就是用“图形翻折”的方法剪出来的，同学们可以动手剪一个“囍”，慢慢体会其中的数学原理。

三、动手操作，理解“图形的互逆”

一个平面图形经过折叠可变成立体图形，反之，一个立体图形沿着某条（些）线（边、棱）剪开就成了平面图形，这是二维与三维、平面与立体图形的相互联系和变化。基于此，我们往往把立体图形问题转化成平面图形问题来解决。例如，求长方体表面上两点间的最短距离。我们的解决办法，就是把它展开，转化为求平面上两点之间的距离。

我们知道平面上“两点之间线段最短”，但由于用不同的展开方法，两点之间的线段就可能不同，哪条线段最短呢？需要我们多操作、比较。

再以长方体为例，我们进行如下操作：

1.用刀把长方体截开，请问截面是几边形？

2.用一张长方形纸片，剪、折成一个无盖的盒子，如何剪、折才能使盒子的体积最大？

对于这些问题，请同学们在学习本章的过程中自行尝试解决哦！

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）