基于多新息算法的阶次未知的Wiener系统参数估计

韩琛晔

(河北工程技术学院 信息技术学院，河北 石家庄 050091)

0 引 言

Wiener系统是一种模块化的非线性系统，由线性子模型和无记忆的非线性模块串联而成。这样的模块化组合可以有效地刻画实际系统的特性，是一种描述许多工业过程的非线性特性系统[1-5]，因此，研究Wiener系统的系统辨识对于实际系统建模和工作过程的理解具有一定的现实意义。但是，由于Wiener 系统是不同元件串联而成的，因此，在建立辨识模型时，会出现非线性参数和线性参数相互耦合的现象，就是所谓的过参数问题(冗余参数估计问题)和估计参数不唯一问题[6]，这增加了辨识算法的计算量，特别是对复杂系统和大规模系统是不可接受的。另外，Wiener系统的内部信号不可直接测量，也增加了辨识的难度。

递归最小二乘及其改进形式是目前辨识领域应用最广泛的一种辨识算法，具有计算量小、适用性强和方便在线估计等优点[7-9]。但是，它也存在一些缺点和需要改进的领域，例如，递归最小二乘(recursive least square,RLS)对于有色噪声和强噪声辨识性能表现不够理想；对系统的过去和当前时刻信息利用率低导致精度不高；对于时变系统无能为力。因此，为了改善或解决这些问题，大量的改进算法不断被研究人员设计出来并成功应用于系统辨识领域。WANG Jianhong等[10]首先计算Hammerstein系统中的分段仿射非线性函数的逆函数，之后建立参数化的线性回归辨识模型，并在有界噪声下利用RLS估计模型中的各个参数；石建飞等[11]根据电机的工作原理建立电机的近似线性动力学模型，为改进RLS精度不高问题，利用折息因子修改RLS的修正增益大小，并应用于电机模型的参数估计；DING Feng等[12]为提高系统的计算效率，利用分层递阶原理将系统的模型划分为若干个子模型辨识问题，之后提出一种基于分层递阶的最小二乘辨识算法；Z.Hafezi 等[13]提出一种基于递归广义最小二乘方案，以解决ARMA噪声模型问题，并利用RML方法进行对比，验证提出算法的有效性；卫志农等[14]建立了电池系统的等效电路模型，将多新息理论和最小二乘结合形成多新息最小二乘辨识方法，在电池的充放电试验中实施电池参数的有效估计；GAN Min等[15]首先利用投影算法估计系统的非线性参数，之后采用多新息最小二乘估计方案估计线性部分的参数，并和存在的一些估计方法对比，表现出较高的估计性能。

由以上研究可知，对最小二乘算法的改进工作有很多种方式，但是利用多新息理论进行改进是近几年比较新颖的辨识方法。目前多新息最小二乘应用于线性系统较多，非线性性系统相对较少且阶次都是已知的，而应用于阶次未知的Wiener非线性系统更加困难，因为阶次未知就不能实施后续的参数辨识，无法获得系统的有效信息，且非线性部分在系统的最后边，导致输出信号畸形，甚至无法采集信号，无法利用采集的数据进行辨识。

本文提出一种基于行列式比确定阶次和分解技术的多新息最小二乘估计方法(decomposition technique of multi-innovation least squares method,D-MILS),实现阶次未知的Wiener系统的参数估计问题。和其他文献中的Wiener系统相比，本文所述系统的阶次是未知的，属于盲辨识，辨识更加困难。本文确定系统阶次的算法仅仅使用输入输出信息构造，简化了算法的设计。利用分解技术建立线性子系统和非线性模型参数相互分离的辨识模型，减少冗余参数的估计，提高运行效率。设计参考模型解决内部变量不可测问题，利用原始系统的部分信息，提高参数估计的精度。采用若干组数据修改观测向量，使参数更新表达式不仅利用过去的系统信息，而且利用当前的系统信息，以改善辨识的精度和收敛速度。对提出算法的收敛性理论分析表明，参数估计误差能够收敛到零。

1 问题描述

Wiener系统结构如图1所示。

图1 Wiener系统结构框图

图1中：G,f分别描述Wiener组成部分中的线性和非线性部分;u(t),y(t)为系统的输入和输出信号；x(t),w(t)分别为内部信号和噪声信号。

Wiener系统可表示为

x(t)=G(z)u(t),

(1)

(2)

G(z)=B(z)/A(z),

(3)

式中：B(z)=b1z-1+…+bnz-n；A(z)=1+a1z-1+…+anz-n；f(x(t))为有限阶次的基函数线性组合的形式，是有理分式。

将式(1)和(3)代入式(2)中，可得

(4)

这导致线性参数bj/aj和非线性参数λi耦合的情况，形成复合参数λibj/aj。

在设计辨识算法估计过程中，出现需要估计过多参数问题，增加算法的计算量且无法得到唯一的辨识模型，因为复合参数只要结果正确其组成形式有无数解。为避免此问题，利用分解技术[16-17]构造系统参数相互分离的辨识模型，减少计算量，提高运行效率。为此，对于本文的系统而言，将式(2)分解出第一项λ1x(t)，其他各项不变。将式(1)只代入到分解的这一项中，可得

y(t)=λ1a1x(t-1)-λ1a2x(t-2)-…

-λ1anx(t-n)+λ1b1u(t-1)+λ1b2u(t-

2)+…+λ1bnu(t-n)+λ2x(t)2+

λ3x(t)3+…+λnx(t)n+w(t),

(5)

式(5)转化为辨识模型的形式，表达式为

y(t)=φT(t)θ+w(t),

(6)

φ(t)=[-x(t-1),-x(t-2),…,-x(t-

n),u(t-1),u(t-2),…,u(t-n),x(t)2,

x(t)3,…,x(t)n]T,

(7)

θ=[λ1a1,λ1a2,…,λ1an,λ1b1,λ1b2,…,

λ1bn,λ2,λ3,…,λn]T。

(8)

在实施辨识算法之前，为了后续的参数辨识，做一些适当的假设，这些假设已经广泛应用于参数辨识和系统建模领域[18-20]。

假设1：(1)输入为持续激励，使系统具有可辨识性；(2)线性子系统是稳定的，不存在不稳定的情况；(3)为获得单独的辨识模型，设λ1=1。

2 估计方案

2.1 线性系统阶次的估计

(9)

(10)

(11)

(12)

和Hankel矩阵法、 残差方程分析法及AIC法等方法相比，本文确定线性系统阶次方法突出的优势是仅仅利用系统的输入输出数据来判断阶次，不需要设计特殊的输入信号(Hankel矩阵法)，阶次的精度不取决于参数估计值的精度(残差方程分析法)，不需要设定特定的风险水平值(AIC法)。

2.2 估计算法设计

RLS的出现是为了提高最小二乘的辨识能力和适合在线辨识的。基于回归模型(6)和预测误差方法，建立成本函数J(θ)=‖y(t)-φT(t)θ‖2，计算J对θ的导数并求极值。结合矩阵求逆运算，可得RLS的表达式为

(13)

(14)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(t)φT(t),
P(0)=p0I,

(15)

式中：P(t)为协方差矩阵；e(t)为标量新息。

从式(13)～(15)可知，参数在每次更新时只使用了当前时刻的数据向量φ(t)，没有利用数据。这导致有时RLS估计能力不足或不理想。为了能充分利用系统的信息，需要对标量新息进行修改。最合适的方式就是将标量新息通过若干组数据拓展，这样参数更新时不仅利用当前而且还使用了过去时刻的信息，提高了数据的利用率，进而提高了辨识的性能。

采用p组数据对标量新息进行修改，可得多新息E(p,t)，

(16)

进而，其他相应的变量转化为

φ(p,t)=[φ(t),φ(t-1),…,

φ(t-p+1)],

(17)

y(p,t)=[y(t),y(t-1),…,y(t-

p+1)]T。

(18)

根据式(16)～(18)的修改，可得多新息最小二乘法(multi-innovation least squares，MILS)表达式,即

(19)

(20)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(p,t)φT(p,t),
P(0)=p0I。

(21)

矩阵求逆运算计算量较大，为解决此问题，采用矩阵求逆原理，式(19)～(21)可重写为

(22)

(23)

L(t)=P(t-1)φ(p,t)/[I-φT(p,t)P(t-
1)φ(p,t)]，

(24)

P(t)=P(t-1)+L(t)φT(p,t)P(t-
1),P(0)=p0I。

(25)

虽然设计了辨识算法，但是由于数据向量中含有不可直接测量的内部信号x(t)，导致式(22)～(25)无法实施。为处理这个问题，根据参考模型辨识思想[21-22]设计参考模型，利用参考模型的输出xref(t) 代替内部信号x(t)。参考模型的表达式为

2.3 算法收敛性

在系统辨识和参数估计领域，不仅要关心参数辨识算法的收敛速度和收敛精度，而且要关心利用参数估计误差判断估计器是否收敛。和控制系统稳定性分析类似，只有系统是稳定的，跟踪控制才有意义。

定理1 对于考虑的Wiener系统(1)～(3)和提出的辨识算法(22)～(25),假设由w(t) 和Ft组成一个殃差序列，Ft是一个σ代数序列，σ由采集到的数据组成。假设噪声{w(t)} 满足下面的条件[23]：

(1)E[w(t)|Ft-1]=0,a.s.。

(2)E[w2(t)|Ft-1]≤σ2<∞,a.s.，存在正数α>0,β>0,α0≥0，使得以下持续激励条件成立。

则有参数估计误差收敛到0，即

证明定义下面的表达式：

根据式(19)～(20),式(19)能够转换为

(26)

根据式(26)，定义一个非负函数，形式为

根据(21)和(22),T(t)可转化为

V(p,t)]TφT(p,t)P(t)φ(p,t)×

V(p,t)，

由于I-φT(p,t)P(t)φ(p,t)

=[I+φT(p,t)P(t-1)φ(p,t)]-1≥0,

则有

T(t)≤

T(t-1)+VT(p,t)φT(p,t)P(t)φ(p,t)V(p,t)+

i)P(t)φ(t-i)w2(t-i),a.s.。

对上式应用殃差收敛定理[23]，可知，Z(t)收敛于一个有限的随机值Z0，即

由此，存在一个较大的C,使得下式成立：

T(t)≤C[ln|P-1(t)|]c,t→∞,a.s.。

根据T(t)的定义，可知

根据假设条件(3)和式(21)，可知

tr[P-1(t)]≤nβtα0+1+n/p0,a.s.，

λmin[P-1(t)]≥αt,a.s. ，

定理1 证毕。

3 示 例

考虑以下Wiener系统:x(t)=-0.65x(t-1)-0.4x(t-2)+0.5u(t-1)+0.25u(t-2),y(t)=x(t)+0.35x2(t)+0.5x3(t)+w(t)。

输入信号u(t)选择为随机信号，噪声为白噪声。从考虑的系统形式可知真实参数值为

a1=0.5,a2=0.25,b1=0.65,b2=0.4,λ2=0.35，λ3=0.5。

利用D-RLS(decomposition technique of recursive least squares method,D-RLS),RML(recursive maximum likelihood,RML)[24]作为对比算法，和本文提出算法D-MILS对比辨识考虑系统Wiener的各个参数信息。在不同样本数量下的估计值如表2～4所示。从表2～4可知，3种算法都能估计Wiener系统的参数，但是D-MILS算法的估计值更靠近真实值，精度较高。

表1 行列式比计算结果

表2 D-RLS 辨识过程

表4 D-MILS辨识结果

图2是D-RLS，RML，D-MILS估计误差结果图。从图2可知，随着样本的增加，3种估计方案都能使估计误差渐渐变小，这说明D-RLS，RML和D-MILS都能辨识Wiener系统的参数。图2 也说明算法D-MILS比D-RLS有较好的估计精度和较快的收敛速度，D-MILS比RML有较高的估计精度，验证了所提出算法的优点。

图2 估计误差变化趋势

为了验证新息长度对D-MILS算法的影响，图3 显示了不同新息长度p下所提出算法的辨识性能图，从图3可知，随着新息长度的增加，估计误差收敛速度更快，但是振荡也更加严重。这是因为虽然辨识算法随着新息长度的增加，利用越来越多的系统信息，提高了辨识数据的利用率，但是噪声信息也同时被进一步利用，此时噪声对辨识性能的影响也越来越大，从而导致估计性能开始恶化。

为了测试噪声对辨识算法的影响，表5列出了不同噪声大小下所提出算法的辨识误差结果。从表5可知，弱噪声下在不同时刻参数估计值更接近真实的参数，强噪声下参数估计值变化幅度较大，估计值在真实值附近波动较大，也说明噪声对辨识算法会产生一些不利的影响，表5证明图3显示的结果是正确的和合理的。

图3 不同新息长度下提出算法的估计误差

表5 不同噪声情况下D-MILS辨识性能

4 结 语

本文针对Wiener系统阶次未知，采用行列式比方法确定系统的阶次。对于非线性Wiener系统的冗余参数辨识问题，利用分解技术，选择分解项代入到相应的表达式中，构建被估计参数向量含较少的复合参数的辨识模型，提高了算法的运行效率。针对系统的内部变量，采用参考模型的输出替代未知的内部变量，增加了辨识性能。为改善最小二乘的收敛速度和估计精度，利用若干数据修改新息向量，使得标量新息转化为向量，获得多新息最小二乘方法。最后，利用仿真分别分析了不同噪声和不同新息长度下提出算法的辨识性能与传统最小二乘的对比，证明提出的算法具有一定的优势。