考虑储层流变性的水力压裂起裂时间计算模型

王志荣，胡凯，陈玲霞,郭志伟

(郑州大学 水利与环境学院，河南 郑州 450001)

0 引 言

我国部分煤田基底稳定性差、沉积环境动荡、构造变形强烈，造成主采煤层具有厚度薄、煤质软且渗透率低的复杂储层特征，因此，目前在煤层气开发阶段普遍采用垂直井钻进工艺和水力压裂技术进行开采[1-2]。然而，在我国北方富水矿区，晚石炭与中奥陶统岩溶水发育，且各含水层水力联系较为密切[3]，直接充水含水层L7-8灰岩平均厚10 m，上距主采二1煤层仅10～25 m。豫北焦作富水矿区煤层气开发试验表明，地面起裂时间过长或起裂压力过大，压裂缝均会穿过底板隔水层，触及下伏石炭系(L7-8)或奥陶系(O)岩溶含水层，甚至前方边界充水断层，超过2/3的地面钻井出现突水涌水现象，尤其是九里山矿区的两口试验井JLS试-014和JLS试-016，3个月累计抽水量均在10 000 m3以上，严重影响了煤层气产能的规模效益[4]。

长期以来，国内外从试验、理论和现场测试等方面对压裂抽采开展了大量研究。朱维耀等[5-6]，提出适合于测试页岩气渗流规律的试验方法，并进行了不稳定渗流压力传播规律和数学模型的推导；DENG J等[7]考虑纳微米孔隙的非线性渗流，建立了考虑扩散和滑移的纳微米级孔隙气体流动模型；A.A.Daneshy等[8]研究指出，随着地层原生裂缝尺寸增大，对水力压裂缝扩展的影响也逐渐增大；任岚等[9]、赵金洲等[10]建立了裂隙性地层水力压裂缝非平面延伸的数学模型。虽然目前对煤层气压裂抽采的研究已迈入快速发展轨道，文献[11-12]也提出了一些新思路与新方法，但是关于我国富水矿区煤层气开发中遇到的诸如起裂压力与起裂时间问题，以及两者之间的耦合关系却鲜有报道，研究深度尚不足以科学指导实际工程。

本文基于裂隙场与应力场时空耦合的新思路[13-16]，首先对含气软煤的蠕变特性进行研究，其次结合垂直井临界起裂压力模型，推导出水力压裂条件下起裂时间与起裂压力的关系式，从而实现了两者的科学与高效配置，以期为井壁围岩避免二次损伤以及指导我国富水矿区的煤层气开发提供理论依据。

1 含气软煤的蠕变模型

煤(岩)体的蠕变特性是一定荷载条件下影响起裂时间参数计算的首要因素。尹光志等[17]

早在2008年利用自制的仪器，进行了含气软煤的三轴蠕变试验。试验结果表明：当荷载超过煤样的屈服应力时，就会导致其非稳定蠕变的发展。图1是σ3=2 MPa，p=0.5 MPa，σ1=9.66 MPa时的蠕变曲线，曲线显示在高应力条件下，煤样开始出现瞬时蠕变，随着时间推移，应变不趋于常值，在一段时间后达到加速阶段。该试验曲线充分反映了含气软煤不仅具有黏弹性流变性质，而且还具有塑性流变的性质，因此，可以用黏弹塑性流变模型表征含气软煤的蠕变全过程。

图1 煤样的高压蠕变试验曲线[11]

根据含气软煤具有瞬时蠕变的特点，一般采用广义Kelvin模型反映其在高应力作用下的初始蠕变阶段和等速蠕变阶段。由于试验曲线(图1)上的初始变形阶段具有近似的线性特征，分析为储层内气体的可压缩性，孔隙(包括原生孔隙和次生孔隙)受压闭合后含气软煤的弹性增强所致，故必须对广义Kelvin模型进行改进(图2)。本文通过串联一个弹性元件(胡克模型E2)反映这种特殊变形，从而建立高应力作用下含气软煤的线性蠕变模型。

图2 改进的广义Kelvin模型

对于加速蠕变阶段，由于具有非线性流变的特性，故不能利用线性的黏弹塑性元件构建。受文献[18-21]启发，通过引入一个非理想黏滞阻尼器与一个塑性元件并联组合的改进黏塑性模型(图3)描述含气软煤的加速蠕变阶段。

图3 非线性黏塑性模型

非线性流变问题难以用精确的理论模型表现，因而通常采用经验模型反映其变化。选择合适的函数形式是建立经验模型的关键，与非线性黏塑性应变相关的因素有时间、应力状态等，因此应变的经验函数可设为ε=f(σ-σs,t)。

众多学者提出了适合工程实际的函数形式，其中指数函数的表达式得到了广泛应用，本文通过类比张敏江等[22]关于结构性软土的非线性流变方程，建立含气软煤的非线性蠕变方程

将非理想黏弹塑性模型与上述改进的广义Kelvin线性黏弹塑性流变模型串联起来，可以组建一个新的六元件非线性黏弹塑性流变模型(图4)。

图4 六元件非线性黏弹塑性蠕变模型

该流变模型可以充分反映含气软煤岩的加速蠕变特性，分析其本构方程，可得到含气软煤岩体总的蠕变方程，即

(2)

由式(2)可得含气软煤在等围压作用下的三轴蠕变方程，即

ε=

(3)

利用MATLAB编程，用最小二乘法对图1中的试验结果进行拟合，得到六元件非线性黏弹塑性流变模型的参数(表1)，图5显示了模型拟合曲线与含气软煤蠕变曲线的对比状况，图5中实验点基本分布在模型拟合曲线上，表明该理论模型能很好地反映含气软煤蠕变发展的全过程。

图5 六元件非线性黏弹塑性流变模型拟合结果与试验结果对比

表1 六元件非线性黏弹塑性流变模型参数Tab.1 Parameters of six-component nonlinear viscoelastic plastic rheological creep model

2 垂直井起裂时间模型

分析式(3)可知，煤岩体的应力条件是蠕变模型进行求解的关键，而地面井起裂压力是应力条件的一个主要因素。因此，在构建垂直井起裂时间模型时，需首先对井壁煤岩体破坏时所受的临界射孔压力——起裂压力进行求解。

2.1 垂直井起裂压力模型

近年来，众多学者基于裂隙性地层进行了大量岩体破裂行为研究。研究结果表明，裂隙形成与地层的原生裂隙特性有着较大的因果关系。王志荣等[23]在分析豫北焦作矿区煤层气储层原生裂缝几何特征(长度，宽度，密度)的基础上，提出了裂隙性储层定量化指标T。并考虑压裂液在裂缝性储层运移过程中产生的渗透力，应用弹性力学与断裂力学原理推导出起裂压力计算公式，即

Ps=2ρgT/Rμ+2ρgRw+σH，

(4)

式中：Ps为煤层气储层的起裂压力值，MPa；σH为作用于煤层气储层的最大水平主应力，MPa；Rw为井筒半径，m；ρ为地层密度，kg/m3；T为与储层原生裂隙特征(长度、宽度、密度)有关的几何参数，称之为裂隙特性指标；Rμ为一个研究区域内的常量(具体推导详见文献[23])。

(5)

式中：KIC为目标层的断裂韧性常数，MPa·m0.5；a为裂纹的半长，m；K为岩石系统的等效渗透系数，m/s；g为重力加速度，m/s2。

分析式(4)可以看到，基于裂隙渗透率与裂隙特性指标的起裂压力计算公式，影响因素主要有：煤层气储层地应力、压裂液运移过程中的渗透力、储层岩体的力学性质、井孔的尺寸、原生裂缝的尺寸特征(长度、宽度、密度)以及裂缝面的粗糙度。全面考虑以上影响因素，岩体起裂压力的计算将更加精确，更能反映煤层气储层的压裂行为。

2.2 时间计算模型

当水力压裂的压裂液渗透到目标层后，此时含气软煤岩体受到的有效应力为[18]

σ′=Ps-φPr=2ρgT/Rμ+2ρgRw
+σH-φPr，

(6)

式中：φ为目标层孔隙指数；Pr为储层压力，MPa。

由式(3)可得关于有效应力的蠕变方程，即

式中，E1，E2，E3为含气软煤蠕变模型相应的参数，MPa。

由文献[24]，蠕变破坏的判别式为

ε>εt，

(8)

式中，εt为软煤破坏时的极限拉应变。

仅当煤体所受的应力接近屈服应力或大于屈服应力时才会发生蠕变失稳，故选取式(9)进行含气软煤岩体的蠕变计算：

(9)

对ex进行泰勒级数展开ex=1+x+x2/2+…，取前两项，则可得

(10)

移项，取对数整理，可得

(11)

式(11)所得到的t即为垂直井压裂条件下的储层起裂时间，它显示了t与起裂压力Ps有着直接的函数关系，式(4)表明Ps的最大控制因素为裂缝特性指标T。此外，含气软煤的软化系数、蠕变指数、黏滞性系数、泊松比、拉应变强度、地层应力和煤层气压力等参数同样是t的影响因素。而且煤体埋藏越深，理论上地面控制的起裂压力时间越长；蠕变指数越大，煤体流变性越大，越软弱，理论上地面控制的时间则越短。利用式(11)对压裂后含气软煤岩蠕变失稳的时间进行预测，即可以得到压裂目标层的起裂时间，为合理控制施工过程提供有效的理论支撑。

3 模型验证

3.1 研究区储层的物性特征

研究区焦作煤田是我国典型的“三软”富水矿区，山西组二1煤层为主要煤层气储层，气藏埋深多在155～800 m。储层顶底板多为致密的泥岩或砂质泥岩，渗透率为0.025～0.048 μm2，表明渗透性能较差，隔气隔水效果良好，宜于煤层气的储集。矿区煤层气含量为10～35 m3/t，西北部较低，向东南深部逐渐延伸，含气量增高。据文献[25]，焦作地区煤体泊松比平均为0.31，弹性模量平均为2 500 MPa，储层压力Pr约4.14 MPa。

3.2 起裂压力参数计算

在起裂时间计算模型中，起裂压力是最重要的一个自变量，因此，时间模型也可以通过起裂压力的验证来证明其正确性。本文利用焦作矿区部分试验井现场记录的压裂资料(表2)与煤样裂隙测试资料(表3)，对起裂压力进行了理论计算(表4)。

表2 焦作矿区典型井施工参数

表3 焦作矿区典型井储层裂缝控制参数

表4 焦作矿区典型井临界起裂压力计算表

3.3 起裂时间求解验证

由于起裂时间的复杂性与非线性，目前尚不能用解析的方法求解。故基于起裂时间分析模型式(11)，构造其非线性方程的迭代格式为

(12)

将蠕变拟合所得参量代入此迭代格式，计算结果表明：进行8次迭代运算后，起裂时间t趋于稳定。分析焦作矿区现场施工综合曲线[26]，发现起裂时间波动区间为9～18 min，均值为13.3 min。该均值与迭代计算结果的均值(表5)较为吻合，初步验证了该理论模型的正确性。

实践证明，对流变性软煤的起裂时间实行科学调控十分必要。焦作位村矿区资料显示，GW试/002井通过严格控制起裂压力(10.3 MPa)与起裂时间(15 min)，有效避免了压裂液对软弱围岩的侵蚀损伤，保证了渗流通道的畅通无阻。因而该井产气、产水量稳定，在持续70 d的满负荷试验期间，最高日产气量为959.29 m3，累计产气量达到3.0×104m3，最高日产水量3.58 m3，累计产水量仅为48.85 m3。由此可见，根据煤储层的流变性与相应的钻进工艺，利用本文提出的理论模型进行超前计算，实现起裂时间与起裂压力科学配置，就能保证钻、完井效率，并有效降低储层的突水风险。

表5 焦作矿区试验井迭代时间计算结果

4 结 论

(1)理论研究与生产实践表明，自然界大多数岩体在一定程度上都具有蠕变特性，蠕变失稳是引起其内部产生裂缝的主要原因。针对含气软煤具有明显的蠕变问题，考虑其具有多孔隙的特征，结合含气软煤的流变特性，建立了改进的黏塑性模型，并将其与广义Kelvin模型、胡克弹性元件串联，进而建立了六元件非线性黏弹塑性流变模型，以此描述含气软煤在一定载荷条件下的蠕变变形特征。

(2)基于含气储层裂隙几何特征，将六元件非线性黏弹塑性流变模型嵌入起裂压力计算模型，推导出在一定起裂压力Ps条件下起裂时间t的迭代计算模型，再结合蠕变拟合参量计算出起裂时间的理论值，并与实测资料进行了对比。结果表明，在持续蠕变作用下，起裂时间的理论值与实测值较为吻合，计算模型对于压裂抽采实践具有理论指导意义。

(3)起裂压力与起裂时间之间的科学配置是富水矿区煤层气绿色开发的关键。实际开发过程中可以通过控制起裂时间，实现由起裂压力到延伸压力的精准转变，保证既可顺利打开岩体，又能避免损害井壁围岩，进而精准控制压裂缝的延伸与扩展，最大程度防治周围地下水害的发生。