利用数学思想方法教学第二个重要极限公式的探索

李林婧

（文山学院 教师教育学院， 云南 文山 663099）

极限是大学数学中一个有力的工具，导数、微分与积分等重要概念的学习都是建立在极限基础之上的。而第二个重要极限是极限中的重要内容，可用来推导指数、对数函数的求导公式和求解不定式极限，在经济、生物、计算科学等领域都有广泛实际应用。所以学好第二个重要极限公式为后续学习打下基础尤为重要。但目前大学数学教材中对第二个重要的极限公式的证明并不做要求。虽然第二个重要极限的严格证明不需要文科学生掌握，但是直接给出公式的方式也让学生学得很突兀。导致多数学生对概念本质与计算不能深层次理解，在解题过程中盲目照搬不能灵活应用。因此，适合于学生习得的教学方法探究，对于学生理解概念及灵活应用公式将起到积极作用。

1 导入历史名题，通过类比联想与枚举法帮助学生理解公式

美国数学教育家M.克莱因指出“数学教学必须寻求激发学生对数学的兴趣”。历史上人们遇到的数学困难同样也会被课堂上的初学者所经历，沿着数学家们解决问题的路径走一遍，将更有利于对知识的深度理解。因此可以借助数学历史名题，在真实情境中有效提升学生的学习动机和探究兴趣。

例如，公元前 1700 年的古巴比伦泥版上有一道复利问题： 年息20% ，问何时本利和翻一番？

分析：这道题有复利和不按照复利计算两种情况，在此只讨论复利的情况。

如果本金是 1，期数按一年计算一次利息，那么第一年的本利和是1.2；

期数按照半年复利一次，那么第一年的本利和为；

期数按照一个季度复利一次，那么第一年的本利和为；

通过现代信息技术我们可以计算出n 不断增大时第一年本例和的变化情况。从表1 中可以看出，年利率一定时，虽然分期复利，期数增加本例和也会增大，但不能无限制增多。n 越大的时候，本利变化趋势越稳定。[1]

表1 第一年的连续复利问题

表2 n 与xn 的部分取值列表

2 分析与综合，抓住本质特征通过模型方法帮助学生灵活记忆公式

在各个版本的大学数学教材中，学习第二个重要极限时都可以见到具有相同形式、特征的三个公学生在学习过程中经常困惑于混淆公式，以及不能分清什么情况下运用什么公式，这直接导致不知道如何选取公式求极限。在上一环节对极限的意义做了简单解释，学生对第二个重要极限的本质有了一定了解。现在仔细分析三个公式，虽然字母变量不同、表现形式也不同，它们却有两个共同特征：底数都是“1+无穷小量”；指数都是“底数中该无穷小量的倒数”（即是一个无穷大量）。因此，我们可以把三个公式归结为一个模型：(1+g(x))1g(x) →e（其中g(x)是一个无穷小量，指数则是g(x)的倒数）。

也就是说，当对一个含有次方的函数求解极限，如果次方为无穷大量，可以考虑使用第二个重要极限公式。进而判断底数是否能够变换为“1+无穷小量”，指数是否可以变换为 “该无穷小量的倒数”。只要满足这两个条件，则可以归结为求该模型的极限的问题。

3 分类分层讲解习题，利用化归的方法帮助学生灵活掌握解题要点

对于利用第二个重要的极限解题，很多教师都做过相关的教学设计。有的教师通过证明两个更抽象的引理，再利用引理套用计算极限；有的教师出于防止学生混淆三个公式的目的，在遇到x→∞时，先令t 转化为t→0 的极限进行计算；有的教师设计了第二个重要极限公式计算的五步法，要求学生套用步骤计算；有的教师设计了判断“1∞”的多种计算方法[3]；有的教师依据计算结果，定义了一些公式让学生记忆。这些教学都能够基本解决此类型的极限问题，但有的方法过于抽象讲解复杂，有的方法照搬步骤不够灵活，这些都是学生难于理解与掌握的原因。

因此从学生角度出发，尝试引入化归的方法将原问题转化为已知模型的问题进行求解。具体步骤：（1）判断指数，若“指数→∞”则进行第二步；（2）判断底数，“（底数－1）→0”进行第三步；（3）构造模型，将原来的极限问题转化为(1+g(x))1g(x)→e的问题从而获得结果。化归的方法使问题变得清晰了，对于学生眼中大量比较难的题目也简单易求了。

讲解方法确定后，例题的选择也非常重要。下面借助几个学生错误率高、解决起来比较困难的典型例题[4]，讲解如何利用化归的方法转化为第二个重要极限公式最终获得结果。对于能够一题多解的问题也尽量呈现了多种解法，达到帮助学生整理解题方法、发散思维的目的。

3.1 指数与“底数-1”没有直接互为倒数的极限问题

法一分析：底数是“分数”（底数直接构造“1+无穷小量”）

法二分析：底数是“分数” （分子、分母都构造“1+无穷小量”）

（底数分子、分母同时除以x）

（2）判断底数，x→0 时，

法三分析：底数是“分数” （化为对数恒等式）

（考虑将函数分解为乘方的积，应用“指数→∞”，化归为已知模型求解）

（2）判断底数，-x→0，其中1-x 可看作1+(x)=

3.2 自变量既不是“趋于∞”也不是“趋于0”的极限问题

分析：虽然自变量趋于常数，但对幂指函数进行判断仍有意想不到的效果

（2）判断底数，x→1 时，x→1→0

3.3 三角函数的幂指函数极限问题

分析：该三角函数问题也是一个幂指函数问题，

可以考虑先对指数与底数进行判断

3.4 某些无特征的函数极限问题

分析：某些函数看起来无特征，但可以写成幂指函数形式

4 借助思维导图，整理解题方法使学习变得系统高效

第二个重要极限公式能够解决指数趋于无穷大且底数趋于1 的幂指函数的极限问题。除此以外，此类幂指函数求极限也可以通过化为对数恒等式方法解决。下面借助思维导图（图1），将第二个重要极限公式解决幂指函数求极限的习题类型做一个梳理。

图 1 利用第二个重要极限通过化归的方法解决幂指函数求极限问题

第二个重要的极限是大学数学教学的一个难点内容，教师难教、学生难学。学生如果不理解本质情况下机械记忆公式，解题时就容易出现一些误解。如：认为只能在自变量变化趋势是x→0 和x→∞才符合公式的适用范围；忽略底数中的差的关系而直接套用公式；认为只有底数是“1+”的情况才能使用公式；忽略“底数-1”趋于0 的情况判断；遇到三角函数就束手无策等。建议教师在课堂结课时进行归纳，帮助学生总结解题的误区。借助(1+g(x))1g(x)→e 模型后，学生利用化归的方法观察判断，解题就变得轻松了。通过对小学教育专业学生进行教学实践，发现此种方法很适合于高中是文科方向的学生理解和学习，在教学中也取得一定效果。