Excel 内置函数在综合瞬时单位线中应用

刘宗晓，张永平，于 蓉

（1.济南市水文局，山东 济南250014；2.山东省水利勘测设计院，山东 济南250014）

在山东省水利水电工程设计洪水计算实践中，对于无实测流量资料的流域，采用实测暴雨资料，以山东省综合瞬时单位线法推求设计洪水应用较为普遍。该方法是山东省水利部门1979年编制《山东省山丘区暴雨径流查算图》时，采用96 个实测站209 场次洪水资料综合分析而得。瞬时单位线的优点是采用数学方程表达，易于采用计算机编程计算，并且便于对参数进行分析和地区综合，适用于中小流域地面径流的汇流计算。瞬时单位线应用时，仅根据2 个参数，即可转换为时段单位线，再根据相应时段的设计雨型，即可推求设计洪水流量过程。

《山东省山丘区暴雨径流查算图》中所列计算方法较为传统，需先计算参数m1，然后反复查手册所附的m1与时段单位线工具表计算洪水过程线，较为繁琐且计算效率偏低，不利于程序化。近年来，随着计算机面向对象编程语言的兴起，部分大型勘测设计单位研究不完全Γ 函数数值解法，以提高设计洪水电算化的精度和速度，但这些解法多较为复杂，不易被中小型勘测设计单位掌握，山东部分市、县勘测设计单位，依然采用《山东省山丘区暴雨径流查算图》中的查表法计算瞬时单位线。Excel 软件提供了300 多个内置函数，其中统计类函数包含有水文学科中常用的均方差、协方差、Г 分布、正态分布、指数分布等，熟练使用这些函数可以极大地简化水文分析计算过程，提高工作效率和质量。使用该统计函数可以用于瞬时单位线计算，该方法快捷、准确，并满足标准化和规范化的要求。

1 瞬时单位线概念

瞬时单位线是指在无穷小历时的瞬间，输入总水量为1 且在流域上分布均匀的单位净雨所形成的流域出口流量过程线，以数学方程u（0，t）来表示。根据水量平衡原理，输出的水量为1，则瞬时单位线和时间轴所包围的面积应等于1，即：

纳希（J.E.Nash）在1957 年提出一个假设，即流域对地面净雨的调蓄作用，可用n 个串联的线性水库的调节作用来模拟，由此推导出纳希瞬时单位线的数学方程式。

式中：n 为反映流域调蓄能力的参数，相当于线性水库的个数或水库的调节次数；K 为线性水库的蓄泄系数，反映流域汇流时间的参数；u（0，t）为t 时刻瞬时单位线纵高；Г（n）为n 的伽玛函数。

在实际应用中，纳希瞬时单位线的n 和K 并非是原有的物理含义，而是起着汇流参数的作用，n 的取值也可以是非整数。n、K 对瞬时单位线形状的影响是相似的，当n、K 减小时，u（0，t）的峰值增高，峰现时间提前；而当n、K 增大时，u（0，t）的峰值降低，峰现时间推后。

2 参数推导

瞬时单位线参数只有n、K 两个参数。n、K 确定了便可确定瞬时单位线。n、K 可用实测净雨过程i（t）与出流过程Q（t）的矩建立关系来确定。

式中：u1、u2分别为瞬时单位线一阶原点矩、二阶中心矩；Q1、Q2分别为出流过程一阶原点矩、二阶中心矩；I1、I2分别为净雨过程一阶原点矩、二阶中心矩。

令u1=m1，u2/（u1）2=m2

由此得：n=1/m2，K=m1/n

《山东省山丘区暴雨径流查算图》中已经反复试算综合出一般山丘区的m1、m2计算公式，将参数m1、m2和洪水主要影响因素流域面积、河道干流比降、净雨历时、净雨深等建立关系。山东省一般山丘区m1、m2参数计算公式如下：

式中：m1、m2为瞬时单位线参数；F 为流域面积，km2；J 为河道干流比降；R 为净雨量，mm；tc为净雨历时，h；k 为一般山丘区瞬时单位线系数。

3 时段转换

实用中需将瞬时单位线转换为时段单位线才能使用，时段转换采用S 曲线法。

由S 曲线可以转换得出任意时段长度的单位线。

式中：S（tk）为第k 个时段末S 曲线的纵坐标u（Δt，tk）为第k 个时段末单位线的纵坐标。

按式（10）转换得出时段单位线的纵坐标为无因次值，称之为无因次单位线，无因次单位线和时间轴所包围的面积等于1△t，且有：

无因次单位线等价于单位时段内输入1△t（h）总水量的单位净雨所形成的出流过程线，而10 mm 单位线为单位时段内输入10F（mm·km2）总水量的单位净雨所形成的出流过程线。根据单位线的倍比假定，10 mm 单位线与无因次单位线之间的关系为：

4 瞬时单位线计算

Excel 中的GAMMA.DIST 函数可以用于计算瞬时单位线的S 曲线，GAMMA.DIST（X，Alpha，Beta，Cumulative）需要以下几个参数。其中：X 为用来计算分布的值，此处为洪水时间，h；Alpha 为分布参数，对应瞬时单位线的n 值，n=1/m2；Beta为分布参数，对应瞬时单位线的k 值，k=m1/n；Cumulative 为决定函数形式的逻辑值。

如果Cumulative 为TRUE，函数GAMMA.DIST 返回累积分布函数；如果为FALSE，则返回概率密度函数，计算S 曲线时取值为TRUE。

进行瞬时单位线计算时，先根据公式（7）和公式（8）计算瞬时单位线参数m1、m2，再由GAMMA.DIST 函数计算得到S 曲线，利用公式（10）得到无因次的时段单位线，再根据公式（12）得到10 mm时段单位线，然后即可计算设计洪水过程线。

经校验，函数GAMMA.DIST 计算的各种m1、m2的瞬时单位线S 曲线纵坐标与《山东省山丘区暴雨径流查算图》中纳希瞬时单位线S 曲线查算表的结果完全一致。

5 结 语

山东省综合瞬时单位线在计算无实测流量资料的流域设计洪水中应用较为广泛，采用本文所述方法无需编程，即可利用Excel 计算不完全Γ 函数，进而计算设计洪水。针对某个水库或河道工程编制的表格亦可简单修改参数重用，大大减小瞬时单位线计算洪水的工作量。亦可采用Excel 内置宏语言Visual Basic for Applications（VBA）编程后实现批量处理计算多组设计洪水，大大提高水利水电工程设计洪水计算效率。