数列新颖题赏析

余建国

[摘 要]数列新颖题，就是从某种角度上看，无论是试题内容，还是试题形式和解答方法，以前没有出现过的新题目.分析数列新颖题，能帮助学生理解审读题意，厘清数量关系，学会转化方法，提高解题能力.

[关键词]数列;新颖题;赏析

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0031-02

数列试题中出现了许多值得可圈可点的好题.本文从近期各地的考试题中挑选几例，分析其解法，与大家共赏.

一、新定义引出的数列问题

给出某些新定义或新概念，让考生从新定义或新概念中导出递推关系式，以考查考生的阅读理解能力.

[例1]对于数列[an]，规定[Δan]为数列[an]的一阶差分数列，其中[Δan=an+1-ann∈N*]，对自然数[kk≥2]，规定[Δkan]为数列[an]的[k]阶差分数列，其中[Δkan=Δk-1an+1-Δk-1an].若[a1=1]，且[Δ2an-Δan+1+an=-2nn∈N*]，则数列[an]的通项公式为（ ）.

A.[an=n2×2n-1] B.[an=n×2n-1]

C.[an=n+1×2n-2] D.[an=2n-1×2n-1]

解析：根據题中定义可得[Δ2an-Δan+1+an=Δan+1-Δan-Δan+1+an=-2nn∈N*]，

即[an-Δan=an-an+1-an=2an-an+1=-2n]，即[an+1=2an+2n].

等式两边同时除以[2n+1]得[an+12n+1=an2n+12]，[∴an+12n+1-an2n=12]且[a12=12].

所以，数列[an2n]是以[12]为首项，以[12]为公差的等差数列，[∴an2n=12+12n-1=n2].

因此，[an=n⋅2n-1].故本题选B.

点评：本题的亮点在于根据题中定义结合等式[Δ2an-Δan+1+an=-2nn∈N*]可得出递推关系式[an+1=2an+2n].考点是利用构造法求数列的通项公式.本题涉及数列的新定义以及等差数列的定义、给人以耳目一新的感觉，是一道考查考生阅读理解能力的好题.

二、数学文化背景下的数列问题

数学传统文化，已经走进高考，与数学文化有关的数列题应运而生.这类问题既考查数列的基本知识，又传递数学文化信息，形式新颖.

[例2]图1是我国古老的益智游戏——九连环，它主要由九个圆环和框架构成，九个圆环环环相连，并套在一个直杆上，每一个直杆都在后一个圆环内穿过，每个直杆的另外一端则用平板或圆环固定住，圆环在框架上既可以解下，也可以套上.所谓九连环游戏，就是按照某种规则，把九个环全部从框架上取下来，或者全部套上去.如果把第[n]个圆环解下来最少需要移动的次数记为[fn]（[n≤9]且[n∈N*]），并且假设[f1=1]，[f2=1]，通过该游戏规则得到[fn=fn-1+2fn-2+1]，那么当你解下第5个圆环时，最少需要移动的次数是（ ）.

<E：＼1月数据＼1-12＼中学教学参考·理科版202109＼s9-20.tif>

图1

A.7 B.16 C.19 D.21

解析：由已知[f3=f2+2f1+1=1+2+1=4]，[f4=f3+2f2+1=4+2+1=7]，[f5=f4+2f3+1=7+8+1=16].故选B.

点评：本题的亮点是以“九连环”这种数学文化的背景引入，而且做到图文并茂.而考查的却是数列的基本问题：递推关系的应用，属于基础题.

三、与高等数学“嫁接”的数列问题

数列问题，可以与初等数学的其他知识综合，也可以将它设计在高等数学的背景下.当它与高等数学“嫁接”时，顿觉它的层次有很大的提高，可以“高大上”冠之.其实试题出现的高等数学的概念只是“由头”，归根到底还是考查数列及其应用.

[例3]已知矩阵[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]中[aij]都为正数，上下三行，每一行中的三个数都构成等差数列，并且[a11+a12+a13]、[a21+a22+a23]、[a31+a32+a33]成等比数列，那么下列语句中判断正确的有（ ）.

①第[2]列中的三个数[a12、a22、a32]一定是等比数列;②第[1]列中的三个数[a11、a21、a31]可能成等比数列;③[a12+a32>a21+a23].

A. [1]个 B. [2]个 C. [3]个 D. [0]个

解析：因为题中已知三行中的三个正数都成等差数列，故有[aa+da+2dbb+mb+2mcc+nc+2n].

于是[a11+a12+a13]、[a21+a22+a23]、[a31+a32+a33]分别是：[3（a+d），3（b+m），3（c+n）]，它们成等比数列，于是[（b+m）2=（a+d）（c+n）].故说法①完全正确;

因为[（a+d）+（c+n）>2（a+d）⋅（c+n）=2（b+m）]（因为九个数都互不相相等，故等号取不到），所以说法③也完全正确;

当这个矩阵取[1232.545.56.589.5]时，显然符合上述已知条件，故说法②也完全正确.

因此本题选C.

点评：撇开矩阵这个高等数学的概念，解答本题只需根据每行中的三个数成等差数列，把原来的矩阵变形，最后根据等比数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用.而“矩阵”的加盟，使试题增添了几分新意.

四、来源于实际生活的数列问题

数列知识来源于实际，同时它为实际问题的解决提供理论依据和方法.将数列问题设计在实际问题中，已成为数列命题的新动向.从2019年全国Ⅰ卷（理）中已得到了印证.这类问题往往具有生活化的情境和知识应用的综合性，更能考查考生分析问题和解决问题的能力以及数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.

[例4]一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设[Pn]为棋子跳到第n站的概率，开始时一枚棋子在第0站，玩家每投一次色子，棋子就向前跳一次.假如投出的点数是奇数，那么棋子往前跳一站;假如投出点数是偶数，那么棋子往前跳兩站，如此下去，一直到棋子跳到第99站（胜利）或第100站（失败）时，该游戏结束（色子是一种六个面分别标有1，2，3，4，5，6的立方体，且质地均匀）.

（1）依次求[P0]，[P1]，[P2]的值，并猜想[Pn-2]，[Pn-1]，[Pn]三者之间的关系式;

（2）求证：[Pn-Pn-1（n=1， 2 ， …，100）]为等比数列;

（3）求玩该游戏获胜的概率.

解析：（1）开始时，棋子第0站，它是必然事件，故[P0=1].棋子第一次跳到第1站，只有一种情形，第一次投色子，出现奇数点的概率是[12]，故[P1=12].而棋子跳到第2站时有两种情形：一种是第一次投色子岀现的是偶数点，其概率是[12];另一种是前两次投色子出现的是奇数点，其概率为[14]，故[P2=12+14=34].而棋子跳到第[n（2≤n≤99）]站，同样也包括两种情形：①棋子先跳到第[n-2]站，又投色子出现的点数是偶数点，其概率是[12Pn-2];②棋子先跳到第[n-1]站，又投色子出现的点数是奇数点，其概率是[12Pn-1].故[Pn=12Pn-2+12Pn-1].

（2）由（1）知，[Pn=12Pn-2+12Pn-1]，所以[Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2）].

又因为[P1-P0=-12]，所以[Pn-Pn-1（n=1， 2 ， …， 100）]是首项为[-12]，公比为[-12]的等比数列.

（3）由（2）知，[Pn-Pn-1=-12-12n-1=-12n].

所以[P99=（P99-P98）+（P98-P97）+…+（P1-P0）+P0]

[=-1299+-1298+…+-12+1][=-121--12991--12+1][=231-12100].

所以玩该游戏获胜的概率为[231-12100].

点评：解答本题要求考生从题目的阅读中得出数列的递推关系式，进而利用数列中的知识与方法加以解决.本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n项和公式.考查累加法求和，属于难题.本题的亮点在于一题多考，将概率问题的情境设计在数列问题中，从而增强了试题的交汇性与新颖性，同时也让试题的难度进一步加大.

（责任编辑 黄桂坚）