跳-扩散模型中即时波动率的门限二次幂变差核估计

（凯里学院，贵州 凯里 556011）

波动率是跳-扩散模型的重要部分，它在金融经济学中对冲、期权定价、风险分析、投资组合管理中扮演重要的角色.当今，随着计算机技术的发展，高频金融数据变得更容易获得.高频数据提供了理解金融模型和分析金融市场的一个工具.特别地，波动率的一些新的实证准则可直接由高频数据而获得.当前波动率估计研究主要从即时波动率（spot volatility）与积分波动率（integrated vola⁃tility）两方面来研究，积分波动率是基于一个有限时间区间上即时波动率的积分形式.关于跳-扩散过程的积分波动率估计的研究是非常活跃的［1-5］.

积分波动率估计量是对某一时间区间上即时波动率进行估计的.然而，如果关注的是某一具体时刻点上的波动率，这些估计量将不再合适.因此，目前对波动率估计的研究问题转移到在某一时刻点上的波动率估计问题，即即时波动率估计问题.事实上，即时波动率也称为依时波动率，我们关注的是即时波动率的非参数估计.对于即时波动率估计问题来说，主要是基于非参数方法［6-14］.本文研究了当高频数据观察值中存在跳时，构造一个新的非参数估计量估计即时波动率的问题.

本文推广了Corsi［4］和Kristensen［7］的工作，构造了有限跳跃下即时波动率的门限二次幂变差即时波动率核估计，该估计量是基于二次幂变差与门限技术的联合使用，并在一定的条件下，建立了估计量的相合性与渐近正态性.

1 门限二次幂变差核估计

在计量经济学中，通常使用随机微分方程来描述资产变量的变化过程

其中漂移项μt与波动率项σt均是更新随机过程，Bt是一个标准布朗运动；dJt=κtdNt，其中κt是均值为μκ(t)、方差为的随机变量，Nt是一个计数过程，表示从0时刻到t时刻上的跳个数.Jt可表示为其中κτi表示在τi时刻跳的大小.

注1.为了便于讨论大样本性质，在模型（1）中，假设Nt是强度为λ的泊松过程是独立于Nt的相互独立随机变量.

注2.这里也可以考虑不等间距情况，但主要区别在于：在讨论渐近极限理论时，需要的条件，而不是δ→0.

首先，定义随机门限函数

定义1.定义一个严格正随机门限函数ϑs：[0,T]→ℜ+，简记ϑiδ=ϑi.

下面给出了估计量TBKV(t)的渐近性质.

2 估计量的渐近性质

设对数价格过程Xt是定义在滤波概率空间(Ω,F,(Ft)0≤t≤T,Ρ)上，且满足常用条件［17］.估计量（2）的渐近性质是基于下列假设下建立的.

（A.1）过程μt与σt是连续取样路径，过程σt是正过程.进一步，假设μt与σt是自适应，右连左极的，且独立于Bt.

（A.2）过程μt与是局部有界，且大于0.常数L，使得，其中p

（A.3）对于任意存在一个正是一个正整数，η是任意小的正常数.

假设A.1是即时波动率估计中对过程的基本要求.资产价格模型大多为右连续左极限存在的随机过程，满足条件（A.2）.假设（A.3）要求在时间区间[ti-1,ti]上漂移项μt与即时波动率σt有限4(p+η)阶矩，它们可保证估计量的渐近正态性存在.假设（A.2）强调漂移项μt与即时波动率σt的局与部行为限制条件，在固定窗宽环境下，对建立积分形式下门限多次幂核估计量的渐近性质是足够的.相对于估计积分波动率，即时波动率估计需要假设h→0，而且讨论波动率过程的路径性质时需要更多具体的假设，以便理论适应更多的模型.即可以进一步对即时波动率过程的连续性假设，例如将波动率过程连续扩展到Ho¨lder连续.

（A.4）对于即时波动率过程的几乎所有路径，有其中C是一个有限常数，m≥0 是一个整数，上标(m)代表关于时间m次可导，0 ＜α＜1.假设（A.4）比假设（A.3）严格.当跳不存在时，若假设（A.4）成立，那么假设（A.3）也是满足的.事实上，假设（A.4）是非常一般的要求，扩散过程、长时记忆随机微分方程均满足［18］.特别地，当m=0 和α＜1/2，在这个假设中连续半秧是允许的［19］.

注3.一个类似的假设在其他文献中使用［7，11］.考虑更一般光滑条件，允许过程有不可微轨迹，且几乎处处满足γ阶光滑.即定义特殊函数空间Cm,γ[0,T]，且要求的轨迹位于这个空间.

设由函数f:[0,T]→ℜ 组成的空间Cm,γ[0,T]，其中m≥0 和0 ＜γ＜1，定义函数f有m次可微，且f(m)(t)表示函数f的m次导函数，且满足其中δ→Lf(t,δ)在0点处是慢变函数，且t→Lf(t,0)是连续的.那么对于m≥0 与γ≥0，映射位于空间Cm,γ[0,T].

对于σt是布朗扩散过程来说，这个假设与假设（A.4）严格程度相当.对于σt是布朗扩散过程来说，在这种特殊情况下，这个假设是成立的，其中m=0和0 ＜γ＜1，见Fan等人的命题A.1［19］.

（A.5）核函数K(·)∶ℜ →ℜ 是连续可微的，且满足下列条件：

（a）∫ℜK(u)du=1；

（b）存在一个列常数C1，C2，Li＜∞，使得|K(i)(u)|≤C1，且对于υ≥1，|u|≥C2，=0,1；

对于r≤2，大部分标准核函数都满足假设（A.5）中的条件.当r＞2，K(⋅)是一个高阶核.对于具有至少二阶可导的待估函数的核估计量来说，高阶核函数可用于减少偏差［20］.如m=0，则不宜采用高阶核函数.

最后，给出下列假设使得门限函数r(δ)和以比布朗运动的连续模量慢的速度趋于0.

（A.6）设r(δ)是时间步长δ的确定函数，且满足

为了分离模型（1）中的σt，重要的一点是除去时间区间[ti-1,ti]内的跳J.假设（A.6）是一个重要的假设，且给出了门限函数收敛速度的要求.现在考虑时变门限的使用，并介绍下列定义.

定义2.一个时变门限函数为ϑi=ξi⋅r(δ)，其中r(δ)是一个实值函数，且满足假设（A.6）的条件，{ξi}是定义在[0,T]上具有严格正下界的随机过程，且几乎处处有界.

定义2在金融市场应用中是很有用的，见Corsi［4］，Mancini 和 Renò［21］.另外，当取代Mancini［3］的定理1 与推论1 仍然成立.因此，由Mancini［3］的推论1，可得下面的引理:

引理1在假设（A.1）-（A.2）下，令δ″=存在δ2(ω)＞0，使得有

引理1 表明门限函数可视为时间区间上识别跳是否存在的工具，并提示了怎么去选择门限函数因为引理1 直接由Mancini［3］的定理1与推论1得到，因此，此处证明忽略.现在叙述主要结果.对于固定h，定义TBKV为TBKVh.TBKVh可以视为在跳存在下积分波动率的核形式估计量.

首先给出估计量TBKVh的渐近性质.

定理1在假设（A.1）-（A.6）下，对于固定h，且任意t(t∈[0,T])，那么，当δ→0，

其中→p是依概率收敛，且

接下来，考虑h→0 的情况，对于t∈(0,T)，可得估计量TBKV(t)的渐近正态性质.

定理2在假设（A.1）-（A.6）下，核函数Kh(⋅)满足假设（A.5），且r≥m+γ.则当n→∞，nh→∞，nh2(m+γ)+1→0，有

3 定理的证明

下面给出定理1 与2 的证明，对于在文中给出的一些条件来说，尽管它们可能不是最弱的，但对于本节定理的证明是必需的.在证明定理之前，介绍下面定义：

定理1的证明：

记Xt=Yt+Zt，其中Yt是一个布朗半秧，且Zt是一个跳过程.假设Zt是一个有限的跳过程.

于是，基于Mancini［3］的定理1，Corsi等［4］的定理2.3 和Mancini 与Renò［21］的注3.4，对于足够小的δ，可知TBKV(t)=是示性函数，当时间区间[t(i-1)δ,t(i+1)δ]上有一个跳时否则=0.注意这里窗宽h是固定的.设核函数K(⋅)是有界的（见假设（A.5）），对于常数为Λ0，则|Kh(ti-t)|≤Λ/h≤Λ0.

令NT表示时间区间[0,T]上跳的个数.因为在时间区间[0,T]上有限个跳，即NT是有限的.于是，由布朗运动的连续模量［22］和Barndorff -Nielsen等［23］的引理1，可知

因此，TBKV(t)和BKV(t)具有相同的依概率收敛和渐近正态分布.

现在研究估计量BKV(t)的渐近行为.不失一般性，假设μt=0.那么ΔiY可写为

注意到定理2 的证明的第二部分类似于第一部分的证明.因此，这里忽略其证明.为了得到详细引理说明的证明，可以找到一些渐近结果来证明这个中心极限理论，见Barndorff -Nielsen 等［24］和Woerner［25］，证毕.