高速齿轮箱多平行轴系-轴承-箱体混合动力学建模方法研究*

2021-01-15赵芳慧王维民张登鹏王珈乐

风机技术 2020年5期

赵芳慧王维民,2 张登鹏王珈乐

（1.北京化工大学高端机械装备健康监控与自愈化北京市重点实验室；2.压缩机技术国家重点实验室）

0 引言

透平压缩机/膨胀机在现代能源、石油化工及环保领域，在高速高压高功率密度工况下，机组极易引发多种故障。整体齿轮增速式压缩机/膨胀机以高效而著称，应用日益广泛。然而其结构复杂，影响因素众多，常因为啮合力的变化导致机组振动故障[1]。因此，复杂高速齿轮箱多平行轴系-轴承-箱体整体动力学的研究，对机组振动准确预测、保障转子稳定运行至关重要。

Stringer[2]运用影响系数法，开发了一个12×12的齿轮刚度啮合矩阵，能够准确的分析齿轮轴系弯-扭-轴向的振动耦合作用。崔津[3]建立齿轮-轴承-转子系统动力学理论，概述了耦合系统叶轮振动特性，并进行了相关的实验测试。丁端[4]提到由于齿轮啮合作用，齿轮-转子-轴承系统耦合出新的频率和振动峰值。Luo Z[5]提出整体齿轮增速式压缩机的系统设计方法，研究转子-轴承系统的振动特性，为提高转子的动力性能，提出了一种转子动力设计修正方法。然而，以上的方法仅仅考虑了齿轮啮合和轴承支承的影响，未有效的考虑齿轮箱箱体的振动特性。

Pettinato B[6]提出，对多自由度系统，利用有理分式多项式方法对每个支座的各测量方向进行曲线拟合，计算传递函数矩阵，可得到支座的动刚度即传递函数矩阵的逆。Cavalca K L[7]提出了一种求解具有显著基础结构柔度影响的转子-轴承系统数学表达式的方法。Meli E[8]提出利用传递函数矩阵，建立旋转机械与弹性支撑结构相互作用模型，并进行了初步验证。Ehehalt U[9]在转子系统的耦合节点上，用子结构/传递函数法说明基础的动力特性可能对旋转机械的动力特性有很大影响。

本文建立转子-轴承-箱体动力学模型，考虑齿轮啮合刚度，并利用谐响应分析获取频响函数矩阵，拟合得到柔性传递矩阵，考虑箱体机匣的动刚度，建立混合动力学模型。并以某高速齿轮箱三平行轴系为例，进行模型仿真和现场实际测量，研究结果表明，通过考虑啮合和柔性支撑的影响，计算结果更加准确。

1 高速齿轮箱动力学模型

根据有限元原理，转子动力学运动微分方程可以写作：

M，C，K分别表示单元的质量、阻尼和刚度矩阵，F表示激励矩阵，q表示单元的位移，因为每个节点包含弯-扭-轴六个自由度，所以q表示为：

下标1，2分别表示一个单元的左右两个节点，x1，y1，θx1，θy1代表节点1的弯曲自由度，θz1代表扭转自由度，z1代表轴向自由度。每节点6自由度，建立弯-扭-轴耦合转子系统。

1.1 轴-齿轮-轴承耦合动力学模型

整体齿轮增速式压缩机中的齿轮啮合单元用Stringer开发的12×12啮合刚度矩阵，如式(2)，建立轴-齿轮动力学模型。

其中，Kg表示平均啮合刚度，N/mm，四个刚度子矩阵Kii，Kij，Kji，Kjj表示从齿轮沿作用线位移分解为轴中心整体坐标系的坐标变换。借助螺旋角β，压力角αn、大小齿轮节圆半径ri和rj、小齿轮相对大齿轮的方位角φ等几何输入，即可得到四个6×6的子刚度矩阵，完成齿轮啮合刚度的组装，得到轴-齿轮耦合系统。

轴系轴承可以选用稳定性较高的5瓦可倾瓦轴承[10-11]，且瓦间均匀受载。基于力与力矩平衡，由轴承静载计算齿轮-轴承支反力，结合轴承预负荷、宽径比、轴承间隙和受载方式等结构参数，计算轴承8个动态特性系数：

其中，kxx，kyy表示主刚度，kxy，kyx表示交叉刚度，cxx，cyy表示主阻尼，cxy，cyx表示交叉阻尼。主刚度对系统固有特性起到很大作用，交叉刚度和主阻尼影响系统稳定性。类似齿轮啮合刚度的组装，将轴承动态系数组装到整体刚度阻尼矩阵中轴承节点所对应的自由度中，进一步得到轴-齿轮-轴承耦合系统。

1.2 轴-齿轮-轴承-箱体耦合动力学模型

若提供支撑的箱体结构柔度较大时，也会对整个转子系统的振动产生一定影响。为了提高透平压缩机转子动力学的准确性和效率，减小整机动力学运算量，提出了传递函数法。通过传递函数法，整个系统可以被分割成不同子结构，利用动刚度将其整合建模。

如图1，在该齿轮箱轴系中，原轴承阻抗表示为：

图1 振动部件的相互作用Fig.1 Interaction of vibrating parts

不考虑机匣振动传递，轴承力fb’(s)与轴承位移qb(s)的关系：

当考虑到机匣振动传递至轴承的影响时，

图2中，fb(s)表示轴承力，qcase(s)表示箱体传递给轴承的位移，Gbase(s)表示箱体振动传递函数，表示等效支撑刚度，即考虑箱体振动之后的动刚度。

图2 箱体振动反馈图Fig.2 Box vibration feedback diagram

图1突出了转子、轴承、支撑之间的相互作用。因为转子和箱体之间有多个轴承支撑，对箱体进行谐响应分析，在相应的支撑节点的径向施加单位正弦力，不同频率之间进行多次扫频，根据耦合节点的响应，推导出基于激励频率的轴承支承点间的频响函数矩阵，即动柔度矩阵，通过频响函数多项式拟合法获取柔性传递函数。由式(6)和(7)得到考虑箱体振动之后的等效支撑刚度，建立轴-齿轮-轴承-箱体耦合轴系。

2 轴系模态特征

求解式（1）的二阶线性齐次微分方程，设其解为

将式（8）代入齐次微分方程可得

求解频率方程，可得模态频率w和模态振型Φ，比较啮合前后、带柔性支撑前后的模态特征可知，多平行耦合轴系的模态振型表现出多样性：

1）单轴模态：啮合轴系中这类模态的原形可以从未啮合时单转子模态阵型中找到，一般只有一个转子主振，其他转子没有明显的振动，频率会发生微小变化；

2）多轴耦合模态：表现为多转子的弯曲振动，或者是弯-扭-轴耦合振动；

3）单轴耦合模态：特征是轴系仅有某一转子主振，振型多表现为单转子弯-扭-轴耦合振动；

4）新增模态：它是未啮合轴系中所没有的，一般表现为单转子的弯曲振动；

5）消失模态：未啮合轴系中有，但啮合轴系模态分析中没有的模态；

6）带柔性支撑模态：振型发生微小变化，模态频率也有所减小。

本文以一个三平行齿轮轴系为例，建立三平行齿轮轴系的Timoshenko梁单元模型如图3所示。

图3 三维转子有限元模型Fig.3 3D Finite element model of rotor

图3中，平行轴和齿轮材料都选用45号钢，该模型低速轴工作转速1 500r/min，由17个单元，18个节点组成；中速轴工作转速20 000r/min，由20个单元，21个节点组成；高速轴工作转速40 000r/min，由25个单元，26个节点组成。将该轴系的部分模态频率列至表1。

表1 耦合模态频率Tab.1 Coupling modal frequencies

3 耦合不平衡响应分析

3.1 单轴不平衡响应分析

根据美国石油协会(API)标准[12-13]计算不平衡量，中速轴工作转速20 000r/min、高速轴40 000r/min，结合表1中耦合模态频率在工作转速附近对应的振型，将图3所示的不平衡量大小汇总如表2所示。

表2 不平衡量大小Tab.2 Magnitude of unbalance

则单轴径向不平衡响应分别见图4～图5。

中速轴共振发生在20 600r/min，图4(a)中，右叶轮处振动最大为9μm，该轴操作转速范围15 000～21 000r/min；高速轴共振点在28 380r/min，叶轮处振动响应很大，图5(a)中甚至达到了64μm，高速轴操作转速范围30 000～42 000r/min。由API标准，操作转速界限内的振幅都在振动极限Lv范围内。

实验数据中，中速轴在到达临界转速前，图6(a)振动已达50μm，为防止膨胀机破坏，振动只测到18 800r/min；图6(b)高速轴共振转速是27 000r/min，因为整个机组存在叶轮过盈量不足等故障，实际不平衡量远远大于API标准，所以图6振动响应整体偏大。相比图5(b)中高速轴临界点28 380r/min，与实验偏差超过5%，只能通过进一步完善模型来减小误差。

图4 单轴不平衡时中速轴径向振动Fig.4 Radial vibration of medium speed shaft under single shaft unbalance

图5 单轴不平衡时高速轴径向振动Fig.5 Radial vibration of high speed shaft under single shaft unbalance

图6 实验数据Fig.6 Experimental data

3.2 啮合轴系不平衡响应分析

中、高速轴单轴共振点，分别对应表1中第7，11阶未啮合频率；而啮合之后，两阶模态频率有所减小，特别是第11阶，并体现在啮合轴系不平衡响应中，见图7～图8。

图7 轴系不平衡时中速轴径向振动Fig.7 Radial vibration of medium speed shaft under shafting unbalance

图8 轴系不平衡时高速轴径向振动Fig.8 Radial vibration of high speed shaft under shafting unbalance

由图7，中速轴的径向共振点在20 666r/min、20 143r/min处，振动情况与未啮合的单轴振动，很相近，又因为右叶轮叶轮质量和转动惯量比左叶轮更大，所以其振动略大于左叶轮，轴承处作为振型的节点，振动响应很小，图6(a)中的不平衡响应大小对其参考意义不大；高速轴在27 740r/min处产生共振，对应表1中第11阶啮合模态频率，与实验偏差维持在2.7%。

考虑啮合之后，中速轴振动情况差异不大，高速轴叶轮处的振动从最高64μm降到图8(a)中的34.7μm，各节点临界转速从28 380r/min降为27 747r/min，且与实验数据接近。考虑啮合的轴系不平衡响应与单轴不平衡，振动情况差别很大，进一步说明了考虑啮合轴系的必要性。

图9(a)中，中速轴弯曲不平衡时，通过啮合振动传递，低速轴和高速轴分别在1 960r/min和51 225r/min发生共振，振动传递的响应很小；图9(b)高速轴不平衡时，低速轴、中速轴的啮合传递共振点分别是1 060r/min、13 864r/min，两轴响应更小。说明通过齿轮啮合传递的振动响应很小，且与轴的转速呈正相关关系。

图9 齿轮啮合传递振动Fig.9 Transmission vibration in gear meshing

3.3 带柔性支撑轴系不平衡响应分析

当刚度比Kbox/Kbrg≤3.5时，支撑柔性开始对系统的临界转速和响应特性产生显著影响，此时箱体的柔性就必须考虑进来[14]。本文用ANSYS对柔性箱体进行谐响应分析，通过扫频得到箱体及中速轴、箱体及高速轴耦合点的动柔度曲线，如图10～图11所示。

结合3.2节，在中速轴临界转速处，中速轴x方向Kbox/Kbrg=2.52e10/4.02e8=62.7，y方向1.44e8/8.52e8=0.169＜3.5；高速轴临界转速附近，x方向8.98e11/4.78e8=1878，y方向刚度比6.01e10/3.14e8=191。临界转速处，只有中速轴y向箱体刚度较轴承刚度小，推断中速轴x向和高速轴径向箱体刚度对系统临界振动起不到作用。

对比图7，图12中，确实只有中速轴y向振动对柔性支撑敏感，y向临界转速从20 143r/min减小到19 162,19 950r/min。而图12(a)中速轴x方向临界处振动几乎没变，高速轴径向振动情况仍如图8，对应图10～图11的推断结论。

图10 箱体及中速轴耦合点动柔度曲线Fig.10 Box and medium speed shaft coupling point dynamic compliance curve

图11 箱体及高速轴耦合点动柔度曲线Fig.11 Box and high speed shaft coupling point dynamic compliance curve

图12中出现的局部共振，也可以由箱体及中速轴耦合点动柔度曲线解释。临界转速附近，图10(b)y方向动柔度在315～340Hz处很大，导致该方向动刚度小，所以是箱体特性的作用，引起临界转速处局部振动，激起的19 750r/min，20 470r/min分别对应箱体第14,15阶固有频率。中速轴径向振动在33 000r/min之后，出现的34 010r/min(566Hz)，35 580r/min(593Hz)，37 780r/min(628Hz)小幅共振，这些局部振动现象也是由图10中该点动柔度较大所致，分别对应箱体第26,28,30阶固有频率。而且齿轮啮合传递振动会因为柔性支撑的引入，从图9(a)中高速轴激起的0.5μm，增大高到近1μm的振动，而且局部共振响应很多。

图12 带柔性支撑时中速轴径向振动Fig.12 Radial vibration of medium speed shaft under flexible support

3.4 不平衡相位分布对振动的影响

由仿真和实验数据，该齿轮轴系确实在20 000r/min与27 000r/min处产生共振。为了将临界转速与工作转速之间的隔离裕度拉大，可以通过改变不平衡相位分布这一方法来实现，以中速轴径向振动为例，每隔10°相位差观察中速轴不平衡响应，发现在50°相位差时中速轴x向振动的临界转速最大，如图13所示。

中速轴不平衡量相位差180°布置时，在20 000r/min附近共振；高速轴0°相位差布置，在27 747r/min处共振。图13中，每隔10°改变不平衡量相位角分布，中速轴在50×相位差时，临界转速最大为25 898r/min，距工作转速之间的隔离裕度达到29.5%，相比图12(a)，20 000r/min处叶轮振动最大5.7μm，工作转速附近振动幅值明显减小，振动曲线更加平缓，系统更稳定；同样地，高速轴相位差150°时，最大临界转速比原来的共振点大1 601r/min。在叶轮节点施加虚拟不平衡量，不平衡量相位的布置，在保证振动幅值变化不大的情况下，将临界转速与工作转速的隔离裕度拉大，可以减小振动甚至避免共振。所以利用无试重现场动平衡原理进行配重时[15]，在减小振动的基础上，可以按3.4节规律改变平衡面相对相位差，将临界与工作转速间的隔离裕度调大，进一步精确配重，提高平衡精度，不过还需要实验来进一步验证该机组平衡效果。