洛伦兹力做功问题辨析

◇ 山东 刘 兵 张 红

在学习洛伦兹力时,我们可以根据左手定则得到洛伦兹力方向与速度方向时刻垂直,从而得到洛伦兹力对运动电荷不做功．那么,洛伦兹力真的不做功吗?我们先来看一道例题．

例如图1 所示,下端封闭、上端开口、高h＝5m内壁光滑的细玻璃管竖直放置,管底有质量m ＝10g、电荷量的绝对值|q|＝0.2C 的小球,整个装置以v＝5m·s－1的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度B＝0.2T,方向垂直纸面向内的匀强磁场,由于外力的作用,玻璃管在磁场中的速度保持不变,最终小球从上端管口飞出．下列说法正确的是( )．(g取10m·s－2)

图1

A．小球带负电

B．小球在竖直方向做匀加速直线运动

C．小球在玻璃管中的运动时间小于1s

D．小球机械能的增加量为1J

分析这道题的答案是B、D．题目解完后,反思这道题发现这样一个问题,小球在竖直方向受到竖直向下的重力,若洛伦兹力不做功,小球在竖直方向的速度为什么变大了呢? 解决这个问题需要从洛伦兹力入手．洛伦兹力是运动电荷受到磁场的作用力,当电荷的运动速度垂直于磁场时其公式可以写成F＝qvB,从这个公式可以看出洛伦兹力大小与电荷的运动速度有关．

玻璃管刚进入磁场时,小球速度水平向右,此时小球所受洛伦兹力竖直向上．小球在磁场中运动过程中,同时参与了水平方向的匀速直线运动和竖直方向的初速度为零的匀加速直线运动,其合运动为匀变速曲线运动．小球的速度时刻在改变,所受洛伦兹力也时刻改变．

根据运动的合成与分解可以将小球在磁场中运动过程中某时刻的速度进行分解,如图2 所示．其中v1、v2分别为此时刻水平方向、竖直方向的分速度．此时小球所受洛伦兹力F 也可以进行分解,如图3所示．

图2

图3

其中F 为合速度对应的洛伦兹力,F1、F2分别为v1、v2对应的洛伦兹力．下面我们来计算一下F1、F2这两个分力从小球进入磁场到小球离开玻璃管过程中的做功情况．由于小球水平方向为匀速直线运动,其速度v1＝5 m·s－1,这个速度对应的洛伦兹力为F1,其大小为F1＝qv1B＝0.2N,这个力的方向竖直向上,此力对小球竖直方向的运动状态产生了影响．这个力做的功为W1＝F1h＝1J．这也是小球竖直方向速度变大的原因．

再来分析一下F2的做功情况．F2是分速度v2对应的洛伦兹力,其大小为F2＝qv2B,这个分力的方向为水平向左．v2与时间t 成正比,水平方向的位移x与时间t成正比,由此可得v2正比于水平方向的位移x．由式F2＝qv2B 可以得到F2正比于水平方向的位移x．我们可以通过图象来反映F2与水平方向位移x的变化关系,如图4所示．

图4

通过已知条件可知小球飞出管口用时1s,图4中的x1＝v1t＝5 m,小球离开管口时受到的水平分力F′2＝qv2B＝0.4N,F2在此过程中所做的功数值上与图中阴影部分的面积相等,即W2＝－1J．

动生电动势的产生原因同样也涉及洛伦兹力分力做功问题．下面我们来分析一下动生电动势的产生．如图5所示,一金属直导线以速度v 在垂直于纸面向外的匀强磁场B 内匀速向右运动,由右手定则可以得到导线b 端的电势高于a 端的电势,在导线中产生了电动势,这个电动势是怎么产生的呢?

图5

我们先来回顾一下电动势的概念．人教版高中物理教材《选修3-1》中对电动势是这样描述的:“电动势在数值上等于非静电力把1C 的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功．”在上面的情境中,是什么力充当了非静电力使电荷移动,从而产生了电动势呢? 我们知道,在金属中能够自由移动的是自由电子,我们以其中的一个电子为研究对象进行分析．由于导线的运动使电子在水平方向产生了位移,水平方向的速度对应的洛伦兹力F 是竖直向上的．这样电子在竖直方向就产生了位移,与上面的题目类似,电子在匀强磁场中同时参与了水平方向和竖直方向两个方向的运动．正是水平方向的速度对应的洛伦兹力F充当了非静电力使电子从b 端向a 端运动,从而产生了动生电动势．

分析洛伦兹力做功问题时需要明确是哪个速度对应的洛伦兹力．合速度对应的洛伦兹力是不做功的,若把速度分解,其分速度对应的两个洛伦兹力就会分别对运动电荷做功．