由教材中的一道习题谈问题探究的视角

◇ 山东 马 蒙

对一道题目进行多视角探究是培养学生能力的重要方式,教材中的例题或习题具有典型性和代表性,是学生学习和探究的重要内容．本文以教材中一道求椭圆焦点三角形面积的习题为例,提出几个探究视角,供读者参考．

1 探究问题解法

例1(《选修2-1》)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P 在椭圆上,且∠F1PF2＝60°,求△F1PF2的面积．

解析设PF1＝m,PF2＝n,则

由椭圆定义得m＋n＝6,

在△PF1F2中,由余弦定理可得

2 探究问题结论

对结论的探究是问题探究的重要形式,是将所处理的问题由特殊向一般转化的重要过程,是将所学知识由点到线、由线到面进行扩充的重要方式．

结论椭圆为椭圆焦点,P 在椭圆上,∠F1PF2＝θ,则S△F1PF2＝

证明设PF1＝m,PF2＝n,则sinθ．因为m＋n＝2a,

在△PF1F2中,由余弦定理可得

在解答选择题或填空题时,利用所得结论,可快速得出正确答案,体现了“小题不大做”的原则,有效地提升了解题效率．

例2已知椭圆的右焦点为F2,过原点O 的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且则△BOF2的面积为_____．

解析△BOF2由椭圆上的点与右焦点构成,根据椭圆的对称性及定义,通常需要将相应的点与椭圆的左焦点相连,如图1所示．

由椭圆的对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,△BOF2的面积与△AOF1的面积相等,而△AOF1的面积为△AF1F2面积的一半,又所以故只需求△AF1F2的面积即可．

图1

3 探究问题推广

双曲线和椭圆均属于圆锥曲线,两者有很多的相似性,能否将这一结论推广到双曲线中?

总之,对同一问题进行不同角度的探究,能使学生清楚问题的本质,明确命题的根源,切实地提高学生分析与解决问题的能力．探究的载体包括教材例题、习题和高考题等．学习不止,探究不息．