将等量关系符号化以突破初中数学方程应用题之案例分析

柯嘉嘉

【摘要】北师大版初中数学教材，从七年级上册《一元一次方程》到八年级上册《二元一次方程组》、下册《分式与分式方程》再到九年级上册《一元二次方程》，连续三年学习多种方程模型，可见方程问题在初中数学中起着重要的作用。特别是利用方程解决实际应用问题，更是初中数学的重点和难点。对此，笔者以历年各省中考题为案例讲述如何利用“将等量关系符号化”为突破口解决方程应用题。

【关键词】初中;等量关系;数学符号;方程;应用题

数学来源于生活，又服务于生活。数学是一门基础学科，初中数学主要由代数、几何、统计学三部分组成，其中代数部分占据了半壁江山，在历届中考中分值占55-60分。其中，方程问题又是代数的重要组成部分，解方程问题、方程应用题都是每年中考的必考知识。根据多年的初中数学教学经验，笔者发现，现在的初中生由于生活经历缺乏、心智发育尚不成熟，导致利用方程解应用题成为学生学习中的主要难点。困难主要表现在：1.审题不清，思路不明;2.不会将文字数学化;3.方程种类多，不会正确选择;4.惧怕方程应用题等。

一、突破方程应用题的方法和思路

笔者从“如何找准等量关系”及“如何将等量关系符号化”这两个方面入手，以几个不同类型的中考方程题为案例，简要讲述如何突破方程应用题的方法和思路。

众所周知，解决方程应用题的基本思路是：1.审题;2.设元;3.列方程;4.解方程;5.检验;6.作答。其中，审题最为关键。审题，顾名思义，就是仔细读题和分析，找出题中的已知量、未知量、隐含公式、等量关系等。但许多学生觉得应用题难，难在哪里呢？难就难在审题不清就草草下笔。

二、以历年各省中考题为例，分析解决方程应用题的思路

初中阶段的方程应用题有：一元一次方程、二元一次方程组、分式方程和一元二次方程。常见的题型有：1.工作（工程）问题：工作总量=工作效率×工作时间;2.利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金×利息;3.行程问题：路程=速度×时间;其中包括：相遇问题、追及问题;4.利润问题：利润=售价-进价;，5.增长率问题：，n为增长次数;6.方程在几何题中的应用等。下面通过几个典型例题以解释如何引导学生进行分析，以及审题分析的思路：

类型一：一元一次方程应用问题

例1：（北师大版七年级上册一元一次方程复习题3）儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？

分析：本题求一个未知量，而且只有一个等量关系，由此可判断和选择一元一次方程来解决问题。

已知量：儿子和父亲现在的年龄;隐含条件：年龄的增减是同时增加或减少的，所以几年前/后这个未知量是用于父亲跟儿子同时的;

等量关系是：几年前/后，父亲的年龄是儿子年龄的4倍;

将等量关系写为“文字加算式的形式”：父亲现在的年龄+几年前/后=4× （儿子现在的年龄+几年前/后）

未知量：几年前/后？将未知量设为未知数x;

将等量关系的算式形式改为方程：

父亲现在的年龄+几年前/后= 4 ×（儿子现在的年龄+几年前/后）

即：40 + x = 4 ×（13+x），从而得到一元一次方程：40+x= 4×（13+x）

最后规范解题步骤，正确运算后作答即可完成此题。

类型二：二元一次方程组应用问题

例2：（2015年广东省中考题）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元。商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元。求商场销售A、B兩种型号计算器的销售价格分别是多少元？

分析：此题求两个未知量，而且有两个等量关系，故可判断并选择二元一次方程组来解决问题。

已知量：A种计算器进价30元/台、B种计算器进价40元/台;

隐含公式：单个利润=售价-进价、总利润=销售量×单个利润;

未知量：A、B两种型号计算器的销售价格？

将未知量设为：A种型号售价x元/个，B种型号售价y元/个;

等量关系：①销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元。②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元。

将等量关系写为“文字加算式的形式”：

5台A型号计算器的利润+1台B型号计算器的利润=总利润;①

6台A型号计算器的利润+3台B型号计算器的利润=总利润;②

将等量关系的算式形式改为方程：

5台A型号计算器的利润+1台B型号计算器的利润=总利润;

即：5×（x-30） +1×（y-40） = 76 ①

6台A型号计算器的利润+3台B型号计算器的利润=总利润;

即：6×（x-30）+3×（y-40） = 120 ②

从而得到二元一次方程组：

最后规范解题步骤，正确运算后作答即可完成此题。

类型三：分式方程应用问题

例3（2016广东省中考题）某工程队修建一条长1200m道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完全任务。

（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

分析：本题也是求一个未知量，而且也只有一个等量关系，但所求未知量是工作效率，知道工作总量，要表示工作时间，则要用到分式：工作总量/x;所以可判断和选择分式方程来解答问题。

已知量：工作总量1200m、工效提升50%、工作时间减少4天;

隐含公式：现工效=原工效×（1+50%）、;

未知量：原工作效率、现工作效率、原工作时间、现工作时间;

根据题目第一问：求原工效，则可直接设原工效为x （m/天）;

由现工效=原工效×（1+50%）可得：现工效=1.5x （m/天）;

等量关系：提升工效后总工作量提前4天完成;

将等量关系写为“文字加算式的形式”：原工作时间-现工作时间=4天将等量关系的算式形式改为方程：

最后规范解题步骤，运算后作答即可完成此题。需要提醒学生注意的是：在分式方程中，因为未知量在分母，运算过程将分式化为了整式人为扩大了未知量的取值范围，所以求出方程的解后要有检验步骤，以判断方程的根是否为增根。第二问在第一问求得原工效的基础上利用：原工作时间-现工作时间=2天来列方程，思路与第一问类似因此不作重复分析。此题亦可利用设工作时间为未知量，用工作效率为等量关系列方程，在此不作详细解释。

类型四：一元二次方程应用问题

例4：（2017年深圳市中考题）一个矩形周长为56厘米，①当矩形面积为180平方厘米时，长和宽分别多少？②能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由。

分析：此题需求两个未知量，有两个等量关系，但其中一个等量关系是“和”，另一个等量关系是“积”，因而，可判断和选择一元二次方程来解答问题。

已知量：矩形周长56厘米、矩形面积180平方厘米、矩形面积200平方厘米;

隐含公式：矩形周长的=2（长+宽）、矩形面积=长×宽;

未知量：矩形的长与宽？由第一问求矩形的长和宽，可设长为x厘米，根据周长公式，可得到表示矩形宽的代数式为（28-x）厘米;

等量关系：长×宽=矩形面积

将等量关系的算式形式改为方程：x·（28-x）=180

最后规范解题步骤，正确运算后作答即可完成此问，第二问与第一问所用的等量关系类似，区别在于列出方程以后需要利用根的判别式判断此方程是否有根。

三、结束语

根据上面对几类中考例题的分析，可以反思和总结得出“将等量关系符号化”的分析思路：首先是审题，通过仔细审题将题中的已知量、隐含公式、等量关系找到，并将等量关系用文字加算式的方式写出来;其次是设元，设元分为两种，直接设元与间接设元（在有些应用问题中，因为未知量较隐含，不宜直接设元，则用间接设元法），因此，设适当的未知数是将文字形式的等量关系转化为方程的关键;最后就是根据列方程解应用题的规范，按要求作答。

总之，用“等量关系符号化”解方程（组）应用题时，要将应用题的难点逐一分化击破，让学生掌握分析方法，使学生在思考实际问题时把思路理得更顺，理得更加清晰。诚然，笔者所述方法并不是解决方程应用题的唯一方法。在教学中，教师还要从各个角度去思考如何使学生在学習应用题时，有方法、有思路、有效果，愿意迎难而上。只有让学生在学习应用题时形成良好的审题习惯，掌握有效的分析方法，养成坚韧不拔的优良品格，才能让学生在解答方程应用题的这条道路上走得更快、更好、更远。

参考文献：

[1]李立群.浅议如何运用“程序法”解应用题[J].读与写，2012（4）：104.

[2]陈才.解数学应用题的句子分析法[J].读与写，2012（12）.

[3]陈雪芳.如何帮助学生解好方程应用题[J].语数外学习，2013（5）.

[4]杨秀丽.初中数学中有关列方程解应用题的初步方法[J].考试周刊，2009（7）.