基于GeoGebra的初中数学“费马点问题”探究性活动设计

张亚男 马艳艳

摘要：图形与几何是初中四大内容之一，其中几何最值问题种类繁多、形式多样、考法变化莫测。“费马点问题”作为几何最值的典型模型之一，结合图形的全等、旋转等综合运用，是初中学生理解与掌握的难点之一。本文基于GeoGebra（简称GGB）软件讨论了“费马点问题”的探究性活动设计思路，探索一条既体现问题教育意义与价值，又能培养学生在直观图形动态变化的基础上理解并运用“费马点”解决问题的能力。

关键词：GeoGebra;费马点问题;活动设计

1.活动过程设计

1.1创设情境，问题探究

（1）介绍数学名人费马，讲述有关费吗的数学成就与故事。

帮助学生积累数学文化知识，建立数学与实际生活的联系。

（2）提出2个问题，帮助学生在观察与探讨中思考并解决问题。

提出问题1;在边长为2的等边△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为？

问题2：（2008年广东中考题），已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。

两个问题均是较为典型几何求最值中的“费马点问题”，点P、E在运动的过程中与三个定点之间的距离随之变化，通过三角形的旋转与两点间线段最短找到P、E在何处时取到其到三个定点间距离的最小值，即“费马点”位于何处。

从问题引入概念与模型，使学生清楚需要研究的内容并积极思考，勇于探索。

1.2作图讨论，形成命题

讲解“费马点”的定义，并由浅至深，从易到难，将三角形分为3类，组织学生作图。

活动一：探究任意△ABC与一动点O，连接OA、OB、OC，则点O在何处时OB+OC+OA取得最小值？即找到“费马点”位置。分3个小组，每个小组成员作同一类三角形的“费马点”，3个小组分别作出三个角均小于120°的三角形、一个内角为120°的钝角三角形和一个内角大于120°的钝角三角形的“费马点”，观察3个图形“费马点”的位置，并形成“费马点问题”模型。

教师基于GGB展示动点的变化与图形的旋转。

（1）创建角度滑动条θ （0～180°），构建△ABC，使∠BAC=θ

（2）O为平面内任意一点，连接OA、OB、OC。

（3）将△AOC绕点C顺时针旋转60°得△A’OC，连接OO’、OA’’，，当B、O、O’、A’’在同一直线上时的O点即为“费马点”，此时∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。

（4）令小于120°，观察θ“费马点”位置与∠AOB=∠BOC=∠AOC的角度大小。

（5）将θ分别改为120°和大于120°，找到“费马点位置并观察∠AOB=∠BOC=∠AOC的角度大小。

改变∠BAC的大小，使其分别为等于120°和大于120°且小于180°，作出各个三角形的“费马点”。作图探究可以得到结论：

①當三角形的三个角均小于120°时，所求“费马点”为三角形的正等角中心;

②当三角形有一内角大于或等于120°时，所求“费马点”为三角形最大角的顶点。

学生通过自己作图后结合教师基于GGB动画讲解，研究三角形的“费马点”，将听觉与视觉结合，进一步理解费马点的作法与性质，培养学生观察能力、作图技能与归纳思维能力，形成模型思想。

1.3运用模型，体现价值

在学习并理解了“费马点问题”后，便可以迅速准确的找到所求动点的位置，利用模型解决实际问题。

针对问题1：教师演示其动图，并组织学生讨论P在何处时PA+PB+PC最小，引导学生寻找策略解决问题。用GGB展示旋转动图3-1、3-2.将△APC绕C点旋转60°得△A’P’C，连接PP’，，△PP’C为等边三角形，由△APC≌△A’P’C可知，PA+PB+PC=BP+PP+P’A’，学生通过观察P点在△ABC内运动的过程中图形的变化，可知当BPP’A’在一条直线上BP+PP+P’A’=BA’时最短，即PA+PB+PC最小，如图3所示，求得其最小值为2√3。

从简单的等边三角形的费马点引入，通过图形的旋转，利用等边三角形与全等三角形的性质，在GGB动态展示的基础上，激发学生学习的兴趣并帮助学生作出“费马点‘并解决”费马点问题’。

针对问题2：这个问题是典型的“费马点问题”，E点在正方形内运动，求EB+EA+EC的最小值即是求△ABC中“费马点”的问题，学生利用“旋转”作出“费马点”，根据两点间线段最短求得最值，在GGB中展示△AEC绕C点顺时针旋转60°，连接EE’，观察在E点运动的过程中，B、E、E’、A’位于一条线上时EB+EA+EC取到最小值，这是典型的“费么点问题”模型。

从实际出发，引用中考真题，学生自己作图解决问题与教师利用GGB展示动点运动与三角形旋转情况，既体现“费马点”的实用性，又再一次加深学生对“费马点‘的理解。

2.小结

探究性活动与信息技术的融合是值得研究的主题，随着技术的革新与教学变革对老师提出的新挑战、新要求，都需要不断学习先进技术，丰富教学手段，提高学生学习兴趣并在理论的支撑下使教学活动的设计更具科学性。初中几何是学生学习的难点之一，通过GGB动画展示旋转、折叠，不仅是二维，也可以是三维，帮助学生在听觉与视觉的双重刺激下深入理解知识，运用知识。

参考文献

[1]李景财1，胡细桃2.“费马点”问题[J].初中数学教与学，2020，（第16期）.

[2]常世炜.初中数学中的费马点问题[J].理科爱好者（教育教学），2019，（第3期）.