Brunn-Minkowski面积不等式的两种证法

汪小玉， 何 梅

(1.合肥师范学院 数学与统计学院， 安徽 合肥 230601；2.淮阴师范学院 数学与统计学院， 江苏 淮安 223300)

0 引言

几何不等式一直是几何学中的一个研究热点，而Brunn-Minkowski 面积不等式是几何不等式中的典型不等式，在凸体理论中一直备受关注，与著名的等周不等式有密切联系[1-4]，并且被推广到关于体积的不等式形式.本文借助高等数学中的傅里叶级数和函数的凹凸性，给出 Brunn-Minkowski面积不等式的初等证法.

1 预备知识

设γ为平面上C1类正定向闭凸曲线，O为γ所围区域内一点，在此选择O作为坐标原点.若p表示从O到γ上点(γ1,γ2)处的切线Γ的垂直距离，φ为x1轴的正半轴到p的垂直射线的夹角，则p为φ的单值函数，且p是一个以2π为周期的周期函数.切线Γ的方程可写成，

x1cosφ+x2sinφ=p(φ)

(1)

γ上所有点的切线构成一个单参数直线族，式(1)为其参数方程，φ为参数.曲线γ可以看作是此直线族的包络，因此曲线γ可以用参数φ表示为，

(2)

其中p′(φ)表示p(φ)关于φ的导数.(φ,p(φ))通常称为凸曲线γ的切线极坐标，p(φ)称为曲线γ的 Minkowski 支撑函数，在下文中简称支撑函数.

对式(2)两边关于φ求导，可得，

(3)

(4)

为了用支撑函数表示曲率κ，要求曲线γ至少是C2的. 式(3)关于φ求导后，带入κ的计算公式可得，

(5)

曲率半径

(6)

若L,A分别表示曲线γ的长度和γ所围区域D的面积，则由p(φ)的周期性可得，

(7)

(8)

式(7)称为 Blaschke 公式,式(8)称为Cauchy公式.

设D0,D1为凸区域，其面积分别记为A0,A1，边界曲线周长分别记为L0,L1.定义凸区域D0,D1的Minkowsks和[1]为，

由式(4)可知，

由此可知D2也是凸区域，其支持函数p2=p0+p1.

引理1 设p0,p1分别为凸区域D0,D1的支撑函数，则D2=D0+D1的面积、周长分别为，

L2=L0+L1,A2=A0+2A01+A1.

2 混合面积公式

由于D0+D1=D1+D0，所以混合面积A01=A10.下面利用微分和积分的运算关系，可得混合面积的一些不对称计算公式，为下文中傅里叶级数表示法的计算提供依据.

由全微分公式，

可得，

因此有，

由式(5)和式(6)可得，

类似可得，

(9)

3 几何量的傅里叶级数表示

凸区域D0,D1的支撑函数分别记为p0,p1，曲率半径分别记为ρ0,ρ1，其傅里叶级数表示法为[2-5]，

带入式(7)、式(8)计算得，

(10)

Lj=2πaj0，

(11)

为了把上述各几何量表示成内积形式引入内积序列空间，其内积定义为，

利用上述内积定义，将式(10)、式(11)改写为，

(12)

(13)

4 主要结果

引理2设α0,α1,β0,β1为实数，则有，

(14)

或写成，

定理1(Brunn-Minkowski面积不等式)设凸区域D0,D1的面积分别为A0,A1,A01为混合面积，则

(15)

证明把式(12)、式(13)带入Cauchy-Schwarz不等式

〈(a,b),(c,d)〉2≤〈(a,b),(a,b)〉〈(c,d),(c,d)〉,

计算可得，

(16)

则有，

(17)

联立式(16)、式(17)可得，

由面积和周长的相关不等式可知，上式中左右两边底数均为正数，从而两边开方得，

对于Minkowski和定义的推广形式[1,4]为：D(t)=(1-t)D0+tD1,0≤t≤1.D(t)的支持函数p(t)=(1-t)p0+tp1.类似引理1可得如下引理.

引理3对于凸区域D(t)，其面积A(t)和边界曲线的周长L(t)有，

L(t)=(1-t)L0+tL1,A(t)=(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1

(18)

(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1.

引理4[3]混合面积满足下面不等式

(19)

证明由式(18)和式(19)可得，

A01=(1-t)2A0+2(1-t)tA01+t2A1≥

从而有，

上式移项得，

(20)

另一方面，

(21)