山东省高考22题——一个圆锥曲线性质的推广

苏凡文

(山东省泰安宁阳一中 271400)

(1)求C的方程；

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

(2)①直线MN不垂直于x轴时，设

MN：y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)．

消去y可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0.

m=1-2k时，MN：y=k(x-2)+1，直线MN过定点A(2,1)，舍．

联立直线AB与椭圆方程得

(b2+k2a2)x2+2kma2x+(m2a2-a2b2)=0，

由韦达定理有

又A、B都在直线AB上，则有

y1=kx1+m,y2=kx2+m，

两式相加得

两式相乘得

将②③④⑤代入①得

因P不在直线AB上，则kx0+m-y0≠0，所以有a2(kx0+m+y0)=b2(y0-m+kx0),

推广六点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，过点P作PA⊥PB，PA、PB与抛物线分别交于异于点P的点A、B，则直线AB过定点(x0+2p,-y0)．