巧用分类讨论法学好一元一次方程应用题

文 马 彬

在初中数学中，如何解决一元一次方程应用题是一个综合性的难题，学生常常会感到陌生，并且不知道从哪里入手，常常表现为胡乱解题、不理解题意以及考虑问题不全面等，而分类讨论可依据分类标准，将问题分成几种情形或类型，逐一解决。下面列举几个常见的题型供同学们借鉴。

类型一 图表信息题

例1某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克单价6元5元4元

小强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元。请问小强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

解：设小强第一次购买香蕉x千克，则第二次为（50-x）千克，

①当0＜x≤10时，则40≤50-x＜50，根据题意，得6x+4（50-x）=264。解得x=32（舍去）；

②当10＜x≤20时，则30≤50-x＜40，根据题意，得6x+5（50-x）=264。解得x=14，50-x=36；

③当20＜x＜25时，则25＜50-x＜30，根据题意，得5x+5（50-x）=264。方程无解。

答：小强第一次购买香蕉14千克，第二次购买36千克。

【点评】此题是图表类应用题，关键是正确理解题意，找到分类依据，寻求其等量关系。

类型二 打折问题

例2某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明同学一次性购书付款162元，求小明所购书的原价是多少？

解：设这些书的原价是x元，因为200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，可能有两种情况：

①享受9折时，0.9x=162。解得x=180；

②享受8折时，0.8x=162。解得x=202.5。

答：小明所购书的原价为180元或202.5元。

【点评】此题是实际生活中的折扣问题，关键是运用分类讨论的思想分析清楚付款打折的两种情况。

类型三 行程问题

例3某学校七年级学生步行旅游，一班学生组成前队，步行速度为4千米/时，二班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。

（1）后队追上前队需要多长时间？

（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？

（3）两队何时相距2千米？

解：（1）设后队追上前队需要x小时，根据题意，得6x=4（x+1）。解得x=2。

答：后队追上前队需要2小时。

（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路，所以12×2=24（千米）。

答：后队追上前队时间内，联络员走的路程是24千米。

（3）设二班需y小时与一班相距2千米。

要分两种情况讨论：

①追上之前，两班相距2千米，得6y+2=4（y+1），解得y=1；

②追上之后，两班再次相距2千米，得6y=4（y+1）+2，解得y=3。

答：当1小时后或3小时后，两队相距2千米。

【点评】本题是行程类应用题，解题的关键是弄清追及问题中每个运动因素所走的时间、路程、相对速度，难度较大。

我们发现，分类讨论是将一个复杂的问题按照一定的标准分成几个部分进行讨论，最后得出完整答案的解题思想。