绝对值与一元一次方程

文 祁妍硕

绝对值是七年级数学非常重要的概念之一能与数学中许多知识组合出新的问题。今天我们重点研究绝对值符号中含有未知数的方程，即绝对值方程。解决这一问题需要从绝对值的性质、几何意义出发，方可成功“拿下”。

在解绝对值方程之前，需要回顾以下知识点。（1）绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（2）绝对值的几何意义：表示数轴上数a与b所对应的点之间的距离。

一、提出问题

例1解方程：|x-3|=2。

【错解】解：x-3=2，故x=5。

【解析】方法1：从绝对值的性质出发，将这个方程看成是绝对值等于2的数有哪些？当然是±2，即x-3=±2，所以x=5或1。

方法2：从绝对值的几何意义出发，如图1，方程左边|x-3|表示一个数x到3的距离。借助数轴，整个方程表示数轴上一个数x到3的距离等于2个单位，这个数分布在3的左侧和右侧，故这个数x为5或1，即x=5或1。

二、变式问题

例2求满足方程|x+3|+| 2-x|=5的所有整数解。

【解析】解决绝对值方程的关键是去绝对值符号，我们可以根据绝对值的性质对x+3和2-x与0的关系进行分类讨论。也可绝对值的几何意义出发，如图2，借助数轴，解决这类方程会更为快捷。先需要将方程改成|x-（-3）|+|x-2|=5，即：此方程看作一个数x到-3的距离与它到2的距离的和等于5，这样的x在数轴上的什么位置？

如图2，这个数x只要在-3和2之间都满足条件。其中满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2。

例3解方程：|x+3|-2|x-2|=0。

【解析】从几何意义出发，原方程表示x到-3的距离等于它到2的距离的2倍，借助数轴，记-3表示点A，2表示点B，点P记为x，即PA=2PB，又知道AB=5，如图3和图4可知，分两类讨论得到x=7或。