浅谈数学思维能力培养

孙德义

（湖北省荆州市监利市荒湖中学 湖北·荆州 434000）

0 引言

思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。数学思维是对数学对象(空间形式、数量关系、结构关系等)的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。

数学是科学的基础，在航空航天、人工智能、金融系统等自然科学和工程技术中，数学起到了至关重要的作用。数学思维能力，是学习各学科的重要基础，是数学素养的体现。数学思维并不是人的本能，是需要后天学习培养获得，掌握科学的数学思维方法比拥有多少知识显得更为重要。

对于中小学生而言，最核心的教育是培养孩子的品格，包括好奇心，学习热情，批判性思维，独立思考等等。良好的数学思维能力可以帮助学生快速获取新知识，从而提升教学效果。同时，良好的数学思维能力可以帮助学生用理性认识去解决生活以至今后工作中的问题，提升学生的综合素养。提升学生数学思维能力是人自身发展和时代发展的需求。

1 数学思维能力培养内涵

本节以生活中的数学思维案例来阐述抽象的数学思维方法，分别包括概率思维、抽象思维、递归思维、空间思维、对称思维、计算思维，这些思维方式是数学的真谛，是数学思维能力培养的内涵。

1.1 概率思维

概率思维是指应用概率知识去解决生活问题的一种思维能力。在生活中总是存在随机事件（即不确定性），只要有不确定性则会有概率。概率告诉我们什么情况最有可能发生，什么情况最没可能发生。概率还能帮助我们做预测，概率学能指导我们得到正确的分析方向，并做出有利的决策。

生活中的偶然和巧合无处不在，体现的是概率问题，生活中概率问题随时都会遇到：一个硬币投3次，3次投到都是正面的可能性有多大；在一个50人的教室里，孩子是同年同月同日生的可能性有多大；一个家庭有3口人2个卫生间，同时需要使用卫生间的可能性有多大；两双鞋子混在了一起，一个人闭着眼睛穿到同一双鞋的可能性有多大。

接下来以穿鞋为例，解释生活中的概率思维。两双鞋子混在了一起，一个人闭着眼睛穿到同一双鞋的可能性有多大？假设一双鞋是（J1，J2），其中1代表左脚，2代表右脚，另一双鞋是(K1，K2)。从4只鞋中，随机选2只，有6种可能结果，分别是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），（J1，J2），（K1，K2）。其中能穿到同一双鞋的可能结果有两种，分别是（J1，J2），（K1，K2），所以穿到同一双鞋的可能性是1/3。不能穿到同一双鞋的可能结果有 4 种，分别是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），所以穿到不是同一双鞋的可能性是2/3。

1.2 抽象思维

形象思维也叫具象思维，是用直观形象和表象解决问题的思维方式，其特点是具体化和形象化。另一个与形象思维相对应而存在的哲学概念—抽象思维，抽象思维属于理想认识，是凭借科学的抽象概念对事物的本质和客观规律进行反映，从而使人们获得远远超过靠感觉器官直接感知的知识。探索与总结的过程是完成形象思维到抽象思维这一跨越的关键。

科学的抽象是在概念中反映自然界或社会物质过程的内在本质思想，是对事务的本质属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，是人们的认识从感性的具体进入抽象的规定，形成概念。例如对数字的认识，人们都是从具体的“一个苹果”“两只耳朵”“三支铅笔”“四个硬币”等这些具体的概念，抽取出其本质的数量属性之后，形成“1”“2”“3”“4”等抽象概念。用字母符号如x，y，z来表示任何一个数，并将算术的运算法用到这些字母所表示的数上，是抽象化过程的一大进步。

疗效判定标准:根据患者的睡眠情况评价,分为:患者临床症状以及体征均完全消失,睡眠时间>6h为痊愈;症状和体征明显改善,睡眠时间增加3h为显效;症状和体征有所好转,睡眠时间增加<3h为好转;未达到以上任何一标准为无效。总有效率为痊愈率、显效率与好转率之和。

方程思维是一种典型的抽象思维。方程思维的主要环节是列方程和解方程。列方程是分析问题的数量关系。在用符号表示数的基础上，进一步用已有的符号（设定的未知数）表示未知的量，然后通过不同的角度计算同一个数量进而建立等价关系，而解方程的关键是等量替换。接下来用鸡兔同笼问题来解析生活中的抽象思维。

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。如果按照传统的假设分析法，假设35头全是鸡，则共有70足。而题意有94足，共多出24足。把一只鸡换成一只兔多2足，因此需要换成24/2=12只兔，则剩下有23只鸡。如果用方程思维来解，可以设有x只兔，则鸡有(35-x)只，这一步就是用已有的符号来表示未知的量。然后通过足的数量来建立等价关系，即4*x+2*(35-x)=94，求解方程得到x=12，则得到12只兔，23只鸡的结论。也可以设有x只兔，y只鸡，然后通过头和足的数量来分别建立等价关系，即 x+y=35;4*x+2*y=94。求解方程得到x=12，y=23，则得到12只兔，23只鸡的结论。

1.3 递归思维

递归思维的本质是将原问题的求解转化为许多性质相同但是规模更小的子问题的求解，重点关注如何将原问题分解成符合条件的子问题。递归核心的思想是：每一次递归，整体问题都要比原来减小，并且递归到一定的层次时，要能直接给出结果，也就是要有递归出口（终止递归条件），避免死循环。

生活中的递归问题很多，一个典型的例子就是“兔子序列”，假如兔子出生2个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔，所有兔子都不会死，问12个月后一共有多少对兔子；另一个典型例子就是汉诺塔游戏，有3根柱子，第一根柱子上有10个不同直径的圆盘，大直径圆盘在下面，小直径的圆盘在上面。移动这些圆盘，移动过程中要保证大直径圆盘在下面，小直径的圆盘在上面，请问移动多少次，可以将第一根柱子上的所有圆盘移动到另一根柱子上；另外还有“爬楼梯问题”，假设有5层楼梯，一步可以跨1层或2层楼梯，请问一共有多少种不同的爬法？

接下来以爬楼梯例子，解释生活中的递归问题。假设有5层楼梯，一步可以跨1层或2层楼梯，请问一共有多少种不同的爬法？设需要爬5层楼梯记为有f(5)种不同的爬法，4层楼梯有f(4)种不同的爬法，3层楼梯有f(3)种不同的爬法，2层楼梯有f(2)种不同的爬法，1层楼梯有f(1)种不同的爬法。假如需要爬5层楼梯，第一步如何走呢，有两种走法：一种是一步跨1层楼梯，那剩下需要爬4层楼梯。另一种方法是一步跨2层楼梯，那剩下需要爬3层楼梯，因此可以得到f(5)=f(4)+f(3)。同理，假如需要爬4层楼梯，第一步如何走呢，有两种走法：一种是一步跨1层楼梯，那剩下需要爬3层楼梯。另一种方法是一步跨2层楼梯，那剩下需要爬2层楼梯，因此得到f(4)=f(3)+f(2)。依次类推，f(3)=f(2)+f(1)，基于分析推理很容易得到f(1)=1,f(2)=2。进而很容易推广到f(n)=f(n-1)+f(n-2)，这就是斐波那契数列的递推关系。

1.4 空间思维

空间思维是指识别物体的形状、位置、空间关系，理解并记住物体的相对位置，然后通过想象与视觉化，来形成新的视觉关系的能力。有研究表明，空间思维能力高的学生在工程、计算机科学和数学、地理与环境科学领域都能表现更突出。

正方体是日常生活中最常见的一种空间几何形状，涉及正方体的数学问题很多，体现的是空间思维问题。例如一个正方体的6个面分别涂上6种不同的颜色，请给出每个面的相对面的颜色。例如正方体的展开图有几种结构。培养空间思维能力需要多动手实践，从拼图到拼插类积木，七巧板，魔方等都是很好锻炼空间思维能力的工具。在实践中锻炼观察力、空间想象力和空间推理能力是值得推荐的方法。

1.5 对称思维

对称现象在大自然中随处可见，对称是美，也是一种思维。提到对称，脑海里第一反应就是左右都一样。蝴蝶、人都是生活中典型的轴对称图形。二维平面中，通常对称有轴对称、中心对称、旋转对称。轴对称，顾名思义，就是图形沿着某条线呈对称，则将这个图形称为轴对称图形。中心对称是把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与原图形完全重合，则将这个图形称为中心对称图形。旋转对称是将某个图形围绕着某个点旋转一定角度后，与原初始图形完全重合，则将这个图形称为旋转对称图形。可以看出，中心对称是旋转对称的一个特例。生活中有些汉字都是轴对称的，例如中，日，口，昊，曾等。其中有些汉字不仅是轴对称也是中心对称的，如日，口。

1.6 计算思维

计算思维是运用计算机科学的思维方式进行问题求解、系统设计以及人类行为理解等一系列的思维活动。计算思维是当今编程方法的基石，它是一种教授学生像计算机一样思考来解决问题的方法，这种循序渐进的认知策略对于学生进行有效学习非常有益。通过计算思维学习，学生可以掌握如何分析新信息和处理新问题。这种思维方式，会带来解决问题能力的提升。计算思维的实践可以帮助学生养成持续学习、尝试多角度解决复杂问题、甚至提出新问题的能力。

计算思维的方法可主要分为四个基本步骤：分解、模式识别、抽象及算法；三个延伸方面：建模、评估及泛化。计算思维所关注的是一个计算模型或算法，重点在于问题求解的过程和步骤。

举一个日常的生活问题来帮助理解计算思维，你需要为5人家庭做一餐晚饭，要求有汤有素菜有荤菜，你该怎么做？

（1）分析问题：分析确定要做什么菜，要有肉、素、汤，列举要做什么菜，比如做青椒炒肉丝，炖鸡汤，炒白菜等几个菜，并列出这些菜需要购买什么食材。

（2）模式识别：明确几道菜的做法和规律，青椒肉丝需要准备青椒、肉丝，青椒和肉切细丝状，炒白菜是快手菜，炖鸡汤需要小火慢炖时间长，这些菜大多数都需要油、盐、葱等佐料。

（3）将问题抽象化：为了避免菜凉，需要几道菜都要差不多时间出锅，所以需要将菜品制作按时间排序，抽象为排序问题。

（4）算法开发和执行：列明制作菜品的一些细节，转化为清晰明确的流程并执行，切鸡肉、姜—炖鸡汤—切蒜、葱—切肉、青椒、洗菜心等等。

这样准备家庭晚餐的日常问题，就应用计算思维解决了。

2 数学思维能力培养建议

在教育教学中，教师要注重对学生数学思维能力的培养，从如下四个方面给出培养建议和方法。

2.1 培养观察力

培养学生的观察力对思维能力的培养至关重要。通过观察现象探索事务的本质，是现实世界中解决问题的必然过程。在学习生活中养成良好的观察习惯不亚于拥有大量的学术知识。

培养学生的观察力，可以通过将任务具体化的方法，引导学生有目的有兴趣的观察，从现象到隐蔽的细节中探索事务的本质，引导学生进行系统的观察，从多种尝试中观察结果，进行归纳总结，进而得到一些直观的结论。

2.2 激发学习兴趣

数学来源于生活，可以用生活中的数学问题为依据，激发学生的好奇心和兴趣，帮助学生理解抽象的数学思维方法。以生活中的数学问题为出发点，引导学生用数学思想去解决生活中的问题，可以帮助学生更彻底的理解数学知识，提升学生的数学思维能力。

2.3 革新教学方法

借助一些教学方法来帮助学生深刻理解数学知识，提升数学思维能力。例如在教学中渗透数学史，从问题的发生发展及原理的角度，引导学生进一步深刻理解数学知识。数形结合是帮助学生从形象思维过渡到抽象思维的好方法，应用一些图形让学生更好的学习数学知识，将深奥的数学知识直观化、具象化，达到培养数学思维的目的。还可以借助于多媒体技术，丰富多彩的动画、图片、音乐等手段不仅调动学生的积极性和兴趣，而且通过多媒体技术使得数学知识更加直观、简单、形象，帮助学生更好的理解数学知识中的各种数学思维方法，从而有效提升数学思维能力。

2.4 引导动手实践

对于数学这样具有高度抽象性的科目来说，在认识过程中很难直接从教师的讲授中获取其中蕴含的数学思想和数学思维方法，需要在学生中加强实际操作，只有通过亲自操作，获得直接的经验，才便于在此基础上进行正确的抽象和概括，提升数学思维能力。

3 结语

培养学生的数学思维能力是新时代需求，是人自身发展和社会发展的需要。在中小学教育中，切勿填鸭式授学，要注重学生数学思维能力的培养，鼓励学生主动将生活中的问题与书本知识相结合，数学问题来源于生活，数学思想又能反哺于社会实践和科学实践。本文结合生活中的数学思维案例阐述了抽象的数学思维方法，包括概率思维、抽象思维、递归思维等等。同时，本文也给出了教育教学中培养学生数学思维能力的建议和方法。