五轴联动混联机床插补算法的研究

葛帅帅，李开明

(南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094)

一般六自由度并联机构有实现姿态能力差、运动学正解求解困难以及难以通过闭环控制获得较高的精度和较好的动态性能等缺点，而少自由度并联机床具有驱动元件少、结构紧凑、成本低等突出优点。三自由度并联机床已能满足大多数应用需求。虽然并联机构具备串联机构不能比拟的优势，但也有一些串联机构所没有的缺点，若将两者结合起来恰好可以在优缺点上形成互补[1]。五轴联动数控加工技术是实现复杂自由曲面产品加工制造的关键技术[2]。在原有的三平动非对称并联机床的基础上增加一个C-A型双摆头构成五轴联动混联机床，但并联机床存在运动耦合，必须通过逆解运算将动平台在操作空间中的运动转换为关节空间中的伺服运动才能使动平台走出期望的轨迹[3]。由于采用一般的插补方法C-A型双摆头可能会产生非线性误差，因此本文提出了一种操作空间粗插补与关节空间精插补相结合的插补算法来解决上述问题。

1 机构描述

3-2SPS并联机构主要由动平台、机架和3组伸缩杆组成，如图1所示，上下两组伸缩杆两端分别与动平台和机架连接,中间一组伸缩杆两端分别与动平台和线性模组连接，线性模组是一种可水平滑动的冗余滑块，用以规避奇异位形和增大工作空间。每组伸缩杆均由一个伺服电机驱动,以保证同一组伸缩杆始终平行且杆长相等，从而使动平台只能在机床的X,Y,Z轴方向上平动。在上述并联机床动平台上装上C-A型双摆头构成五轴联动混联机床。

图1 混联机床三维模型

2 运动学求解

2.1 坐标系的建立

图2 定平台铰链点和定坐标系示意图

图3 动平台铰链点和动坐标系示意图

2.2 并联机床的位置及速度正反解

(1)

(2)

式中:Bi为动平台上铰链安装点在机床动坐标系中的位置坐标；Ai为定平台上铰链安装点在机床定坐标系中的位置坐标。

由式(2)可得本文并联机床位置反解方程：

(3)

由式(3)可得本文并联机床位置正解方程：

(4)

由于L1=L2,L3=L4,L5=L6，则有：

(5)

(6)

2.3 双摆头的位置正反解

如图4所示，双摆头定轴坐标系为Om-XmYmZm，其中Om是摆动A轴和旋转轴C轴的交点，各坐标轴方向与机床定坐标系相同；Ot-XtYtZt为刀具坐标系，其中Ot与刀尖点重合，各坐标轴方向与机床定坐标系相同，Om到Ot的距离为L；工件坐标系为Ow-XwYwZw。在刀具坐标系中，刀位点为(0,0,0)，刀轴矢量为Ps0(0,0,L)；在工件坐标系中，记机床平移轴相对于初始状态的位置为Ps(sx,sy,sz)。刀位点矢量和刀轴矢量在工件坐标系中分别为u(ux,uy,uz)和p(px,py,pz)，可由Ot-XtYtZt相对于Om-XmYmZm的旋转坐标变换和Om-XmYmZm相对于Ow-XwYwZw的平移坐标变换得到[6]：[uxuyuz0]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 1 0]T，[pxpypz1]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 0 1]T，其中M(PM0+PM)和M(-PM0)为平移变换矩阵，MRZ(θC)和MRX(θA)为旋转变换矩阵。

图4 工双摆头机床坐标系统图

综上可得[7]：

(7)

3 笛卡尔空间粗插补

记某段程序首位置刀位点坐标和刀轴矢量为rs[ps(psx,psy,psz),us(usx,usy,usz)]，末位置为re[pe(pex,pey,pez),ue(uex,uey,uez)]，与其对应的机床定坐标系中的坐标和A、C角为Ms(Xs,Ys,Zs,As,Cs)、Me(Xe,Ye,Ze,Ae,Ce)。程序段首位置和末位置距离为Les=|pe-ps|，设当前是第n个插补周期，当前刀位点为rn[pn(pnx,pny,pnz),un(unx,uny,unz)]，与首位置的距离为Lns=|pn-ps|，设第(n+1)个插补周期内的进给速度为Fn+1，则刀位点沿进给方向移动ΔLn+1=Fn+1·T，此时(n+1)插补周期后的刀位点为rn+1[pn+1(p(n+1)x,p(n+1)y,p(n+1)z),un+1(u(n+1)x,u(n+1)y,u(n+1)z)]，与首位置之间的距离为[8]：

(8)

则：

rn+1=rs+(re-rs)·Ln+1/Les

(9)

即：

(10)

联立式(7)和(10)可求得各个插补点θA,θC,sx,sy,sz的值。

4 关节空间精插补

已知伸缩杆起点和终点(即伸缩杆的长度)、伸缩杆伸出速度和两点间的时间(插补周期)T,则符合这3个限制条件的三次运动轨迹是唯一确定的，在一个插补段内任意时刻的加速度a(t)、速度v(t)和伸缩杆长度l(t)可表示为[10]：

j(t)=j00≤t≤T

(11)

a(t)=j0t+a00≤t≤T

(12)

(13)

(14)

给定伸缩杆各插补周期内的起始杆长l0和终止杆长l1以及起始速度v0和终末速度v1，可得：

(15)

(16)

将j0和a0代入式(14)，可得l(t)的矩阵表达式为：

(17)

由式(17)可以看出，通过这种插补方法得到插补轨迹段的离散点，且在插补周期内伸缩杆伸出速度和加速度也连续。

5 仿真实例

5.1 仿真计算结果

为进一步验证上述插补方法的有效性，在MATLAB软件中仿真了一段直线加工轨迹。设轨迹段的起点刀尖点坐标及刀轴矢量为(-191.395 8,2.638 4,7.225 2),(0.028 586,0.104 879,0.994 070)，终点刀尖点坐标及刀轴矢量为(-191.397 8,4.816 3,7.208 0),(0.028 817,0.071 236,0.995 840)；仿真插补周期为3 ms，进给速度为4 000 mm/min，L=20 mm。插补算法计算结果如图5～图10所示。

5.2 仿真结果分析

图5～图7中的粗插补点序为经操作空间粗插补后再通过位置反解得到的关节空间中的杆长分布点序，图中的精插补曲线是在关节空间中采用PVT插补得到的各伸缩杆的杆长变化曲线，从图中可看出，精插补曲线通过所有的粗插补点序，说明采用此种插补方法获得的轨迹精度较高、位置误差较小。图8、图9分别为伸缩杆5在一个插补周期内的杆长变化曲线和速度变化曲线，从图中可看出,杆长变化曲线光滑，在插补周期内伸缩杆速度和加速度曲线光滑连续。图10为在操作空间内刀尖点所走的轨迹与原直线加工轨迹之间的误差变化图，从图中可看出，最大加工误差为0.765 μm，满足加工精度要求。

图5 伸缩杆1的杆长插补曲线

图6 伸缩杆3的杆长插补曲线

图7 伸缩杆5的杆长插补曲线

图8 伸缩杆5一个插补周期内杆长插补曲线

图9 伸缩杆5一个插补周期内速度插补曲线

图10 操作空间内误差变化曲线

6 结束语

原有的并联机床(3-2SPS)是三平动非对称机床，在其上添加一个C-A型双摆头构成混联机床，可实现五轴联动。并联机床必须通过逆解运算将动平台在操作空间中的运动转换为关节空间中的伺服运动才能使动平台走出期望轨迹，而在操作空间中的普通插补，由于C-A型双摆头旋转轴运动的影响，刀具实际的运动轨迹不是期望的直线，原来的插补算法不适用。本文将提出的操作空间粗插补与关节空间精插补相结合的插补算法用于该五轴联动机床刀具轨迹的修正，能较好地控制刀具的运动轨迹， MATLAB仿真结果也验证了该算法能有效减小混联机床的加工误差。