落实数学活动，积累数学基本活动经验

黄静 陈福勤

一、背景介绍

在以“让每个孩子享受成功——核心素养背景下的课堂教学”为主题，四校联合开展同题异构教学展示活动中，笔者观摩了两位老师的《6.2一次函数（1）》的课堂教学，在课堂中，两位老师都设置了对一次函数表达式重新赋予实际意义的活动，但学生在这一环节表现平平，老师最后也都只能匆匆收场，进入下一环节。课后，笔者对学生在这一环节的表现进行了深入的思考，对一次函数定义的引入也有一点浅显想法，现与大家做一些交流。

二、案例呈现与分析

1.案例（一）片段

师：现实生活中，很多问题都可以归结为函数问题，最近学校刚组织了社会实践活动，大家思考其中体现的函数模型。

情景1：给汽车加油的加油枪流量为25 L/min。如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y（L）表示油箱中的油量，x（min）表示加油时间。

（1）y与x之间有怎样的函数表达式？

（2）如果加油前油箱里有6L油，那么y与x之间有怎样的函数表达式？

情景2：汽车以80 km/h的速度从学校开始行驶，x h后，离学校距离为y km。那么y与x之间又有怎样的函数表达式呢？

情景3：若景区距离学校450 km，返校途中，汽车以80 km/h 的速度行驶，行驶x h后与学校距离为y km，那么y和x之间有怎样的函数表达式？

……

师：这些问题的函数表达式分别为：y=25x，y=25x+6，y=80x，y=-80x+450。分析这些函数表达式的特点，能否用一般的式子表示？

……

师：你能否对一次函数表达式“y=25x+6”重新赋予实际意义？

……

【分析】授课教师有效地组织广大学生积极参与设计教学活动，培养了学生的独立分析、归纳的数学思维能力和学习兴趣。教师主要着眼于一次函数表达式形式上的特点。

2.案例（二）片段

分别写出下列函数表达式，并指出其中的自变量：

（1）第二中学到第一中学的路程为5 km，汽车从第二中学到第一中学行驶的时间t （h）与速度v（km/h）之间的关系;

（2）加油站占地是一个正方形场地，加油站占地面积S（m2）与它的边长a（m）之间的关系;

（3）如果每升汽油6.4元，油卡中有金额200元，油卡的余额y（元）与加油数量x（升）之间的关系;

（4）给汽车加油的加油枪的流量为25 L/ min，加油过程中加油量y（L）与加油的时间x （min）之间的关系;

（5）给汽车加油的加油枪的流量为25 L/ min，如果加油前，汽车油箱里还剩有6 L汽油，那么加油过程中油箱中的油量y（L）与加油的时间x （min）之间的关系。

……

师：这些问题的函数表达式分别为：t=5/v，S=a^₂，y=-6.4x+200，

y=25x，y=25x+6，将以上函数表达式进行分类，并说出你的分类依据。

……

师：你能否对一次函数表达式“y=25x+6”重新赋予实际意义？

……

【分析】解决问题的情境类型具有多样性，关于自变量的代数式类型主要有整式和分式，整式有一次式和二次式，让老师和学生充分体会一次函数表达式的多样性。通过老师和学生的问题分类、辨别等活动，加深对一次函数表达式的形式和特点的认识和理解。

3.教学案例再设计

两位老师在教学设计中，从一次函数定义的结构特点出发，多角度、多层次地设计教学环节，学生对一次函数表达式的结构特点上达成度很高，但对一次函数定义中的“k”在实际问题中的意义关注不够，导致学生对一次函数表达式“y=25x+6”的本质意义理解不透。虽说老师在设计中突出的教学理念是“具体——抽象——具体”，但是学生没有基本的数学实践活动的经验，回到具体的问题上就可能会显得比较茫然。鉴于此，将教学设计修正如下：

师：现实生活中，很多问题都可以归结为函数问题，请大家观察下列三个问题情境，思考其中体现的函数模型。

情景1：已知弹簧秤中弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间具有如下表所示的关系：

m/kg 0 1 2 3 4 5

y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5

請写出y与m之间的函数表达式。

情景2：如图1，张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图中的线段表示，根据图像写出y与t的函数表达式。

情景3：如图2， A、B两地相距 200 km，一列火车从B 地出发沿 BC 方向以 120 km/h 的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A 地的路程y（km）与行驶时间x （h）之间的函数关系式是？

……

师：这些问题的函数表达式分别为：y=0.5x+12，y=-10x+60，y=120x+200。

……

师：你能否对一次函数表达式“y=-10x+60”重新赋予实际意义？

……

【分析】问题设置三个情境，从多种形式呈现函数关系，教师从函数的定义出发，强调对给定一个变量的值，另一个变量有唯一的值与之相对应，引导学生分析得出函数表达式。在提炼一次函数定义时从两个层面进行分析，一是函数表达式右边关于自变量的代数式的形式特征;二是关注自变量变化相同时，对应函数值的变化规律，即定义中的“k”在实际问题中的意义。当学生有了这一活动经验的积累，有效地突破了对一次函数表达式重新赋予实际意义这一难点，凸显了对一次函数本质属性的理解。

三、深入反思

1.数学定义的教学，需要多关注数学定义的本质属性

我们在数学定义的教学中需强调数学定义本质，要特别关注定义与数学知识的内在联系;关注数学规律的基本形成及其过程;数学思想和方法的运用及其提炼;数学理性精神的培养及其体验等方面。一次函数定义的教学是一个由具体到抽象的数学教学过程，体现了学生的数学素养，提高了初中学生的思维和认知能力水平，是学生从感性认识的基础上逐步上升到理性认识的一个过程。在教学中，我们要努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，突出和把握数学的理论主干和基本知识，淡化数学旁枝末节。

2.数学活动的设计，需要多关注学生基本活动经验

大部分的学生由于数学认知结构不完善，缺乏系统性，数学知识零散，不能深入地辨析一个数学问题及其本质，找不出其所属数学知识点的含义和类型，从而不能快速准确地找到解决数学问题的基本方法和切入点。数学教师在组织设计这样的数学活动时，要充分结合学生现有的数学知识活动结构和需求，在已有的数学知识活动和经验的积累的基础上，进一步开展有效的活动，使新的知识和学习活动内容充分结合学生原有的数学认知活动结构并相互作用，从而引导学生形成新的数学认知活动结构。

3.数学课堂教学，需要多一些深层次的学习

数学课堂是数学教师主动实施教学目的的一个主阵地，也是教师引导学生在课堂中获取丰富的数学知识，学会自主学习、学会独立思考、学会自主创造，体验数学乐趣和价值的一种有效途径。但现在的数学课堂还是在进行一种表层学习，通常只是为了考试而孤立地、粗浅地记忆知识和材料，而没有对知识和材料进行分析、提炼、整合和反思，从而整个学习的过程就没有了深度，无法将自己所学的知识融会贯通、举一反三、推陈出新。课堂教学是实施新课程的主渠道，这也就要求我们的课堂教学应该强调引领学生在实践中去自主进行探索和合作交流，自主进行知识构建，强调引导学生在对基础知识与技能的综合学习与自主探索中，对所学知识进行深层次的综合加工，产生高层次的创造性思维、深层次的自我体验，实现内在精神品质的提升。