区间值犹豫模糊环境下的多属性群决策理论应用研究

朱国成, 庄锡钊, 庄 乐

(1.广东创新科技职业学院 通识教育学院, 广东 东莞 523960; 2.广东石油化工学院 理学院, 广东 茂名 525000)

犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets,HFS)概念于2010年由Torra[1]提出,核心思想是用若干实数表示可能隶属度构成犹豫模糊集中的单位元(Hesitant Fuzzy Elements,HFE),即犹豫模糊元.因为其很好地解决了模糊集中的犹豫隶属关系,所以此概念一经提出就引起了国内外学者的高度关注,并在理论与应用上对其进行了完善与拓展.例如,陈树伟等[2]对区间值犹豫模糊集概念进行了新的描述,为了应用新概念,文中重新定义了区间数运算法则;王超[3]对并、交、补、环和及环积等基本运算和相关性质做了详细说明,前提是在广义区间值犹豫模糊软集概念基础上;付伟等[4]扩展了ELECTRE方法,并将区间犹豫模糊集用在WSN路由安全评估案例中;马庆功[5]提出了犹豫模糊对称平均信息集成算法,并将该算法用在多属性决策当中;战秋艳等[6]为了解决区间值犹豫模糊集之间的距离和相似度原有定义中的缺陷问题,将犹豫度概念引入到区间值犹豫模糊集中;任晓霞[7]给出一些区间犹豫模糊包含度的构造方法,证明了这些构造方法的合理性,并讨论了区间犹豫模糊集混合单调包含度与相似度、距离和模糊熵之间的关系;高志方等[8]提出一种基于灰色关联的区间数排序法,并在犹豫模糊集上下限的基础上，设计了一种新的区间犹豫模糊图的控制限确定方法;赵蒙川等[9]基于区间犹豫模糊元相关概念,定义了一个广义区间犹豫模糊元的距离公式,构建了一种区间犹豫模糊逼近理想解的新排序方法,该方法解决了属性评价值由区间犹豫模糊元构成的多属性群决策问题;肖承学等[10]建立了一种区间犹豫模糊TODIM的风险排序方法,通过具体案例验证了该方法的合理性.

通过梳理文献不难发现,前人在研究区间值犹豫模糊集理论与实践方面都是默认在犹豫模糊环境下的具体探索.实际生活中,人们用具体数据描述某项事件时，比较擅长使用一个维度中的实数.尽管模糊数在表达某些事务内在联系方面比实数更有优势,但是人脑很难一步到位直接用模糊数来刻画.将实践中产生的数据通过模型转化为模糊数的研究显得很有必要.文献[11]把属性具体数值通过模型化为区间直觉模糊数;文献[12]给出了计算评价专家权重的几种模型,并将其中一种模型计算出的评价专家权重用在属性值的转化过程中.文献[11-12]的决策方法分别用在多属性决策及多属性群决策当中,二者为传统群决策方法提供了一种新的思路,但在对属性数据进行处理时，都采用集结算子进行融合,这样难免会丢失决策信息.为了克服这一缺陷,本文进行了一种新的尝试.

1 预备知识

定义1[13]令X为预知集合,A={[x,hA(x)]|x∈X}为X上定义的犹豫模糊集(HFS).这里,hA(x)是在区间[0,1]中不同数值构成的集合,x属于集合A的可能隶属度，由里面具体数值表示.称hA(x)为一个犹豫模糊元(HFE).

群决策问题中有H个评价属性,用符号Gi(i=1,…,H)表示,决策主体方案有K个,用符号Pj(j=1,2,…,K)表示,评价专家E个，用Al(l=1,2,…,E)表示,单个专家Al给方案Pj中属性Gi分数表示为qlji.各位专家权重ωAl已知,属性Gi权重ωGi未知,属性Gi值构成的分数取值区间为[mi,ni].属性分数专家评分表[qlji]E×K×H.下文中关于l,j,i(l=1,2,…,E;j=1,2,…,K;i=1,2,…,H)取值情况,不在单独复述.

定义5将专家Al给方案Pj中属性Gi分数qlji转化为可能隶属度,为区间数形式,区间端点分别表示可能隶属度的最低与最高值,具体表示如下:

(1)

定义7Tji得分函数记为h(Tji),为了使决策信息不损失,其计算如下:

(2)

2 决策步骤

如果决策方案中各属性所起作用差别不大,没有绝对权威属性存在,则具体决策过程可按如下步骤进行:

步骤一:采用定义4方法计算ωGi(i=1,2,…,H);

步骤三:汇总Tji;

步骤四:使用定义7方法确定Tji得分函数h(Tji)值;

步骤五:运用定义3对各犹豫模糊元Tji进行测度,测度形式为S[h(Tji)×h(Tj′i)](j≠j′),绘制积型贴近率表格,构成元素是S(Pj,Pj′)(j≠j′);

步骤七:决策结果比较;

步骤八:结束.

3 案例说明

以教师教学评价为例进行详细说明.设由四位督导构成评价专家组,每位督导专家用符号Al(l=1,2,3,4)表示,由五位被评价教师构成方案集,每位教师用符号Pj(j=1,2,…,5)表示,督导专家具体权重已知,督导权重向量用符号ωAl=(0.28,0.22,0.24,0.26)T表示,评学因素集合Gi(i=1,2,…,14)为区间数字形式,构成形式:Gi=[mi,ni](i=1,2,…,14),属性权重ωGi=(ωG1,ωG2,…,ωG14)T未知,若要求督导专家给每位教师评价分数精确到百分位,则督导专家组给各教师评分情况如表1及表2所示:

表1 专家评分表一

表2 专家评分表二

G1:教师上课有没有激情,学生学习情绪能否受其感染.如果教师情绪低落,课后教学督导要单独与该教师交流,充分关爱教师;

G2:教学文件准备充分程度,课件制作精美与否.若教师在信息化教学方面还存在问题,督导可以给与指导性建议;

G3:提前多长时间到课室,若没有提前到课室则是教学事故.上课仪器需要提前调试,教师提前到教室至关重要;

G4;授课知识点讲解能力(含知识点分解能力,知识点应用能力).学生基础知识薄弱,理解能力不强的现实需要教师格外重视;

G5:教学载体对知识点承载能力强弱怎样.信息化教学情境下,各个学科能够采用适合本学科教学载体非常关键,好的教学载体授课效果事半功倍；

G6:授课内容与学期进度要求是否一致.教学进度的快慢与教学质量有正相关性,教师需要拿捏好内容进度快慢的度;

G7:政治观点是否正确,若不正确则为严重教学事故.为国家培养人才的教师,爱国、正能量是基本要求；

G8:教师对本次课所教知识重构情况如何.书本知识是死的,怎样活学活用,教师通过自己对知识点的吸收再加工,以学生能够接受的方式讲解是大本事;

G9:教学阶段的时间把控能力好坏.不能满堂灌输理论知识,更不能只实践不讲理论知识,整个教学环节的时间分配体现了教师的教学水平;

G10:整个授课过程中声量、语速是否恰到好处.一个优秀的教师,其说话声音及语速一定是大多数同学听起来都感觉舒服;

G11:有没有观察、留意，并有针对性地解决学习困难生面临的学习困境.课堂教学的好处之一就是教师随时可以照顾学困生而调整自己的授课方式;

G12:教学过程对培养学生良好的学习习惯是否有帮助.能做一名教师一定具有良好的学习习惯,授课过程中对学生的影响是潜移默化的,教师有意识这么做就更好了;

G13:授课内容与专业接近程度以及与工作接近程度如何.高职院校为社会培养高素质技能型人才,这就对高职教师提出了更高的要求;

G14:师生相互之间对于本次课教学整体评价如何.真实了解教师及学生对本次课的感受有助于提高教师的教学水平与课堂教学质量.

3.1 确定属性权重

3.1.1 设立属性Gi取值区间集合V

V={[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.04,0.1],[0.04,0.1],[0.04,0.1],[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.02,0.05],[0.04,0.1],[0.04,0.1],[0.04,0.1]}.

3.1.2 确定属性权重

利用定义4,可得属性权重:

ωGi=(0.05,0.05,0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.1)(i=1,2,…,14).

3.2 构造区间值犹豫模糊环境

3.2.1 确定区间值可能隶属度

表3 区间值可能隶属度表一

表4 区间值可能隶属度表二

3.2.2 汇总Tji(j=1,2,…,6;i=1,2,…,14)

T11={[0.219 4,0.253 5],[0.163 1,0.193 8],[0.175 8,0.207 5],[0.208 0,0.241 5]},

T12={[0.231 4,0.266 0],[0.170 2,0.201 5],[0.201 9,0.231 5],[0.210 5,0.244 2]},

T13={[0.262 7,0.298 4],[0.204 0,0.237 3],[0.223 5,0.257 8],[0.243 1,0.278 1]},

T14={[0.222 1,0.256 3],[0.168 5,0.199 6],[0.187 1,0.219 4],[0.209 0,0.242 6]},

T15={[0.230 3,0.264 9],[0.175 0,0.206 6],[0.195 4,0.228 3],[0.214 1,0.247 9]},

T16={[0.222 5,0.292 4],[0.170 6,0.235 3],[0.187 8,0.254 5],[0.205 1,0.273 6]},

T17={[0.217 6,0.287 2],[0.163 1,0.226 8],[0.185 8,0.252 3],[0.202 1,0.270 3]},

T18={[0.225 2,0.295 3],[0.163 1,0.226 8],[0.184 4,0.250 7],[0.202 1,0.270 3]}，

T19={[0.208 4,0.242 0],[0.162 2,0.192 9],[0.178 1,0.210 0],[0.191 8,0.224 5]},

T1.10={[0.213 9,0.247 7],[0.166 8,0.197 9],[0.189 4,0.221 9],[0.196 9,0.229 8]},

T1.11={[0.194 8,0.227 7],[0.154 1,0.184 2],[0.173 1,0.204 6],[0.165 6,0.196 5]},

T1.12={[0.205 4,0.273 9],[0.157 3,0.220 2],[0.164 7,0.228 6],[0.187 3,0.254 0]},

T1.13={[0.198 5,0.266 3],[0.154 9,0.217 4],[0.177 2,0.242 7],[0.192 2,0.259 4]},

T1.14={[0.204 3,0.272 7],[0.160 0,0.223 3],[0.179 8,0.245 7],[0.202 7,0.270 9]};

T21={[0.206 8,0.240 3],[0.153 8,0.183 8],[0.184 2,0.214 5],[0.191 8,0.224 5]},

T22={[0.192 1,0.224 8],[0.146 2,0.175 6],[0.150 4,0.180 1],[0.183 2,0.215 3]},

T23={[0.262 7,0.298 4],[0.204 0,0.237 3],[0.223 5,0.257 8],[0.243 1,0.278 1]},

T24={[0.213 9,0.247 7],[0.161 7,0.192 4],[0.186 6,0.218 9],[0.199 4,0.232 5]},

T25={[0.226 4,0.260 8],[0.172 8,0.204 3],[0.191 2,0.223 9],[0.202 9,0.236 2]},

T26={[0.222 5,0.292 4],[0.170 6,0.235 3],[0.187 8,0.254 5],[0.205 1,0.273 6]},

T27={[0.220 3,0.290 1],[0.171 1,0.235 9],[0.185 5,0.252 0],[0.202 1,0.270 3]},

T28={[0.220 1,0.289 9],[0.171 3,0.236 1],[0.190 8,0.257 8],[0.205 1,0.273 6]},

T29={[0.122 1,0.149 2],[0.095 2,0.119 1],[0.102 9,0.127 8],[0.128 2,0.155 9]},

T2.10={[0.154 2,0.184 3],[0.123 8,0.151 1],[0.129 7,0.157 6],[0.147 6,0.177 1]},

T2.11={[0.175 8,0.207 5],[0.133 1,0.161 3],[0.138 5,0.167 2],[0.156 2,0.186 4]},

T2.12={[0.191 3,0.258 4],[0.141 7,0.202 1],[0.157 0,0.219 9],[0.168 5,0.232 9]},

T2.13={[0.169 4,0.234 0],[0.141 7,0.202 1],[0.140 4,0.200 6],[0.156 4,0.219 1]},

T2.14={[0.193 4,0.260 8],[0.146 5,0.207 8],[0.204 5,0.272 9],[0.180 7,0.246 6]};

T31={[0.216 0,0.250 0],[0.171 6,0.202 9],[0.177 3,0.209 0],[0.176 7,0.208 4]},

T32={[0.208 4,0.242 0],[0.170 7,0.202 0],[0.176 3,0.208 0],[0.195 7,0.228 7]},

T33={[0.262 7,0.298 4],[0.204 0,0.237 3],[0.223 5,0.257 8],[0.243 1,0.278 1]},

T34={[0.224 8,0.259 2],[0.174 1,0.205 6],[0.190 3,0.222 8],[0.208 4,0.242 0]},

T35={[0.206 8,0.240 3],[0.150 4,0.180 1],[0.176 3,0.208 0],[0.194 3,0.227 1]},

T36={[0.222 5,0.292 4],[0.170 6,0.235 3],[0.187 8,0.254 5],[0.205 1,0.273 6]},

T37={[0.219 0,0.288 6],[0.169 2,0.233 8],[0.186 9,0.253 6],[0.207 6,0.276 3]},

T38={[0.220 6,0.290 4],[0.167 5,0.231 9],[0.180 6,0.246 5],[0.189 8,0.256 7]},

T39={[0.160 1,0.190 6],[0.119 7,0.146 5],[0.135 8,0.164 2],[0.159 1,0.189 6]},

T3.10={[0.171 5,0.202 8],[0.118 9,0.145 6],[0.131 2,0.159 2],[0.143 7,0.172 9]},

T3.11={[0.168 8,0.199 9],[0.137 3,0.165 9],[0.190 3,0.222 8],[0.151 6,0.181 5]},

T3.12={[0.186 8,0.253 5],[0.141 5,0.201 9],[0.152 6,0.214 7],[0.161 2,0.224 6]},

T3.13={[0.172 8,0.237 8],[0.134 9,0.194 2],[0.151 4,0.213 5],[0.165 9,0.229 9]},

T3.14={[0.193 9,0.261 3],[0.147 7,0.209 2],[0.162 3,0.225 9],[0.174 6,0.239 8]};

T41={[0.208 4,0.242 0],[0.161 4,0.192 0],[0.186 6,0.218 9],[0.186 8,0.219 1]},

T42={[0.217 1,0.251 1],[0.165 2,0.196 1],[0.187 9,0.220 4],[0.201 9,0.235 1]},

T43={[0.262 7,0.298 4],[0.204 0,0.237 3],[0.223 5,0.257 8],[0.243 1,0.278 1]},

T44={[0.217 1,0.251 1],[0.169 0,0.200 1],[0.184 2,0.216 5],[0.200 4,0.233 5]},

T45={[0.231 9,0.266 5],[0.172 8,0.204 3],[0.191 2,0.223 9],[0.209 5,0.243 1]},

T46={[0.222 5,0.292 4],[0.170 6,0.235 3],[0.187 8,0.254 5],[0.205 1,0.273 6]},

T47={[0.201 4,0.269 5],[0.152 2,0.214 3],[0.179 8,0.245 7],[0.189 3,0.256 2]},

T48={[0.213 6,0.282 8],[0.165 5,0.229 5],[0.188 0,0.254 8],[0.205 8,0.274 3]},

T49={[0.213 9,0.247 7],[0.162 2,0.192 9],[0.186 6,0.218 9],[0.198 9,0.232 0]},

T4.10={[0.219 4,0.253 5],[0.174 5,0.206 0],[0.193 6,0.226 3],[0.205 9,0.239 4]},

T4.11={[0.218 2,0.252 2],[0.173 7,0.205 2],[0.181 0,0.212 9],[0.201 4,0.234 6]},

T4.12={[0.209 1,0.278 0],[0.155 4,0.218 0],[0.173 8,0.238 9],[0.187 1,0.253 8]},

T4.13={[0.200 1,0.268 1],[0.151 8,0.213 9],[0.169 3,0.233 9],[0.180 0,0.245 8]},

T4.14={[0.220 1,0.289 9],[0.163 4,0.227 2],[0.175 0,0.240 2],[0.202 1,0.270 3]};

T51={[0.215 0,0.248 9],[0.166 0,0.196 9],[0.186 6,0.218 9],[0.188 2,0.220 7]},

T52={[0.213 9,0.247 7],[0.175 8,0.207 5],[0.177 3,0.209 0],[0.191 8,0.224 5]},

T53={[0.262 7,0.298 4],[0.204 0,0.237 3],[0.223 5,0.257 8],[0.243 1,0.278 1]},

T54={[0.219 4,0.253 5],[0.169 8,0.201 1],[0.186 6,0.218 9],[0.204 0,0.237 3]},

T55={[0.207 3,0.240 8],[0.167 3,0.198 4],[0.186 6,0.218 9],[0.197 8,0.230 8]},

T56={[0.222 5,0.292 4],[0.170 6,0.235 3],[0.187 8,0.254 5],[0.205 1,0.273 6]},

T57={[0.217 2,0.286 7],[0.157 3,0.220 2],[0.179 5,0.226 8],[0.192 0,0.259 2]},

T58={[0.218 8,0.288 4],[0.167 6,0.231 9],[0.185 5,0.252 0],[0.205 3,0.273 8]},

T59={[0.233 1,0.267 7],[0.183 0,0.215 1],[0.194 4,0.227 2],[0.199 4,0.232 5]},

T5.10={[0.218 2,0.252 2],[0.170 7,0.202 0],[0.191 2,0.223 9],[0.199 4,0.232 5]},

T5.11={[0.223 2,0.257 4],[0.172 8,0.204 3],[0.184 7,0.217 0],[0.200 4,0.233 5]},

T5.12={[0.213 9,0.283 1],[0.161 2,0.224 6],[0.176 1,0.241 5],[0.193 4,0.260 8]},

T5.13={[0.203 8,0.272 1],[0.155 9,0.218 6],[0.172 2,0.237 1],[0.186 6,0.253 2]},

T5.14={[0.222 5,0.292 4],[0.166 2,0.230 3],[0.185 1,0.251 6],[0.195 9,0.263 5]}.

3.2.3 使用定义7方法确定Tji得分函数值h(Tji)

h(T11)=[0.163 1,0.253 5],h(T12)=[0.170 2,0.266 0],h(T13)=[0.204 0,0.298 4],h(T14)=[0.168 5,0.256 3],h(T15)=[0.175 0,0.264 9],h(T16)=[0.170 6,0.292 4],h(T17)=[0.163 1,0.287 2],h(T18)=[0.163 1,0.295 3],h(T19)=[0.162 2,0.242 0],h(T1.10)=[0.166 8,0.247 7],h(T1.11)=[0.154 1,0.227 7],h(T1.12)=[0.157 3,0.273 9],h(T1.13)=[0.154 9,0.266 3],h(T1.14)=[0.160 0,0.272 7];

h(T21)=[0.153 8,0.240 3],h(T22)=[0.146 2,0.224 8],h(T23)=[0.204 0,0.298 4],h(T24)=[0.161 7,0.247 7],h(T25)=[0.172 8,0.260 8],h(T26)=[0.170 6,0.292 4],h(T27)=[0.171 1,0.290 1],h(T28)=[0.171 3,0.289 9],h(T29)=[0.095 2,0.155 9],h(T2.10)=[0.123 8,0.184 3],h(T2.11)=[0.133 1,0.207 5],h(T2.12)=[0.141 7,0.258 4],h(T2.13)=[0.140 4,0.234 0],h(T2.14)=[0.146 5,0.272 9];

h(T31)=[0.171 6,0.250 0],h(T32)=[0.170 7,0.242 0],h(T33)=[0.204 0,0.298 4],h(T34)=[0.174 1,0.259 2],h(T35)=[0.150 4,0.240 3],h(T36)=[0.170 6,0.292 4],h(T37)=[0.169 2,0.288 6],h(T38)=[0.167 5,0.290 4],h(T39)=[0.119 7,0.190 6],h(T3.10)=[0.118 9,0.202 8],h(T3.11)=[0.137 3,0.222 8],h(T3.12)=[0.141 5,0.253 5],h(T3.13)=[0.134 9,0.237 8],h(T3.14)=[0.147 7,0.261 3];

h(T41)=[0.161 4,0.242 0],h(T42)=[0.165 2,0.251 1],h(T43)=[0.204 0,0.298 4],h(T44)=[0.169 0,0.251 1],h(T45)=[0.172 8,0.266 5],h(T46)=[0.170 6,0.292 4],h(T47)=[0.152 2,0.269 5],h(T48)=[0.165 5,0.282 8],h(T49)=[0.162 2,0.247 7],h(T4.10)=[0.174 5,0.253 5],h(T4.11)=[0.173 7,0.252 2],h(T4.12)=[0.155 4,0.278 0],h(T4.13)=[0.151 8,0.268 1],h(T4.14)=[0.163 4,0.289 9];

h(T51)=[0.166 0,0.248 9],h(T52)=[0.175 8,0.247 7],h(T53)=[0.204 0,0.298 4],h(T54)=[0.169 8,0.253 5],h(T55)=[0.167 3,0.240 8],h(T56)=[0.170 6,0.292 4],h(T57)=[0.157 3,0.286 7],h(T58)=[0.167 6,0.288 4],h(T59)=[0.183 0,0.267 7],h(T5.10)=[0.170 7,0.252 2],h(T5.11)=[0.172 8,0.257 4],h(T5.12)=[0.161 2,0.283 1],h(T5.13)=[0.155 9,0.272 1],h(T5.14)=[0.166 2,0.292 4].

3.2.4 测度方案属性对应区间值犹豫模糊元得分函数值

对区间值犹豫模糊元得分函数进行测度，测度结果见表5～表6.

表5 区间值犹豫模糊元得分函数值测度表一

表6 区间值犹豫模糊元得分函数值测度表二

3.2.5 统计Qjj′并排序

⟹P1≻P2,P1≻P3,P1≻P4,方案P1,P5无法比对,

故S+(P1,P5)

⟹P1P5;

方案P2,P3无法比对,P2P4,P2P5,

故S+(P2,P3)

⟹P2P3;

⟹P3P4,P3P5;

⟹P4P5.

综上可得方案排序P5≻P1≻P4≻P3≻P2.

3.3 决策比较

根据不同决策方法有如下比较结果见表7.

表7 不同决策方法比较

由表7的排序结果对比可知,本文的排序方法取得了与传统决策结果一致的效果,验证了区间值犹豫模糊数知识在教师教学评定当中应用的可行性.明显的优势是，不需要利用集聚模型对属性数据进行全面融合,无需担心丢失任何决策信息,而这恰恰是文献[12]无法做到的.同时,将区间值犹豫模糊环境下的多属性群决策理论用在教师教学评价当中,不仅丰富了多属性群决策理论，而且还拓展了其使用范围.

4 结 语

文中决策理论方法的特点是无需对教师评教因素数据信息进行全面融合,同时，评教因素信息用区间数对表示,最大化保留了督导专家对教师教学水平的评价信息.理论容易理解、操作简单,但计算繁琐,应用过程中若借助计算机编程辅助处理则易于推广.对于在多属性决策中各属性所起到的决策作用差别较大，同时有绝对权威属性存在(也就是说，该属性的重要程度直接决定方案的优劣),这种情况下,本文决策方法不适合应用.由文章方法可知,数学转化模型是现实环境到模糊决策环境的桥梁,怎样建立合理的数学转化模型是决策结果合理的前提,故对转化模型的建立方法研究是该课题未来可以重点思考的方向.