区间Pythagorean模糊前景多阶段多属性应急决策方法

魏俐华，陈 刚

贵州大学 管理学院，贵阳550025

1 引言

近年来，各类突发事件频繁发生（如2003 年的非典、2008年的汶川地震、2015年的天津港爆炸及2019年的新冠病毒等），造成大量人员伤亡和财产损失。通常，突发事件的信息是不完全的，阶段状态的演化更是无法准确预测，而且必须在短时间内做出应对决策。显然，传统的选优决策方法受到限制，因此，诸多学者对应急决策开展了的研究。

决策信息不准确、情景复杂、决策时间紧迫是应急决策的特点[1]，因此决策者难以给出确定的属性信息，一般用模糊集描述。不少学者[2-4]运用直觉模糊数描述属性评价值，并以直觉模糊熵、犹豫度、冲突熵等最小化确定属性权重。为了更合理刻画属性评价值，一些学者[5-7]将直觉模糊数拓展为区间直觉模糊数，并有效应用于应急决策。Yager[8]对直觉模糊数进一步拓展，提出了毕达哥拉斯模糊集，其条件放宽至隶属度与非隶属度之和可大于1，其平方之和小于1。针对毕达哥拉斯模糊集的研究，目前主要侧重于集成算子[9-11]及拓展TOPSIS评价方法[12-14]。为了更合理地描述模糊性信息，Du等[15]将毕达哥拉斯模糊集拓展成区间毕达哥拉斯模糊语言数（Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Linguistic Numbers，IVPFLNs），并定义了集成算子；孙倩倩等[16]定义了区间毕达哥拉斯模糊集的信息模糊熵，为其信息度量提供方法。IVPFLNs描述模糊性信息比模糊集、直觉模糊更有效，但目前多数学者侧重研究毕达哥拉斯集成算子，并将之运用于多属性决策及评价，仅有少部分学者将其运用于应急决策[17]。

在高压下的应急决策环境中，决策者心理行为对决策结果有直接影响，故不少学者在决策中考虑有限理性心理行为，以期得到更合理的结果。以Kahneman 等[18]为代表的学者在考虑决策者心理行为时提出了前景理论，认为决策者并不是追求效用最大化，而是选择综合价值最满意的方案。不少学者[19-20]将前景理论运用到应急决策中，并验证了其有效性及合理性。随着时间的推移，突发事件势必会演化成不同的情境，决策者要综合考虑多个阶段不同的情境，即从全局出发，做出科学、系统的应急响应[21]。如疫情初期，应综合考虑多个阶段情境以及当前方案对后一阶段情境的影响，进而实现全局最优。若考虑方案的后效性[22]，当前阶段的决策势必会影响后一阶段状态概率，后一阶段状态概率又会影响当前阶段的方案选择，故各阶段应急效果之和最优才是应急决策的最终目的。因此，本文在考虑应急决策的特点、决策者的有限理性心理行为的前提下，侧重研究了决策方案对多阶段状态概率的影响，提出了基于IVPFLNs和前景理论的多阶段多属性应急决策方法。

2 预备知识

2.1 Pythagorean模糊集

定义1[9]设X为有限论域，则称A={＜x,[sθ(x),[μA(x),νA(x)]]＞|x∈X}为X上的毕达哥拉斯模糊语言集，其中μA(x)和νA(x)∈[0,1]分别表示元素x属于和非隶属毕达哥拉斯模糊语言值sθ(x)的程度，并且满足：为x属于A的犹豫度。

定义2[9]设A1={＜sθ1,μA1,νA1]＞} 为毕达哥拉斯模糊语言数，若将其规范化，对于效益属性无需变动，对于成本属性，语言部分采用负运算，模糊部分采用补运算，规则如下，其中g为语言值基数。

定义3[9]设A1={＜sθ1,μA1,νA1]＞} 为毕达哥拉斯模糊语言数，其得分函数如下：

定义6[15]设是IVPFLNs，若将其规范化，对于效益属性无需变动，对于成本属性，语言部分采用负运算，模糊部分采用补运算，规则如下：

2.2 前景理论

基于有限理性下的前景理论反应了决策者的风险偏好，前景值由价值函数和概率权重函数共同决定，价值函数是决策者对收益或损失的主观感受，其定义如下：

定义8[18]Kahneman 和Tversky 以幂律形式给出的价值函数v(Δxi)。

其中，Δxi=xi-x0，Δxi表示方案xi偏离参考点x0的大小。Δxi≥0 表示获得收益，Δxi＜0 表示遭受损失；α和β分别表示决策者对收益、损失的敏感程度。λ表示与收益相比，决策者对损失更加敏感；α、β和λ的取值范围分别为α ＞0、β ＜1 和λ ＞1。

决策者面对客观发生的概率事件时，通常会高估小概率事件，低估大概率事件，这是一个主观的概率权重，因此Kahneman 和Tversky 认为决策者面对损失或收益时的概率权重函数如下：

其中，ε、δ分别表示风险收益时、风险损失的态度系数。

3 原理与方法

考虑一个决策信息为IVPFLNs 的多阶段多属性应急决策问题。其中T={t1,t2,…,th}(i=1,2,…,h)为阶段集，为阶段i的方案集，为前i个阶段的方案链，1,2,…,ni)为阶段i的决策属性集，属性权重∈[0,1]为阶段i的状态集，表示前i个阶段的状态链；表示前i-1 阶段的状态链为时，第i阶段的状态概率矩阵，表示前i-1 阶段的状态链为并采用方案链时，第i阶段状态为ui时的概率，其中第一阶段状态概率为p1u1；S={s1,s2,…,sg}为语言集；Ai=为阶段i方案集Xi的评价矩表示第i阶段状态为ui时，对第ji个方案属性ki的评价。

基于前景理论的IVPFLNs 多阶段多属性应急决策方法步骤如下：

步骤1 属性权重范围的确定

由于应急决策的信息不够全面且不确定性高，故属性赋权时应考虑这一特点，即属性赋权过程在保证足够信息量的同时，应尽可能降低不确定性。而信息熵描述信息的不确定程度，模糊熵描述模糊集合的模糊性程度，熵权法是一种重要的客观赋权方法。因此，本文运用方案信息熵及区间Pythagorean模糊熵的组合赋权方法确定属性权重。

通过取区间最大值和区间最小值，将IVPFLNs矩阵Ai转化为毕达哥拉斯模糊语言矩阵AL(i)和AU(i)，运用定义2 将矩阵和转化为规范化矩阵=和；运用定义3 将和转化为得分矩阵RL(i)和RU(i)=。

属性的权重可依据信息量确定，属性的信息量越大，则权重越大；反之，越小。熵值法可衡量不确定信息的信息量，熵值的大小与信息量成负相关[23]。因此，熵权法描述如下：

其次，根据公式（9），计算第i阶段状态为ui时，属性ki的熵值,为了便于表达，公式中的统一用表示。

最后，根据公式（10），确定第i阶段状态为ui时，属性权重范围。

步骤2 属性权重的确定

依据定义5，在i阶段状态为ui时，方案关于属性集合Ci的加权模糊语言熵水平定义为：

表示方案关于属性的模糊语言熵。

在i阶段状态为ui时，以各方案所有属性的加权模糊熵之和最小构建优化模型，模型（M-1）如下所示：

该模型一定存在最优解，可得属性权重。

步骤3 区间数的转化

运用定义6，将矩阵Ai转化为规范化矩阵；运用定义7，将IVPFLNs 转化为区间数，得矩阵。

步骤4 各阶段各状态下方案前景值的计算

记Riui+=()为区间正理想点分别表示基于欧氏距离测度的各阶段状态下的方案ji的属性ki与正负理想点的距离。显然，以区间正理想点为参考点时，所有方案将面临损失；以区间负理想点为参考点时，所有方案将面临收益。为了便于表达，统一将表示成piui，根据定义8 在第i阶段状态为ui时，第ji个方案的第ki个属性的前景值计算如下：

其中，π+(piui),π-(piui)分别表示在第i阶段状态为ui时，面临收益、损失的概率权重。

因此，在第i阶段状态为ui时，第ji个方案的前景值为：

步骤5 方案链的前景值计算

那么给定方案链时，第i(i ＞1)阶段的方案到h阶段的方案的方案链前景值为：

步骤6 各阶段方案的确定

在考虑后效性的应急决策中，现阶段决策势必会影响事件的发展趋势。若是仅考虑当前阶段的问题，决策结果并不会使整体决策效果最优；故决策过程需要综合考虑多个阶段的决策问题。此外，成本的预算是制定应急方案的必要环节，即该属性是一个确定的数值，若用模糊语言去评价，又会损失这一信息的价值，因此方案的综合评价值应由成本和前景值共同决定，而系统性的考虑各阶段的成本、前景值是多阶段决策的难点。本文以成本和前景值为优化目标构建模型，确定各阶段方案，进而实现整体应急效果之和最优。模型（M-2）如下所示：

其中，目标函数z1表示最大化方案链的前景值，目标函数z2表示最小化方案链的总成本，Q=qi代表方案链总数，VlXh(τ)表示第τ个方案链的前景值，(τ)表示第τ个方案链的费用。ylhX(τ)是0-1变量，若ylhX(τ)等于1时，表示决策者选择第τ个方案链；反之，不选择该方案链。

该模型属于多目标规划，为了便于求解，本文将其转化为单目标优化问题，目标函数如下：

其中，φ表示前景值权重的占比，1-φ表示费用权重的占比。

4 算例分析

4.1 问题背景

本文以传染病疫情防控应急决策问题为例。假设某地区出现了若干名类似某传染病的疑似病例，为防止疫情进一步扩散，确保居民的身体健康，应急部门迅速针对已掌握的信息采取了行动。由于对病毒认知不足及所获得信息有限，应急部门同时考虑了当前阶段和后两阶段的决策问题，即系统地分析了疫情在当前和后阶段可能演化的状态。以当前阶段采用的方案为基础，根据先验概率得出后一阶段的各状态概率。假定当前阶段的两种状态分别为季节性流感传染病、新型病毒传染病，依据已获知的病毒信息评估出两种状态概率分别为0.3、0.7，制定了两个方案。方案为确认病原体及传播机理，对发源地消毒，封闭该场所；方案为确认病原体及传播机理，对发源地消毒，封闭该场所，对商户进行隔离，并对去过这些场所的人进行追踪。专家从以下三个方面对应急方案进行决策：为可控制传染的效果，为方案所需的动员力度，为预期挽救的经济损失。第二阶段有两种状态分别为个别社区感染、多个社区感染，以第一阶段各状态下采用某一方案为前提，预估出第二阶段的各状态概率为其中的两种状态链分别用表示，的两种方案链分别用表示，并制定了两个方案。方案为取消一切聚集性活动，集中救治病人，社区封闭管理，全面排查感染人员；为取消一切聚集性活动，集中救治，社区封闭管理，全面排查感染人员，进出小区管控，追踪密切接触者。专家从以下两个方面对应急方案进行决策：为可控制传染的效果，为方案所需的动员力度。专家分析得出第三阶段有三种状态分别为疫情得到控制、疫情在多个地方传播及疫情在全国爆发，在前两阶段组成的状态链下采用某一方案链为前提，预估出第三阶段的各状态概率为，其中的四种状态链分别用表示，的四种方案链分别用表示，并制定了三个方案。方案隔离观察密切接触者，停工停课，建立定点救治医院；隔离观察密切接触者，停工停课，建立定点救治医院，停运部分运输工具，交通管制；隔离观察密切接触者，停工停课，建立定点救治医院，停运部分运输工具，交通管制，封村封路。专家从以下两个方面对应急方案进行决策：为可控制传染的效果，为方案所需的动员力度。各方案属性值有六种状态集，即S={较弱，弱，一般，强，较强，很强}。专家给出了各阶段方案的决策信息如表1～3 所示。假定每一阶段各方案的成本预算分别为：300，500；1 200，2 000；5 000，2 000，3 000（单位：百万元）。

4.2 计算过程

4.2.1 属性权重的确定

运用式（8）～（10）求得属性权重范围，如表4 所示；再利用式（11）求出阶段1各状态的语言熵，并运用模型（M-1）确定属性权重，即[0.305,0.385,0.31]，[0.354,0.405,0.241]。限于篇幅，阶段2、阶段3各状态的属性权重范围不具体展开，同理可得阶段2、阶段3各状态下的属性权重，即[0.517,0.483]，[0.52,0.48]；=[0.345,0.655],=[0.401,0.599],=[0.505,0.495]。

表1 阶段1各方案的决策信息

表2 阶段2各方案的决策信息

表3 阶段3各方案的决策信息

表4 阶段1属性权重范围

4.2.2 各状态下的前景值

根据文献[18]的研究，价值函数及概率权重参数取值为α=β=0.88,λ=2.25；ε=0.61、δ=0.72。利用式（14）～（16）求出第一阶段两状态下各方案的第k个属性的前景值，再运用式（17）可得关于两方案在各状态下的前景值，如表5所示。同理可得阶段2、阶段3各状态的方案前景值，如表6、表7所示。

表7 阶段3各状态的方案前景值

表8 方案链的前景值及成本

表5 阶段1的方案前景值

表6 阶段2各状态的方案前景值

4.2.3 方案链的确定

运用式（18）～（20）计算出方案链的前景值，累加各方案链的方案成本可得方案链的成本，如表8所示。易得0.212，4.454；15 500，6 500。假定φ=0.75，本文运用lingo 软件求解模型（M-2），可求得(10)=1，即选择)。故第一阶段选择方案，第二阶段选择方案，第三阶段选择方案。

4.3 结果分析

若决策仅考虑一个阶段，第一阶段两个方案的前景值分别是-0.269、-0.260，成本是300、500。运用lingo软件求解得y(1)=1，即第一阶段选择方案为。若决策只考虑第一、第二阶段，同理可得(2)=1，即选择方案链)，故第一阶段选择方案，第二阶段选择方案。显然，在第一阶段的方案选择上，考虑多阶段决策与之不同。阶段一的两方案的前景值仅相差0.009，在成本上却有较大区别，因此，仅考虑单一阶段的决策选择方案更合理。但是两方案对于后几阶段状态演化的概率有质的区别，特别是情况恶化时，方案更有效。选择方案也体现流行病初期管理应遵循疑似从是的原则。流行病的应急决策问题上，具有很强的后效性和风险厌恶性，单一阶段的决策可实现局部效果最优，而考虑多阶段给出的方案更具全局性。此外解决当前阶段问题的同时准备后续阶段对策更符合实际，进而实现整体效果最优。

5 结束语

本文针对决策信息不充分且属性权重未知的多属性应急决策问题，综合考虑决策者的心理行为、方案对状态演化概率的影响及方案的成本，运用区间毕达哥拉斯模糊语言描述模糊性强的决策信息，提出了一种基于组合赋权和前景理论的多阶段多属性应急决策方法。构建并求解以方案链的前景值最大化和成本最小化为目标的模型确定方案链。通过对流行病算例进行分析，并与仅考虑一个阶段的决策问题进行对比，表明在考虑全局效果最优时，本文提出的方法具有合理性与可行性。然而在考虑方案成本因素时未将相邻方案相容性纳入研究，对于群决策问题也未进行探索，后续的研究可对这些因素进行拓展。