基于“拉伸”式的三维带洞产权体重建

霍志敏 李雪飞 聂庆微 张玲玲 王荣华

摘  要：产权体是三维地籍的登记客体，其模型是三维地籍登记的基础。带洞产权体是一种几何形状比较特殊的体，在建模过程中存在一定困难，是三维地籍建模必须解决的一个问题。文章给出了三维带洞产权体的分类，在此基础上，提出了一種三维空间数据模型和基于“拉伸”式的三维带洞产权体重建方法。利用该方法，在已有的2D图形基础上，可快速重建三维带洞产权体，为三维空间权的管理和利用提供了理论借鉴和技术支持。

关键词：三维地籍;产权体;拉伸;三维重建

中图分类号：P208         文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）26-0017-04

Abstract： The property right body is the registration object of three-dimensional cadastre， and its model is the basis of 3D cadastral registration. The property right with cavities is a kind of body with special geometric shapes， and there are some difficulties in the process of modeling， which is a problem that must be solved in 3D cadastral modeling. In this paper， the classification of three-dimensional property rights with cavities is given. On this basis， a three-dimensional spatial data model and a reconstruction method of 3D property rights with cavities based on "stretching" are proposed. Using this method， the 3D property right with cavities can be quickly reconstructed on the basis of the existing 2D graphics， which provides theoretical reference and technical support for the management and utilization of 3D space rights.

Keywords： 3D cadastral; property right body; stretching; 3D reconstruction

人口的剧增和土地资源的日益稀缺促使城市土地利用不断向立体空间延伸[1]，导致了不同的产权单元在空间上相互叠加，形成了复杂的产权簇或产权层。特别是不断出现的新型建筑，如空中跨街建筑、错层住宅等，使得传统的二维地籍图和分层分户图难以准确表达产权单元的空间权属范围[2]。实践中，因空间权属范围不明确引起的纠纷日渐突出[2]。清晰、准确地界定各类产权单元在三维空间中的权属范围已成为权属管理部门亟需解决的问题[3]。

近几年来，郭仁忠[3-5]Stoter[6-8]等提出引入三维地籍来解决上述问题，即以具有明确三维权属边界的产权体为登记对象来管理立体权利。产权体是三维地籍中最小的单元，相当于二维地籍中的宗地，通常采用多面体表达[6]。以产权体的形式登记可以准确记录产权单元的空间权属范围，为空间确权提供了有效方法。然而，城市中产权体的数量巨大，如何快速、经济对其重建是实现三维产权精细管理的关键。而现实世界中的产权体多为规则体，并有对应的二维图形数据（楼层平面图、宗地图等）和高度信息，可采用“拉伸”二维图形的方式重建产权体的三维模型，即以二维图形为底面，按照给定高度，自下向上“拉伸”生成体模型。

目前，Ledoux研究了基于“拉伸”式的拓扑一致性重建，并通过引入“节点柱”来解决邻接建筑物不等高以及图形拓扑弱连接的问题。贺彪[1]研究了异构建筑物的拓扑重建，提出异构条件下横向拓扑的构建算法。然而，这些研究所基于的二维图形都不带洞。现实世界中，洞是较普遍存在的现象，如包含天井的建筑、电梯间、房间中的柱子等。因此，洞的重建问题不能忽视。本文将以二维图形为基础，研究基于“拉伸”式的带洞产权体拓扑重建。

1 分析

1.1 洞的数学描述

从拓扑学的角度来讲，曲面上的洞被称为“环柄”（handles），面的“环柄”数称为亏格（Genus）。亏格数是拓扑变换下的一个拓扑不变量。如果一个曲面具有图（graph）结构

1.2 二维带洞多边形限定

带洞二维多边形类型有多种，涉及内外边界相接、洞中带岛等多种奇异情况。这些奇异型虽然在几何上有意义，但在GIS中并不一定合法。倘若以非法的二维图形作为“拉伸”数据源，则生成的三维产权体也是奇异非法的。因此，需要对“拉伸”所使用的带洞多边形进行限定。具体限定如下：

（1）带洞多边形的内外边界、外外边界、内内边界应分离，不允许存在强连接（边边相接）、弱连接（边点相接）或刺出。图1（a）给出上述情况的示例，其中洞①与外边界之间为强连接，洞②与外边界之间为弱连接，③为外外边界强连接，④为外外边界弱连接，洞②⑤⑥间为内边界的弱连接，洞①⑤间为内边界的强连接，⑦为内边界刺出外边界。（2）带洞多边形的洞内不允许有岛（图1（b）中①），亦不允许岛与洞以强连接（图1（b）中②）或弱连接（图1（b）中③）的方式存在。（3）带洞多边形内部应为连通区域，即多边形内外边界围成的区域为一整块，图1（c）是个反例，其内部不连通，表达该图形需要两个多边形。

1.3 三维带洞体分类

采用“拉伸”方式重建产权体的方法有两种：一种是先将二维图形离散化，再拉伸生成三维体（图2（a））。该方法的实质是去洞化，通过连接带洞多边形的内外边界，将其分解为多个无洞多边形后，再进行“拉伸”。“拉伸”后生成的三維体（图2（a））是由多个同胚于球面的曲面（拓扑术语，指由平面片围成的封闭面集）粘合而成，而非一个曲面。这导致了本应完整的体被分解为多个体，使得体的表达不唯一，出现一个产权体对应多个几何体的情况。另一种方法是直接“拉伸”二维图形生成三维体，“拉伸”后生成的体是一个封闭曲面，如图2（b）所示。依据“拉伸”过程体与洞是否等高，还可细分为等高式“拉伸”和非等高式“拉伸”;前者为体与洞“拉伸”高度相同（图2（b）），后者为体与洞“拉伸”高度不同（图2（c））。另外，前者的顶面为一个平面，后者的顶面则是由多个平面构成。虽然二者在几何上存在差异，但在拓扑上是等价的，二者都同胚于环面，具有相同的亏格G=1和欧拉示性数N=0。受被“拉伸”二维图形形状的影响（如构成内外边界的边数不等），非等高式“拉伸”生成体的顶面几何形状可能不唯一，如图2（d）外边界有6条边，内边界有4条边，由这些边生成顶面存在多种形式。再如图2（e）（f），顶面的构建更加复杂，需要人工干预。本文旨在设计三维拓扑的自动构建算法，因此，仅考虑了带洞多边形的等高式“拉伸”。

2 空间数据模型

2.1 二维空间数据模型

“拉伸”所使用二维数据采用拓扑数据模型组织，涉及四种拓扑元素：节点（Node）、边（Edge）、边环（Edge_loop）和面（Face）。具体描述如下：

（1）节点为拓扑构造的最低维基元，由x，y坐标构成;节点同时被两条或两条以上的边共享。（2）边为由两个节点限定的有向直线段，由起点指向终点。边同时被一个或两个边环共享。（3）边环是由边按照一定次序和方向组成的闭合环。若边的方向与边环的方向相反，则在该边的标号前添加负号，以示该边方向与边环方向相反。边环上的所有边共平面。如图3左图，el1={e1，-e4，-e2，e3}，el2={-e5，e6，-e7，e8}。（4）面是由一个或多个边环围成的平面。其中第一个边环定义了面片外边界，其它定义了面片的内边界（洞）;面片同样具有方向性，其方向由边环方向决定。如图3左图，f1={el1，el2}。

2.2 三维空间数据模型

对于“拉伸”生成的三维数据采用六种拓扑元素表达：节点（Node）、边（Edge）、边环（Edge_loop）、面片（Face）、面环（Face_loop）和多面体（Polyhedron）。其中，前四种是上述二维拓扑元素在三维的推广，除节点增加了z分量外，在拓扑构建上相同，都是采用了节点-边-边环-面这种拓扑递进的方式。对于面环和多面体的描述如下：

（1）面环是由多个面片形成的壳，并且构成面环的各个面片具有相同的方向。如面片方向与整个面环方向相反，则在该面片的标号前添加负号，以示该面片定向与面环定向相反。如图3右图， Face_loop1={f1，f2，f3，f4，f5，f6}，Face_loop2={f7，f8，f9，f10}。（2）多面体由一个或多个面环构成。其中第一个面环定义了多面体的外边界，其它定义了多面体内边界（洞）。如图3右图， Polyhedron1={ Face_loop1，Face_loop2}。

3 基于“拉伸”式的三维带洞产权体重建算法

基于“拉伸”式的产权体拓扑重建涉及三类信息：底面、立（墙）面和顶面。由于单楼层型和多楼层型产权体的重建方法存在差异，本文将对它们分开讨论。

3.1 单楼层型带洞产权体的重建算法

对于体洞等高的产权体而言，虽然底面与顶面的高度不同，但二者结构却相同。在生成顶面时，只要复制底面数据与拓扑关系，并将顶点坐标中的z分量值替换为顶面的高度即可。因此，顶面的构建比较简单，关键是立面的构建。立面的构建分两步：第一步是将底面上的节点“拉伸”为垂直边。由于“拉伸”是垂直的，对于底面的任意节点而言，不妨设为A（x，y，z），忽略z坐标，在顶面中搜索离点（x，y）最近的节点，理论上应该是坐标等于（x，y），但由于计算机浮点精度问题，可能有少许偏差，因此找到的最近点A'即是A的对应点;以A为起点A'为终点生成垂直边EAA'（图3右图）。对底面中的所有节点均做上述处理，产生垂直边集。第二步是将底面上的边“拉伸”为立面。以底面任意一条边为起始，不妨设为EAB（下标的第一个字母表示起点，第二字母表示终点，下同），查找与该边相关联的垂直边。可通过构成该边的节点进行查找，如查找与节点A、B关联的边EAA， EBB，进而查找到EAB，获得构成立面的边集{EAB，EAA，EBB，EAB}。对边集中的边排序，获取立面F=（ EAB，EBB，-EAB，-EAA）。对底面中的所有边均做上述处理，产生垂直面集。通过上述“拉伸“算法，产生的是NEF（Node-Edge-Face）拓扑模型。

3.2 多楼层型带洞产权体的重建算法

对于多楼层型产权体而言，由于上下层结构可能不同，不能使用单楼层型算法进行“拉伸”。例如，图4第二列为某建筑物中三个楼层的二维结构图，若采用单楼层型“拉伸”算法对三个楼层重建，将生成图4第一列所示的体。由于上下层结构不同，使得重建后下层（如第n层）顶面与上层底面（如第n+1层）不同，导致上下层拓扑无法接合，影响了整个建筑物的拓扑构建。因此，多楼层型产权体重建不仅要考虑被“拉伸”层的结构，还要考虑其相邻层的结构。为此，我们将多楼层产权体拓扑重建所需信息分为两种：粘合面图和结构图。

3.2.1 基于粘合面图的纵向拓扑构建

粘合面顾名思义是将上下两层“粘合”起来。粘合面图用于生成上下层间的粘合面，以实现层间纵向拓扑的构建。为粘合上下层，粘合面图应同时具备上下层的结构特征，这就要求粘合面图应融合上下层结构。为达到该目的，采用以下步骤：

（1）楼层图叠加。将上下层结构图叠加，叠加后的图同时具有了上下层的结构。（2）叠加图求并。求并（例如ArcGIS中的Union功能）是以叠加后的边界为基础，“打碎”原始结构图，删除重复拓扑基元，打断相交拓扑基元，构建新基元，实现两层结构融合，生成粘合面图。图4中的上、下粘合面（第3列的上下两图）为叠加求交后的示例。（3）空洞“实面”化。在叠加求并过程中，洞不能再被当作一块空区域，而是被当作一个真正的面参与求并。如图4，求并前，f1为带洞多边形，包含一块空区域h1（洞），f3与之类似;生成了面f5，f6和f7。其中，f5的边界与f1的边界相同;f6的外边界为f5（或f1）的内边界，内边界为f7的边界;f7由h2的边界构成。再如，E1所在面与f4叠加后，生成f8、f9、f10与f11;“拉伸”后，f4生成体的上粘合面为f8与f10;f2生成体的下粘合面则为f8与f9。可见，同一个粘合面在不同楼层拓扑构建中所使用部分不同。经该过程，洞被转化为实面参与后期的拓扑重建。（4）重建拓扑。通过邻接拓扑基元共享低维拓扑基元的方式（如两个邻接面共享一条公共边），构建节点-边-面这种层次化递进拓扑关系。

3.2.2 基于结构图的横向拓扑构建

结构图用于生成产权体的立面（墙），以实现同一层产权体间横向拓扑构建。结构图决定了哪些位置有立面，哪些立面围成一户。在重建第n层时，其结构图即为该层的楼层平面图。结构图的“拉伸”过程如下：

（1）节点生成垂直边。在已构建的上、下粘合面中查找与待“拉伸”节点对应的节点，生成垂直边;查找方法与单楼层型相同。例如，图4第二列第n层结构图上的节点N1在上、下粘合面中查找到的对应节点为N1和N1，故N1“拉伸”生成的垂直边为EN1 N1。（2）边生成立面。对于结构图中的一条边，在上、下粘合面中查找对应的边集。结构图中的一条边对应着上粘合面或下粘合面中的一条或多条边。例如，图4第二列第n层结构图上的边EN1N2的节点在上粘合面中对应的节点为N1和N2。在确定对应节点基础上，检查上粘合面图中N1和N2是否构成一条边;如果是，边EN1 N2为对应边;否则，查找上粘合面中到边EN1 N2的距离小于给定阈值的节点;同样忽略z坐标，是普通的平面算法。小于这个阈值时，就认为该点在边上。所有由这些节点加上N1和N2构成的边即为对应的边集。如图4中节点M便落在边EN1 N2上。上粘合面中所有落在边EN1 N2上的节点与N1和N2构成的边即为对应的边集{EN1 M，，EM N2}。同理获得边EN1N2在下粘合面中对应的边集{EN1 P，，EP N2}。对查找到的边集与上一步中生成的垂直边一起排序，生成立面F=（EN1 N1，EN1 M，EM N2，- EN2N2 ，-EN2P，-EP N1）。通过上述“拉伸”算法，生成了整个楼层乃至整栋建筑物的垂直立面集，获取了与单楼层型相似的NEF（Node-Edge-Face）拓扑模型，需要在离散面中自动寻体。（3）面生成体。对于结构图中的每一个面（多边形），首先在上、下粘合面图中找出其对应的面片集。过程如下：求取结构图面片中所有边的对应边，圈定结构图面片在上、下粘合面图中的范围。如果这些对应边刚好围成一个面片，那么此面片即为对应面片。否则，依次判断上粘合面图或下粘合面图中的所有面片，挑选出那些落在圈定范围内的面片，这些面片构成了对应的面片集。如图4中的面片f2在上粘合面图中对应面片f3和f4。同样这个判断也是基于x，y坐标进行的，是一个普通的平面多边形与多边形关系的判断。由上、下粘合面图中相对应的面片集形成体的上、下面。体的侧面则由构成结构图中面片的边所生成的面片来构造。如图4中的边EN1N2为构成面片f2的一条边，那么由该边生成的面片就是由面片f2生成的体的一个侧面。

4 结束语

三维地籍是面向空间权管理的地籍，其登记客体是一个三维的几何体。与二维图形相比，三维图形更加复杂，其几何、拓扑维护也更加困难。三维带洞体作为一种特殊的体在三维地籍建设过程中不可回避，它在表达上比不带洞的体更加困难。为了解决该类体的建模，本文提出了“拉伸”式的三维带洞产权体的重建方法。这种方法主要面对规则的产权体，即立面垂直、底面水平的体，这种体也是三维地籍管理的绝大多数类型。在下一步的工作中，我們将开发具体的算法来实现产权体的重建。

参考文献：

[1]贺彪，李霖，郭仁忠，等.顾及外拓扑的异构建筑三维拓扑重建[J].武汉大学学报（信息科学版），2011，36（5）：579-583.

[2]朱庆，胡明远.基于语义的多细节层次3维房产模型[J].测绘学报，2008，37（4）：514-520.

[3]林亨贵，郭仁忠.三维地籍概念模型的设计研究[J].武汉大学学报（信息科学版），2006，31（7）：643-645

[4]郭仁忠，应申.三维地籍形态分析与数据表达[J].中国土地科学，2010，24（12）：45-51.

[5]郭仁忠，应申，李霖.基于面片集合的三维地籍产权体的拓扑自动构建[J].测绘学报，2012，41（4）：620-626.

[6]Stoter J.E.，Van Oosterom P. Technological Aspects of a 3D Cadastral Registration[J]. International Journal of Geographical Information Science.2005，19（6）：669-696.

[7]Stoter J.E.， Ploeger H.D. Property in 3D-Registration of Multiple Use of Space： Current Practice in Holland and the Need or a 3D Cadastre[J]. Computers， Environment and Urban Systems， 2003，27（6）：553-570.

[8]Stoter， J.E.3D Cadastre.Delft，Delft University of Technology.2004.