数学建模教学改革研究——以忆阻型神经网络建模为例

蔡佐威，黄立宏

(1.湖南女子学院 信息科学与工程学院，长沙 410002； 2.长沙理工大学 数学与统计学院，长沙 410114)

数学建模通过数学语言能对社会生活和经济活动中的许多现实问题进行描述，以寻找变量之间的关系来建立函数或方程等数学模型。目前，很多高校在本科生和研究生培养过程中都开设了数学建模课程。数学建模课程的开设旨在培养学生的科学计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。例如，对计算机专业的学生开设数学建模课程可以提高软件开发能力，解决IT行业中存在的实际问题，提高经济效益。

1 数学建模教学存在的问题

一是数学建模课程教学没有充分紧密联系当前的社会生产和经济需求，与前沿的科学问题有些脱轨。课程的开设最终都是为了使人才培养服务于社会生产和经济发展，如果高校教学研究者在数学建模教学中没有准确把握好这点，那么数学建模教学将很难起到最大限度的作用，还会对相关专业的学生造成困扰。二是数学建模教学过程中的专业性没有得到应有体现。这其中的原因是多方面的，比如数学教师的素质提升没有得到应有的保障，数学教学团队的专业性建设存在不足，高层次的跨专业型教学人才较为缺乏。三是数学建模课程的教学模式比较守旧，教学方式方法也比较单一。目前，高校数学教师大多采用传统的讲授型教学模式，该教学模式的特点是以教师为主导，很难充分发挥学生的主观能动性。如果这种单一的传统教学模式没有融合信息技术和多媒体技术，教学质量会大打折扣。在信息技术飞速发展的今天，数学建模教学模式的改革已刻不容缓。本研究将以忆阻型神经网络数学建模为例来对数学建模改革的重要性与手段进行分析。

2 忆阻型神经网络数学建模

2.1 意义

人工神经网络(Artificial Neural Networks)是一种模拟人类或动物神经网络行为且进行分布式并行处理的算法数学模型，在人工智能领域起着非常重要的作用。在许多本科生或研究生的数学建模课程学习与实践中，神经网络数学建模是非常热门的研究方向之一。神经网络模型主要是模拟大脑的神经元突触结构及功能，这类神经网络是通过把大量的神经元节点相互连接而建立出数学模型，每个具体的神经元节点代表了特定的信号输出函数，节点之间的连接表示连接信号的权重。从某种意义上来讲，神经网络模型模拟了大脑的记忆功能。根据基尔霍夫电压定律(KCL)，目前所建立的神经网络电路模型通常由微分方程进行刻画。自1971年美国华裔科学家Leon Chua提出了记忆的电阻—忆阻器(Memristor)这一概念以来，基于忆阻器的神经网络建模就引起了越来越多学者的关注。在忆阻型神经网络的建模及模拟实现过程中，忆阻器可通过改变其阻态把经流过它的电荷数量进行记忆，以此达到记忆过去状态的目的。忆阻器是最有可能实现人类大脑中突触功能的电子元件，忆阻器的结构如图1所示。

图1 忆阻器元件的结构图[5]Fig.1 Structure chart of Memristor element

在神经网络数学建模过程中，根据忆阻器元件的特征与性质，如果把神经网络中传统的电阻器元件替换为忆阻器这种新型的电路元件，则通过右端不连续的微分方程可建立出忆阻型的神经网络数学模型，这类神经网络模型也可视为随状态变量切换的动力学数学模型。

Leon Chua教授所提出的忆阻器(Memristor)不同于传统的电阻(Resisitor)、电感(Inductor)和电容(Capacitor)这三种电路元件，它是第四种无源性电路元件。电流(Current)、电压(Voltage)、电荷(Charge)、磁通量(Flux)这四种电路元件之间的关系式均由微分方程来刻画。忆阻器、电阻器、电感器、电容器具有各自的电流-电压特征。理想忆阻器的电流-电压特征从数学函数表现来看是一条“8”字形的滞回曲线，这条曲线在坐标原点处自交叉。Leon Chua教授自提出忆阻器概念后的几十年里，因为人们未能研制出忆阻器的实体元件，所以忆阻器没有被引起足够的重视。直到2008年，美国惠普实验室的R.S.Williams研究组首次证实了纳米电子系统中忆阻器的实体存在，并建立了忆阻器的数学模型，进行了物理模型仿真实验，他们的成果发表在了Nature杂志上。随后，越来越多的科研与教学工作者开始对忆阻型神经网络数学建模问题进行研究。忆阻型神经网络数学建模不只是前沿的科学问题，它在本科生和研究生的毕业设计与数学建模教学中也引起了广泛关注。

2.2 建模过程

忆阻型神经网络数学建模不仅会运用到数学理论和方法，还将涉及物理学和计算机等相关专业的知识。神经网络建模首先要符合客观物理规律，以第i个子系统作为分析单元。据基尔霍夫电压定律，第i个子系统可由下列时滞微分方程来进行刻画：

(1)

(2)

2.3 数值模拟分析

对忆阻型神经网络数学建模进行数值模拟分析的过程中，单一采用传统的教学方法是不够的，必须用到计算机软件和多媒体技术等教学手段，建模过程中的实践环节也显得非常重要。由于时滞、不连续性和周期性等因素的存在，使得忆阻型神经网络模型具有复杂的动力学性质，所以有必要对忆阻神经网络的动力学进行数值模拟和分析。例如，在忆阻型神经网络模型(2)中取n=2，τ=1，fj(θ)=1.2tanh(θ),j=1,2，J1(t)=sint，J2(t)=cost，

初始值条件为φ(t)=(-1,1),t∈[-1,0]。借助MATLAB进行数值模拟实验发现，该二维的时滞忆阻型神经网络模型具有复杂的周期动力学行为，如图2所示。人类大脑通常都处于周期性的振荡或混沌状态，对周期性质的忆阻型神经网络数学建模及其数值模拟进行分析能更好地帮助人们理解人类大脑的运行机制。在高校数学建模课程中开展神经网络的数学建模及数值模拟分析能帮助学生解决工农业生产中的实际问题。

图2 时滞忆阻型神经网络模型的周期动力学行为Fig.2 Cycle dynamics behavior of Memristor-based neural network model

3 数学建模教学改革措施

3.1 结合工农业生产和前沿科学问题建设现代化数学建模教学模式

数学建模与社会生产、工程技术和经济发展有着密切联系。在数学建模教学过程中，应利用经典的数学理论和方法来解决当前信息时代的工农业生产及前沿的科学问题。例如，在人工智能神经网络领域，可借助现代微分方程理论和定性分析等数学方法来进行人工神经网络数学建模与分析。在渔业和牧业领域，为了维持生物种群的可持续发展并产生经济效益，可引进不连续型捕获管理策略建立生物数学模型，还需引进稳定性理论来进行动力学分析。

3.2 采用多样化教学手段

数学建模课程比较抽象、枯燥，需在教学过程中引进多样化的教学手段，激发学生学习兴趣。例如，可把传统的“黑板+粉笔+讲授”的教学方式与多媒体教学手段结合起来，这种改进后的数学建模教学模式可使学生在充满趣味的学习环境中进行学习，能够达到良好的教学目的。

3.3 组建专业型教学团队并结合学科专业加强实践教学

数学建模往往涉及不同学科之间的交叉，拥有跨学科与高素质教师的专业型教学团队对于数学建模课程的开展非常有利。神经网络数学建模要求教师不仅要具有扎实的数学理论知识与方法，还应具有现代物理学和控制理论方面的知识以及计算机技能。数学建模与传统的数学课程存在很大区别，为了解决实际问题，数学建模教学的实践环节必不可少，需要用到MATLAB和Mathematic等计算机软件来进行编程和数值模拟分析，并对学生进行技能培训和社会实践训练。

3.4 鼓励学生在毕业设计中融入数学建模思想并参加数学建模比赛

理工科和财经类学生可把数学建模思想融入到所在专业的毕业设计或毕业论文中。学校要积极组织学生参加校级、省级和国家级的数学建模竞赛，这会对提高学生的科研能力、综合素质、适应社会能力等方面起到积极作用，开阔了学生的视野。