一道中考数学动点问题解析

任永生

中考数学运动变化类的压轴题，题目展示涉及：单一（双）动点在三角形、四边形上运动;在直线、抛物线上运动;几何图形整体运动问题知识点涉及：全等三角形的判定与性质、特殊四边形形的判定和性质、圆的相关性质、解直角三角形勾股定理，相似三角形的性质。数学思想涉及：分类讨论、数形结合、方程思想。 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形。确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量（如角度、线段、周长、面积及相关的关系）的变化或其中存在的函数关系。

例：（动点与几何图形综合型问题）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。D是AC上的动点（点D与点A，C不重合），过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E。设CD=x，DF=y。

（1）求y与x之间的函数解析式;

（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值;

（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值。

【例题分层分析】（1）由已知求出∠C，可得到y与x之间的函数解析式;

（2）若四边形AEFD为菱形，则DF=DA，从而可列方程;

（3）若∠FDE=90°，你能证明四边形DFBE是矩形，四邊形CDEF是平行四边形吗？

【解题方法点析】

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。

解：（1）在Rt△ABC中，

∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴AB∠C=30°。

在△DFC中，DF⊥BC，则∠DFC=90°。

∵∠C=30°，∴DF=（0

（2）若四边形AEFD为菱形，则DF=DA，其中DF=y，AD=60-x。

-x，解得x=40。

（3）若∠FDE=90°，如图1所示，易证四边形DFBE是矩形，

∥FB.

∵FE∥AC，

∴四边形CDEF是平行四边形，

∴EF=CD=x。

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴EF=AD=60-x，

∴x=60-x，解得x=30。

若∠DEF=90°，如图2所示。

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=60，AB=30。

由勾股定理，得BC=3

∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°。

∵∠DFC=90°，

∴∠DFE=60°。而∠DEF=90°，∴∠EDF=30°。

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，CD=x，

∴DF

同理，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，DF=。

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∠EFB=30°，

综上所述，x的值为30或48。

？誗编辑 王彦清