画数学：让思维看得见

王菊 王建文

摘 要：“画图”是一种基于儿童的可视化学习方式。在教学中，教师通过“画图”的形式刻画数学问题，进行表达、示范、解释、构建等教学活动，使学习方式得到优化，提高学生画图能力，促进问题解决能力和思维能力的提升。

关键词：画图;可视化学习;思维刻画

“几何直观”作为十大数学核心概念之一，提倡利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。因此，加强示意图教学成为贯彻几何直观新理念的重要抓手。画图，作为一种策略来教给学生，学生可以根据自己的需要画图，用图表示自己理解的数量关系，以解决问题，它的导向是“能画图尽量画”。学生在各种形式的图形分析和解决问题的过程中提高数学素养。

一、画图成为一种自发的需要——“画一画就明白了”

第二学段的数学问题开始抽象化，很多复杂的问题的理解和分析更需要图的支撑和辅助。但是，这些图往往是教师主动提供的，是教师迫不及待画给学生看的，不是源自学生内心的需求，因此，当遇到这样的问题时，教师需要等一等，让画图成为学生自己的需要。

例如在长方体、正方体解题练习中，“将长方体沿着高截去3厘米，就变成了一个正方体，表面积减少了60平方厘米，求原来长方体的体积”。这个问题对于一般学生来说很难，学生直接读题后，发现有点说不清、道不明，他们能想到长方体去掉一节的画面，但是找不到表面积之间的关系。“一下子想不到办法怎么办”，在坦然面对困难的情况下，就需要一种策略帮助自己理解题意，厘清思路，诱发学生产生心理需要。此时学生想起了画图，主动采用画图的策略，为自己的思维提供拐杖。

二、积累画图的技巧——“图，可以这么画”

遇到困难时，学生有了画图的需要，但苦于平时没有掌握基本的画图技巧，就会有心无力，想画也画不了。因此，在教学环节中，教师要给予适切的画图指导，让学生在经历图式表征的过程中掌握画图技巧，积累画图经验。

1.正确范画指导，体验图的形成过程

在刚学习画示意图时，尤其是学习能力弱的学生不知道从哪下手，如何去画，因此教师的指导、示范就尤为重要。（1）指导学生跟教师一步一步来画，找数量关系。要提高学生标注信息和问题的能力，也要渗透图形的比例大小和数字大小之间的关系把握。在教师示范画出以后，让学生仿照重画一遍。（2）学生可边画边讲，或画好后互相讲解。教师在巡视过程中对有困难的学生一定要给予耐心的指导。（3）学生掌握了一定的技能后，可以放手让学生自己去画，教师给予适时的点拨。组织学生在分组交流或全班交流中讲清这样画图的道理。教师通过对比，一定要让学生体会用图解题的直观、形象，体会简洁、方便、易理解的特点。

2.建立辅助解题类画图标准

很多情况下，当学生拿起铅笔准备画图的时候，他们总是左手配一把尺子，根据题目信息精准画图。这样往往需要大量的时间。当老师准备开始反馈时，他们的图还没有画好，影响了教学的效率。对于辅助解题类的畫图，不需要非常精准，但也不能随心所欲，教师需要给学生建立一个合适的标准。

练习题：一个长6厘米，宽4厘米，高5厘米的大长方体，锯成棱长2厘米的小正方体，可以锯多少块？教师让学生自主动手画图验证。此时，有的学生拿出尺子开始精确画图;有的学生寥寥数笔画个草图;也有的学生不知从何入手，抓耳挠腮，东张西望……接下来，我们对学生画的图进行了交流比较，建立了画图解题的标准：这样画图的目的是帮助我们理解题意，所以不需要很精确，以免花费较多的时间，但是大致要有：数字上要有一个大小的比例;图形尽可能接近标准;标注信息很重要。

在交流比较的过程中，建立画图帮助解题的标准，有了这样的标准，既可以加快画图的速度，又能帮助我们分析题意，得到自己想要的信息，提高教学效率。

3.用自己能够表达的方式画图

小学阶段，我们对学生的画图要求不可过高，对于辅助解题的画图，只要基本符合问题的数量关系即可。由于每个学生理解水平的不同，在面对具体的数学问题时，我们要因材施教，鼓励学生用便于自己理解、能够表达的方式来画图表征题意。

例如“一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？”

生1喝了半杯，加满水，画了圈;生2把水和牛奶分开画了，而且第一次横着平均分2份，第二次竖着平均分了;生3觉得喝了两次，只要把这两次喝的画出来就行了，这样比他们简洁，也省时间;生4是画线段图。

画图能洞察学生思路，使思维外显，将他们的想象画出来，展现他们的思考力。没有画图，哪来的上述精彩，通过画图，展现思维路径，在比较交流的过程中催生更简洁的方法，尤其是第2、3两位学生，先横着平均分画出，再竖着平均分画出，其实就是分数乘法算式意义的图示了。

4.寻找画图断层，开设画图拓展课程

在课堂上，教师往往是在习题分析时，为了让更多的学生听懂，才开始画图，比如解决长方体、正方体的一些表面积和体积问题，如果没有正儿八经教过学生长方体的三视草图怎么画，标注数据有什么讲究，那么又怎能期望学生画出“切切分分”“增增减减”？这就是画图技能的“断层”。要让学生真正感受到“我要学会画”，就需要给学生时间，需要一节课一节课地去指导交流诊断练习。基于基础教育对拓展性课程的要求，可以开设“画数学”的拓展课程。课程设计主要分两类：一是作图基础类，以图形与几何内容为载体;二是辅助探究类，以线段图、几何草图为常用，辅以条子图、点子图、方格图、展开图、面积模型图等。

例如五年级下册“长方体正方体”画图课程设计：

第一次活动：画长方体的三视图。基于小学生的能力水平，以画俯视图为主，画出长方体上面、正面、右面的三视图。按无数据、提供长宽高数据、给出一个顶点的三条边补充画长方体三个层次进行教学。

第二次活动：画长方体展开图。（一四一型、二二二型、三三型）

第三次活动：画长方体切割图、拼组图（从数量：两个到三个再到多个;从方向：左右到上下到前后再到多方向）

第四次活动：画长方体挖洞图（挖在顶点、挖在棱上、挖在面上;挖通和不挖通，多方向挖通）

“画数学”不论内容和形式都是一个不断提升的过程，学生从一年级跟着老师画一一对应的草图，到三年级跟着老师画简单的线段图，再到高年级自己尝试画示意图，后续的画图能力需要前面的动手探究能力和思维分析能力作基础，并且需要掌握一些正确的画图方法。教学分析的过程中，可让学生运用集体的智慧和力量进行画图过程和结果的评析。在方法的对比中，要提高学生标注信息的能力，也要渗透图形的比例大小和数字大小之间的关系把握。简单地画图，充分发掘“图形”的教学功能，可以从各方面提升学生的数学素养。

参考文献：

[1]周菲.数学“童画”： 让儿童的思维“看得见”[J].教师，2018（1）.

[2]刘善娜.提升“画”力，构建“画数学”学科内部整合课程[J].数学教学通讯，2019（3）.

[3]王慧英.只是画个草图而已：六年级上册“圆环面积”错例的教学启示[J].数学教学通讯，2018（5）.

编辑 段丽君