借“模型”之力促教学相长

王青虹

摘 要：数学知识往往通过“类型化”的界定产生较为固定的模型，从“寻找模型的起点”“搭建模型的框架”“夯实模型的基础”三个方面解读小学阶段如何借构建“数学模型”之契机，引导学生看透数学问题的本质，巧妙理清解决问题的思路，以此实现教学相长、师生共进。

关键词：模型;教与学;小学数学

小学数学核心素养中指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。笔者认为，模型思想始终贯穿于整个小学阶段的数学学习中，无论是符号、字母公式、定律、性质、数量关系等，还是正儿八经以渗透“模型思想”为教学目标的“烙饼问题”“植树问题”“鸽巢问题”等，无一不是循“数学建模”的途径来解决问题的。在实际教学中，我们要立足学生的年龄和思维方式，为学生搭建自主探索的平台，让学生在解决问题的过程中经历模型的建构，并能合理地运用模型来解决某一类问题。

一、追根溯源，寻找模型的起点

数学来源于现实生活，却又“低”于现实生活。很多数学模型，往往是我们限定并刨除大部分干扰因素后的一种理想化状态，即对现实生活的一种抽象。因此这种“低配版”的“数学模型”很多时候并非我们想象得如此“高深”，尤其是小学低年级，我们要做到的是充分“读懂”学生，搭建起数学模型与学生发展认知的桥梁。如在教学一年级时，经常会碰到这样一类错题：

（1）2=（ ）-（ ），学生会填出2=（3）-（5），2=（2）-（4）这种错误答案;

（2）7-3=（ ）+1=（ ）+2=（ ）-4，学生会填出7-3=（4）+1=（5）+2=（7）-4这种错误答案。

很明显第二种错例，是学生不明白“=”的意义造成的，一味地单向计算出结果，与“开火车”口算7-3→（4）+1→（5）+2→（7）-4=3这类型的题目混淆起来。但第一种错例，我们往往会觉得匪夷所思，心里犯嘀咕“學生怎么连小数不能减大数都不知道？”面改作业的时候，就会很严肃地告诉孩子“只有大数可以减小数，3怎么能减5！”孩子们会乖乖地把错误答案订正了。若反复出现这种错误，老师大抵会反复强调。

深究原因，笔者联系第二种错例，发现了其中的“奥秘”。其实对于“=”，幼儿园和家长给孩子建立了一个错误的符号化模型：“=”的作用其实就是类似于“→”，即从左往右得出结果，下一步是什么。此后，对于“=”的意义再无涉及。课堂上教师也往往更注重“>”和“<”的教学，殊不知，孩子们固有的思维起点把“=”当作“→”，看到2=（ ）-（ ），算式的结果2在前面，就很自然地将算式翻译成2←（ ）-（ ），因此才会有2=（3）-（5），2=（2）-（4）这种错例，并非是学生不知道小数不可减大数。故（1）（2）两种错例其实是如出一辙，属于同一类错误，是因为学生脑海中并没有建构起“=”表示两边相等的这种符号化模型思想。而这一模型的建立，人教版教材在五年级上册“简易方程”这一单元中给出了最为形象、直观的载体——天平。一年级的学生即使对天平不熟悉，但天平和生活经验中的跷跷板是同一道理，学生易于理解。两边不一样重，天平就无法平衡，只有两边一样重的时候，天平才能保持平衡，就像“=”一样。借助天平在学生心中建立起“=”即为两边相等的模型思想。

二、因势利导，搭建模型的框架

在平时的教学中，组建一个数学模型并不是一蹴而就的，这个过程完全彰显了教师作为教学引领者的功能。老师通过适当的数学化训练策略，引导学生巧妙地抓住数学问题的核心本质，吸引学生自然而然地落入老师精心组建的模型“圈套”中。有时候因为学生对文字描述理解上的偏颇——难以理解或把握不住要点，无法将其形成准确而鲜明的表象。这时，可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表达的数学本质通过图示（图形、图表等）的方式形象地表示出来，给抽象的数学披上形象的外衣。如人教版三上“倍的认识”这一课，笔者摘录了一部分教学片段：

课件出示：

师：仔细观察，除了海星少、海螺多，海星和海螺之间还有什么关系？

生1：海星个数是海螺的一半。

生2：海螺数量是海星的2倍。

师：如果把3个海星看作一份，海螺有这样的几份？

师：怎样可以清楚地表示出这样的2份，让大家一眼就看明白？（将6个海螺3个1份圈出来）

师：海螺的个数里有2个3，我们还可以说，海螺的个数是海星个数的2倍。

课件出示：海星增加1个，海螺增加2个。

师：那现在海螺的个数又是海星个数的几倍呢？

生：2倍。

师：怎么想的？请你圈一圈。

生1：海螺的个数里有2个4。

生2：把海星的个数看作1份，海螺的个数有这样的2份。

课件出示：继续增加海星和海螺的个数。

师：你们现在还能看到海螺的个数是海星个数的几倍吗？

课件出示：

师：仔细观察，你有什么发现吗？

师：为什么每组海星和海螺的数量不一样，却都可以说是2倍的关系？

师：不管海星和海螺的个数怎么变化，把第一行海星的个数看作1份，第二行海螺里都有2个。

这样的1份，我们就说海螺的个数是海星个数的2倍。

课件演示：

师：第一行有这么多，第二行就摆出2个这么多，我们就说第二行是第一行的2倍。

这个教学片段，教师非常注重模型教学。从一开始引入海星、海螺的实物模型，帮学生理清“几个几”与“几倍”的关系，再通过几次增减海星、海螺的个数，引导学生发现，只要把海星的个数作为标准量即一份数，在海螺的个数中找到这样的几份，那海螺的个数就是海星的几倍，逐步实现对“标准量×倍数=几倍数”数量关系模型的初步感知。而这“圈一圈”的动作，又将具体的实物模型半抽象成图形模型，尤其是到后面直接略去实物，完全抽象成图形模型，堪称亮点，形象的图形倍比关系一目了然，根植学生脑海，为接下来教学线段图中的“倍比关系”作铺垫。

三、厚积薄发，夯实模型的基础

我们要试着“以新观旧”，有思考性地把新知置于旧知的结构之中，夯实原有的数学模型，用以解决新的数学问题，促进前后数学模型的合并统一。在教学完人教版四年级下册“三角形的认识”画“高”这一内容后，总有学生在作业练习中经常会手足无措，拿着手中的三角尺无处安放，不知道三角尺该与三角形的哪条边重合，明明给出了相应的“底”，却不自觉地把“高”画到了不对应的“底”上去了，更有甚者，拿着三角尺随便画一条“竖线”就自以为和“底”垂直了，还自信满满地标上直角记号。

从上图三个错例中可以看出，学生对三角形“高”的定义没有理解到位。于是，笔者又重新帮学生分析了三角形“高”的定义，尤其强调“画高”的三个步骤：一定顶点，二找对边，三画垂线。若已经指定“底”了，那就直接找到对应顶点画垂线即可。结果类似图1、图2这种错误已不多见，但对于钝角三角形“形外高”的画法部分学生依旧很迷茫，特别是“底”不是水平的时候，就毫无头绪了。尽管画钝角三角形的“形外高”是“画高”的拓展延伸，但学生出现困难，就说明他们对“相对应的底和高”的掌握是不到位的。

重新翻看教材对三角形和平行四边形“高”的定义，发现图形画“高”这个模型的原型其实就是四年级上册中“过直线外一点画已知直线的垂线段”，只不过多了几条干扰的边，造成学生的迷茫。学完“过直线外一点画已知直线的垂线段”，我们所有的练习中，直线外的这一点总是“老老实实”地待在直线的一側，最多把直线从水平旋转成倾斜角度。学生从来不需要对直线进行延长加工，就很顺利地画出了垂线段。

于是，笔者重塑了“过直线外一点画已知直线的垂线段”的模型，增加下图（2）（3）两个类型的习题。学生在练习的过程中，发现直线“不够长”时，就主动地延长了直线。同时，在作业中又布置了直线发生倾斜的情况如（4）（5）。

接着我们标上顶点，连上线段，学生一眼就分辨出这其实就是三角形“画高”的方法，尤其是对于画钝角三角形“形外高”时，为什么要延长对边也了然于心。出于这次模型改进的经验，笔者在新一轮四年级上册“过直线外一点画已知直线的垂线段”的新授课时，就加入了上面的练习，为之后学习各种图形“画高”打下基础。

一个好的数学模型其本质是对数学知识的吸收、拓展、消化及灵活应用，数学的教学无论是化抽象为形象，还是化新知为旧知，思考的核心都是着力实现“举一反三”“举纲张目”的教学成效，从而使学生能够有更多的时间、精力，生长出更丰富的思维触角，去进行有个性的、有生命力的、有创造性的数学学习，最终走向教学相长、师生共进的“共同富裕”。

参考文献：

[1]竺新波.巧用天平纠正等号认知的误区[J].数学月刊：小学版（数学），2018.

[2]张香等.注重模型教学 加强结构思想：“倍的认识”教学实录与评析[J].小学数学教育，2019（5）：33-34.

[3]许贻亮.为学生数学模型的建构做两道“减法”[J].小学数学教育，2013（Z1）：85-86.

编辑 王彦清