弱非线性动力学方程的Noether 准对称性与近似Noether 守恒量1)

张 毅

(苏州科技大学土木工程学院，江苏苏州 215011)

引言

在自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题，它们通常需要用非线性微分方程来描述.守恒量或第一积分在微分方程求解、约化以及定性分析方面发挥重要作用[1-3].利用对称性寻找守恒量是一个有效方法，如Lie 理论[4-7]、Noether 定理[8-13]和Mei 对称性[14-17].Lie 对称性是微分方程的不变性，因而在以微分方程表示的数学模型中Lie 对称性方法得到普遍应用[18-22].Noether 对称性依赖于作用量泛函，由于非线性微分方程一般不具有Lagrange 结构，因此通过Noether 对称性寻找微分方程的守恒量遇到了很大的困难.1998 年，Govinder 及其合作者基于Lie 点变换提出了近似Noether 对称性[23].近年来，近似对称性方法和近似守恒量研究取得不少成果[24-31].本文研究弱非线性动力学方程的Noether 准对称性，将Noether 对称性方法应用于具有小参数的非线性微分方程系统，分别基于Lagrange 框架，Hamilton 框架和Birkhoff 框架，证明了近似Noether 守恒量定理.文末以著名的van der Pol 方程，Duffing 方程，以及两自由度的弱非线性耦合振子为例，说明结果的应用.

1 Lagrange 框架下的近似Noether 守恒量

设在Lagrange 框架下，弱非线性动力学方程可化为一般完整系统的Lagrange 方程，有

其中，L=L(t,q,˙q) 为Lagrange 函数，Qs=Qs(t,q,˙q,ε)为非势广义力，ε 为小参数(ε1).取无限小变换

这里τ 和ξs是生成函数，υ 是无限小参数.如果成立

其中，∆G=υG，而G=G(t,q,)称为规范函数，则这种不变性称为系统(1)的Noether 准对称性.由式(3)可导出广义Noether 等式

不失一般性，设广义力为

相应地，设生成函数τ，ξs，以及规范函数G为

则广义Noether 等式(4)成为

定义1对于弱非线性动力学系统(1)，如果沿着方程(1)的所有解曲线，有

其中I=I0+εI1，则称I为系统(1)的近似守恒量.于是有

定理1对于弱非线性动力学系统(1)，如果广义Noether 等式(8)和(9)有解，则系统存在近似Noether 守恒量

将式(8)和式(9)代入式(13)，并利用方程(1)，可得

因此，式(12)是系统(1)的近似Noether 守恒量.证毕.

2 Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量

设在Hamilton 框架下，弱非线性动力学方程可化为相空间中一般完整系统的Hamilton 方程，有

这里τ，ξs和ηs是生成函数，υ 是无限小参数.如果成立

其中∆G=υG，G=G(t,q,p)为规范函数，则这种不变性称为系统(15)的Noether 准对称性.由式(17)可导出广义Noether 等式为

设广义力为

相应地，生成函数为

则广义Noether 等式(18)成为

定义2对于弱非线性动力学系统(15)，如果沿着方程(15)的所有解曲线，有

其中I=I0+εI1，则称I为系统(15)的近似守恒量.于是有定理2.

定理2对于弱非线性动力学系统(15)，如果广义Noether 等式(22)和式(23)有解，则系统存在近似Noether 守恒量

证明由于

因此，式(26)是系统(15)的近似Noether 守恒量.证毕.

3 Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量

设在Birkhoff 框架下，弱非线性动力学方程可化为广义Birkhoff 方程，有

其中，Rµ=Rµ(t,a)是Birkhoff 函数组，B=B(t,a)是Birkhoff 函数，Λµ=Λµ(t,a,ε)称为附加项，ε 为小参数(ε1).

取无限小变换

这里τ 和ξµ是生成函数，υ 是无限小参数.如果成立

其中∆G=υG，G=G(t,a)为规范函数，则这种不变性称为系统(28)的Noether 准对称性.由式(30)可导出广义Noether 等式为

设附加项Λµ为

相应地，生成函数为

则广义Noether 等式(31)成为

定义3对于弱非线性动力学系统(28)，如果沿着方程(28)的所有解曲线，有

其中I=I0+εI1，则称I为系统(28)的近似守恒量.于是有

定理3对于弱非线性动力学系统(28)，如果广义Noether 等式(35)和(36)有解，则系统存在近似Noether 守恒量

证明由于

因此，式(39)是系统(28)的近似Noether 守恒量.

4 讨论

首先，Hamilton 框架是Birkhoff 框架的特例.

实际上，若取

则Birkhoff 框架下的广义Birkhoff 方程(28)，广义Noether 等式(35)和(36)，近似Noether 守恒量(39)退化为Hamilton 框架下的Hamilton 方程(15)，广义Noether 等式(22)和(23)，近似Noether 守恒量(26).

其次，Lagrange 框架与Hamilton 框架等价.

实际上，令

则容易验证Lagrange 框架下的Lagrange 方程(1)，广义Noether 等式(8)和(9)，近似Noether 守恒量(12)等价于Hamilton 框架下的Hamilton 方程(15)，广义Noether 等式(22)和(23)，近似Noether 守恒量(26).

5 算例

5.1 van der Pol 方程的近似守恒量

著名的van der Pol 方程为[32]

试研究此系统的近似Noether 守恒量.

方程(43)可化为一般完整系统的Lagrange 方程，有

广义Noether 等式(8)和(9)给出

联立方程(45)和(46)，有如下解

生成函数(47)∼(49)相应于van der Pol 方程(43)的Noether 准对称性，由定理1，可以得到

式(50)∼式(52)是van der Pol 方程(43)的近似Noether 守恒量.

方程(43)也可化为其他形式的一般完整系统.例如

此时，广义Noether 等式为

则有近似Noether 守恒量

则有近似Noether 守恒量

结果表明，同一弱非线性动力学方程可以化为不同的完整非保守系统，同一近似Noether 守恒量可以相应于不同的Noether 准对称性.因此，利用Noether 准对称性方法求近似守恒量具有较大的灵活性.

此外，也可以在Hamilton 框架和Birkhoff 框架下计算van der Pol 方程的近似Noether 守恒量.

在Hamilton 框架下，方程(43)可化为相空间中一般完整系统.例如，取Hamilton 函数和广义力为

则广义Noether 等式为

方程(61)和(62)有解

由定理2，得到

这是van der Pol 方程(43)在相空间中的近似Noether守恒量.

在Birkhoff 框架下，方程(43)可化为广义Birkhoff 系统.例如，取

则广义Noether 等式为

方程(70)和(71)有解

由定理3，得

这是van der Pol 方程(43)在Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量.

显然，在3 种不同框架下可以得到van der Pol 方程相同的近似Noether 守恒量.

5.2 Duffing 方程的近似守恒量

著名的Duffing 方程为[32]

试研究其近似Noether 守恒量.

方程(78)可化为相空间中一般完整系统的Hamilton 方程，有

方程(80)和(81)有解

由定理2，可得到

式(84)和式(85)是Duffing 振子(78)的近似Noether守恒量.

5.3 弱非线性耦合振子的近似守恒量

两自由度的弱非线性耦合振子方程为[33]

试研究其近似Noether 守恒量.

令

方程(86)可化为广义Birkhoff 方程，有

广义Noether 等式(35)和(36)给出

方程(89)和(90)有解

生成函数(91)∼(93)相应于振子方程(86)的Noether 准对称性，由定理3，可得到

式(94)∼式(96)是弱非线性耦合振子系统(86)的近似Noether 守恒量.

6 结论

用分析力学的方法研究非线性微分方程的动力学性质具有重要的理论和实际意义.通常寻找微分方程的守恒量可采用Lie 对称性方法.实际上，也可以利用Noether 对称性方法.文章通过分析Noether 准对称性来探寻弱非线性动力学方程的近似Noether 守恒量.分别基于Lagrange 框架、Hamilton 框架和Birkhoff 框架，建立了Noether 准对称性的定义和广义Noether 等式，证明了近似Noether 守恒量定理，并通过三个经典问题，即van der Pol 方程、Duffing 方程和弱非线性耦合振子方程，展示了弱非线性动力学方程的Noether 准对称性与近似Noether 守恒量的计算.研究表明：Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量是Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量的特例，而Lagrange 框架下的近似Noether 守恒量等价于Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量.此外，由于将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的Lagrange 方程(1)或Hamilton 方程(15)或广义Birkhoff 方程(28)时,其动力学函数的选取是不唯一的，因此利用Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效，而且具有较大的灵活性.本文方法和结果可进一步推广应用于含有两个或更多小参数的或含有多个独立变量的非线性动力学系统.