偏微分方程中热传导模型的建立与求解

楚智媛

（吉林医药学院，吉林 吉林 132000）

1 偏微分方程

1.1 偏微分方程的起源与发展

偏微分方程最早起源于18 世纪，当时欧拉提出了弦振动的二阶方程，它是最早的偏微分方程。到了19 世纪，偏微分方程这门学科渐渐的发展起来，法国数学家傅里叶在《热的解析理论》中描述了热流动的问题，它给出了著名的傅里叶解法来求偏微分方程，同时他也是最早提出三维空间的热流动问题，他的解法为推动偏微分方程这门学科的发展贡献了巨大的力量。可惜的是，他当时只给出了一些解，但是没有证明解的收敛性。到了20 世纪，随着泛函分析等一些学科的发展，推动着偏微分方程的巨大发展。苏联的数学家索伯列夫扩大了对解的概念的理解，提出了广义函数的概念，继而法国的著名数学家洛朗·施瓦茨深入学习和研究，让偏微分方程这门学科又有了进一步的发展。

数学史上有许多著名的偏微分方程例如：不可压流体的不可压Euler 方程、几何学中的极小曲面方程、电磁学理论中的Maxwell 方程组、广义相对论中的Einstein 方程等。其实很多偏微分方程不仅跟数学有关，更多的是和物理相关的内容，由此可见，偏微分方程理论与求解在推动社会科技进步与发展中起着至关重要的作用，因此我们对求解偏微分方程的研究和求解从未停止过。偏微分方程的求解一直是数学家潜心研究的领域，因为它极其复杂，有的方程是无法给出具体的解析解的，所以还有很多偏微分方程是在论证解的存在性，然后通过其他实验或者是数值解法进而给出一个可能满足某偏微分方程的解。

1.2 偏微分方程的预备知识

偏微分方程就是指给出的方程当中含有未知函数及其偏导数的函数方程。偏微分方程都是指的多元函数，如果一元函数的话那就是常微分方程。我们之前在学习常微分方程的时候知道，如果常微分方程要是有解则它必有无穷多个解，那么拿到偏微分方程中来看的话，可以知道偏微分方程的通解也会含有任意元素。但是随着我们的求解会发现，偏微分方程是很难求解的，有的甚至给不出通解的表达式，于是才有数学家会退而求其次证明解的存在性。我们一般研究的是二阶偏微分的求解问题，那么二阶线性偏微分方程的基本形式如下：

式中：L为线性偏微分方程算子，x为自变量，i，j表示正整数，xi，xj代表分量，m为正整数，Rm为实数域，aij（x）二阶偏导数的系数，bi（x）为一阶偏导数的系数，c，u，f都是关于自变量的函数，f在偏微分方程中称为自由项，当f=0 时是齐次二阶线性偏微分方程组，当f≠0 时称为非齐次二阶线性偏微分方程组。二阶偏微分方程一般分为椭圆方程、抛物方程、双曲方程3 种。那么如何确定二阶偏微分方程的类型呢，我们可以使用二阶项数的系数矩阵来确定。如果系数矩阵是正定的或者是负定的，那么它就是椭圆方程。如果系数矩阵是半正定的或者是半负定的，那么它就是抛物方程。如果系数矩阵是不定的，那么它就是双曲方程。其中椭圆方程与时间t无关，称为稳态方程，抛物方程和双曲方程与时间t有关，所以称为发展方程。

1.3 二阶偏微分方程的定解问题

这里我们以发展问题为例，要想让偏微分方程有唯一的解，我们需要给这个方程加上一个初值条件和边值条件。边值条件中有3 种类型：

Dirichlet 边界条件（第一边值条件）

Neumann 边界条件（第二边值条件）

Robin 边界条件（第三边值条件）

式中：Ω 为边界，n是上每一点的外法向，为边界分布，α表示系数。

二阶偏微分方程、初值条件、边值条件3 个元素共同构成了定解问题。

2 热传导模型

热传导[1]是指介质内无宏观运动时的传热现象，更严格的说是指固体中才是真正的热传导。热传导是指物体或者系统内存在着温度差，热量可以从温度高的地方流入温度低的地方，其中热传导的速率由物体内温度场的分布情况所决定。我们通过热传导模型建立偏微分方程，偏微分方程的解可以刻画出热量传递期间函数的变化情况。热传导问题是描述在某个特定的区域内，温度是如何随时间发生变化的。热传导模型分为一维和三维的，该文我们将以一维热传导模型为例，给出方程的推导过程。令x为位置，t为时间，为x位置在t时刻的温度，Q为热量，设一维杆的截面面积为S，体积为V，我们根据能量守恒定律和傅里叶热传导定律能得出下面的式子。

由能量守恒可知，从t1时刻到t2时刻热量的变化为

式中：c为单位质量的物体改变1 ℃所需要的热量即为比热，ρ为密度，两边同时取三重积分则为

再由傅里叶热传导定律得到，从t1到t2时刻通过物体的热量为

其中n为外法向，再由高斯公式推导可知一维热传导模型公式[2-3]为：

同理，我们还可以把热传导模型推导到三维空间上，该文我们就不再过多赘述了，其方法和一维热传导方程的推导过程相同，因此三维热传导模型公式为：

3 利用差分法求解一维热传导方程问题

导数实际上就是极限值，我们想用差商来代替微商，于是使用差分法来求解偏微分方程问题。差分法[4-5]是一种解决微分方程的近似解法，能够给出近似解。它是通过有限次差分来近似导数，从而寻求方程的近似解。用更简单的一句话来说就是把导数用有限差商来替代，从而把方程和边界条件近似地改成差分方程来表示，把微分方程的问题改成代数方程的问题。综上，就是用差商来近似代替微商，公式如下：式中：y（x）表示在点处的函数值，y（x+Δx）表示在x+Δx处的函数值，Δx表示增量，d 是导数的符号。此外，在使用差分法求解一维热传导问题时，我们还要知道泰勒公式和一阶中心差商公式，具体公式如下：

式中：f为函数，x为自变量，h为增量，d为一阶导数，d2为二阶导数，d3为三阶导数2!=2×1，3!=3×2×1，Δf，表示差分，表示自变量的增量。由此，我们可以根据上述2 个公式推导出二阶中心差商公式，如下：

差分法求解的具体过程如下。首先，知道求解区间，规定整个模型的长度为l，然后把求解的区域离散化，将变量x进行n等分（h为x方向上的步长），变量t进行m等分（τ为t方向上的步长），给出相应的坐标表达式：

式中：xi表示x的第i个分量，tk表示t的第k个分量，T为总时间。根据上述的离散化，我们将整个区域分成若干个小网格，我们要求每个网格节点的函数值，然后套用差分法来求解偏微分方程的解，这里为了我们今后书写方便，我们给出简化记法：

其次，化简一维热传导问题

由此我们可以看出，这个区域的每个网格节点处的函数值都可以用与它下方相邻的3 个点的函数值来给出。综上，一维热传导模型问题的差分法为：

最后，根据上述迭代公式，我们可以使用相应的数学软件，例如MATLAB 来编程，进而求解出偏微分方程的解析解。

4 结语

偏微分方程在数学学科当中有着非常重要的地位。因为我们现实生活中遇到的问题都是多变量的，建立的模型中变量越多越能够很好的模拟现实生活，多变量问题就可以转化成偏微分方程求解的问题。数学发展至今，偏微分方程求解问题仍然是各个科学家们潜心研究的重要领域，一直在寻找新的问题突破口。其中，热传导模型问题是非常典型的偏微分方程问题，它的求解有很多方法，差分法是比较好理解和好操作的一种。除差分法外，还可以利用MATLAB 中的pdepe 函数、toolbox工具箱来求解或者是蒙特卡洛求法等。该文给出了一维热传导模型问题的求法，我们可以比较一下其他算法和差分法哪个更简单实用，还可以扩充维数，去研究三维问题，探讨一下三维热传导模型问题使用哪种方法等方便、更能简化运算时间。