Crank-Nicolson/sinc方法求解带弱奇异核的偏积分微分方程

罗曼 徐大 吴珍珍

摘   要： 带弱奇异核的偏积分微分方程能够表征记忆材料等新材料的机理和特性。采用Crank-Nicolson/sinc组合方法，利用Crank-Nicolson方法的高收敛精度，结合sinc配置方法的指数收敛，在时间方向采用Crank-Nicolson方法，在空间方向采用sinc配置方法，对带弱奇异核的偏积分微分方程进行离散，得到全离散格式，进而推导出相应的矩阵形式。全离散格式在时间方向上能达到1.5阶收敛，相比欧拉方法高0.5阶;在空间方向上也能达到比线性收敛更快速的收敛速度。Crank-Nicolson/sinc组合方法可推广到分数阶偏微分方程等更加复杂的方程的求解，以推动记忆类新材料等研发技术探索。

关键词： 弱奇异核;偏积分微分方程;sinc配置方法;Crank-Nicolson方法;全离散格式;指数收敛

中图分类号：O241.82    文献标识码：A    文章编号：2095-8412 （2020） 05-081-05

工业技术创新 URL： http：//gyjs.cbpt.cnki.net    DOI： 10.14103/j.issn.2095-8412.2020.05.015

引言

随着科学技术的发展，人类发现了具有记忆功能的材料。这种材料在高温下表现出粘弹性或流变性，这些性质可由抛物与双曲耦合的偏积分微分方程或方程组来表征。

带弱奇异核的上述偏积分微分方程的求解更是一大难题。对这类偏积分微分方程进行研究，将为记忆材料的机理和特性研究提供更准确的数据依据，大幅推动新材料科学技术的发展。

专家学者对这类方程作了大量的研究，如陈传淼等[1]在时间上采用向后欧拉格式，在空间上采用有限元方法，对这类方程进行了数值离散，并实现了空间方向上的4阶超收敛;徐大[2]采用有限元方法，考察了这类方程在Crank-Nicolson格式、Euler格式下的带权误差估计;罗曼等[3]采用拟小波方法对方程进行了离散;Yan等[4]在空间上采用正交样条配置方法，也实现了方程的4阶收敛;Pani[5]采用H1-Galerkin混合有限元方法对方程进行了数值求解。

鉴于sinc配置方法（以下简称“sinc方法”）能实现指数收敛，本文探讨如下形式的带弱奇异核的偏积分微分方程：

首先介绍关于sinc方法的理论知识;然后联合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法（本文称之为“Crank-Nicolson/sinc方法”），对式（1）和式（2）进行离散;最后给出数值算例，验证该离散格式的高精度收敛性。

1  sinc方法理论知识

sinc函数的表达式为

当该级数收敛时，一般采用有限项来逼近函数。

定義2  令为内解析函数的集合，且满足，其中，且在边界上满足。将定义为所有满足以下条件的集合：存在一个常数，使得（其中对）且解析的函数的集合。

根据上述定理，可以推导出式（1）和式（2）在空间方向的离散格式。以下再给出离散格式中需要的关于sinc函数的导数在节点处的函数值的引理。

2  离散格式构建与矩阵运算转换

2.1  离散格式构建

继续考虑式（1）和式（2）。在时间上采用Crank-Nicolson格式，积分项采用拉格朗日两点插值公式，则有

2.2  矩阵计算转换

通过式（11）的矩阵计算可以求得式（1）和式（2）的数值解。

3  数值算例

本章通过数值算例来验证离散方法的可行性。本章规定代表时间方向的网格剖分数;代表空间方向的网格剖分数;代表空间方向步长，;代表时间方向步长;有待求解。

若，则式（1）和式（2）有精确解相对应。表1给出了和时在时间节点处的和误差，由此可知计算精度很高，且当越大时，误差越小，收敛速度越快。图1给出了当，，时的数值解和精确解的比较结果。由图1可知，联合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法计算得到的数值解是非常接近精确解的。

4  结论与展望

本文采用Crank-Nicolson/sinc联合方法，研究了一类带弱奇异项的偏积分微分方程。根据计算结果可知，数值解非常接近精确解，尤其当M=64，N=100时，L2误差可以低至3.418 01e-06，从侧面反映了sinc函数指数收敛的优越性。

总之，Crank-Nicolson方法和sinc方法相结合，不仅可以用于求解简单的偏积分微分方程，也对带弱奇异核的这类方程的求解有巨大的帮助。今后可以将这种方法推广到分数阶偏微分方程等更加复杂的方程中去，进一步推动新材料等科学技术的发展。

基金项目

湖南省教育厅科研项目支持（项目编号：17C0795，17C0797）

参考文献

[1] Chen C， Thomée V， Wahlbin L B. Finite element approximation of a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel[J]. Mathematics of Computation， 1992， 58： 587-602.

[2] Xu D. On the discretization in time for a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel I： smooth initial data[J]. Applied Mathematics & Computation， 1993， 58： 1-27.

[3] Luo M， Xu D， Li L. Crank-Nicolson Quasi-Wavelet Based Numerical Method for Volterra Integro-Differential Equations on Unbounded Spatial Domains[J]. East Asian Journal on Applied Mathematics， 2013， 4： 283-294.

[4] Yan Y， Fairweather G. Orthogonal Spline Collocation Methods for Some Partial Integrodifferential Equations[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 1992， 29（3）： 755-768.

[5] Pani A K， Fairweather G. An H1-Galerkin Mixed Finite Element Method for an Evolution Equation with a Positive-Type Memory Term[J]. Siam Journal on Numerical Analysis， 2003， 40（4）： 1475-1490.

作者简介：

罗曼（1987—），通信作者，女，湖南益阳人，博士，讲师。主要研究方向：偏微分方程数值解。

E-mail： lmlwlx@163. com

徐大（1960—），男，湖南株洲人，硕士，教授。主要研究方向：偏微分方程数值解。

吴珍珍（1981—），女，湖南娄底人，硕士，讲师。主要研究方向：计算机应用。

（收稿日期：2020-07-28）