元认知：基于思维的数学学习——以“三角形的面积”教学为例

江苏省徐州市贾汪区江庄镇中心小学 卢兴本

元认知是美国心理学家J.H.弗拉维尔提出的一个关于应用心理学的概念。在日常教学中，有学生会把教材中的认知内容纳入自己的知识体系，把数学知识进行前后贯通，横向理解，这是思维内化；也有部分学生读不明白题意，说不清楚题目中的逻辑关系，得不出正确的结论。这两种情况都和元认知水平的高低有密切关系。笔者以《三角形的面积》教学为例，浅谈在数学课堂提高学生元认知水平的具体做法与体会。

一、在教学预设中寻找元认知，让思维发生

师：今天，老师给同学们带来了一则故事，埃及国王想要测量金字塔的高度，有一个叫法涅斯的学者利用太阳的影子测量出了金字塔的准确高度。法涅斯利用自己的身高在某一时刻和影子一致，从而推导出来金字塔的影子在此时和金字塔的高度应该也一致。法涅斯用到的方法在我们的数学学习中十分常见。请看大屏幕，比一比，这两个图形的面积一致吗？

生1：两个图形不一样，不一定相等。

生2：我感觉是相等的。

师：那么我们来观察一下，看看这两个图形的面积究竟是否相等。（PPT 显示图形的切割与组合）

师：相等吗？

生：相等。

师：我们把原来不一样的两个图形经过重新切割与组合，就变成了一样的图形，这个过程就叫转换。转换可以把复杂的图形转化为简单的图形，也可以把复杂的关系转化为简单的关系。那么，《曹冲称象》的故事是如何转换的？

生：曹冲把大象转换为一块块石头，利用船载重物会沉入水中的原理，测量出了大象的重量。

师：是啊，转换是一种重要的问题解决策略，目的就是化繁为简，把没有学过的知识转换为学过的知识。

在这个教学环节中，教师通过两则通俗易懂的小故事让学生认识了“转换”这个知识点，发挥元认知的价值，让每个学生从身边事例当中发现认知的意义，感受知识学习的乐趣。

二、在课堂教学中展现元认知，让思维深入

要让学生经历对知识的重构过程，以“三角形的面积”教学为例。

1.通过操作与比较对知识进行辨析

师：同学们，下面让我们利用学具来进行探究。选择两个一样的三角形，尝试进行组合。

学生根据选择的材料进行探索，并展示、汇报。

生1：我用两个一样的直角三角形拼成了一个长方形。拼成的长方形面积=底×高，每一个直角三角形的面积就等于这个长方形面积的一半，所以这个三角形的面积=底×高÷2。

师：同学们，从他的发言中，你听明白了吗？那么，是不是只要是三角形，面积就是平行四边形面积的一半呢？（教师拿出两个不等底等高的三角形和平行四边形学具，让学生对比）

生2：我发现要抓住三角形和平行四边形的底和高来比较，才能得出正确的结论。

师：同学们分析得很有道理，我们一起再来回忆拼图过程。（板书：三角形的面积=底×高÷2）

在这个教学环节中，学生通过两次比较与尝试，得出了对三角形面积的正确认识，在思维的不断深入中，经历了对三角形面积进行初步认识的元认知过程。

2.代入符号让知识经历二次建构

师：同学们，三角形面积计算公式当中，“底×高”指什么？ “÷2”指什么？

生1：“底×高”表示平行四边形的面积，也就是两个完全一样的三角形的面积，所以又要 “÷2”。

师：如果我们用“a”表示三角形的底，用“h”表示三角形的高，“S”表示三角形的面积，那么计算三角形面积的字母公式可以写成什么？

生1：S=ah÷2。（教师补充板书）

学生的认知随着对数学问题的探究不断深入，学生通过对平行四边形面积向三角形面积的公式转换，实现了思维向知识深处进发。

三、在课后实践中运用元认知，让思维存在

发明家富勒曾说：“三角形是宇宙起源的未来形式。”三角形的独特存在是我们判断实物之间联系的重要基础之一。在课后实践中，笔者以“红领巾”作为测量对象，让学生搜集有关红领巾的资料，让学生根据三角形面积公式计算其面积。

师：同学们，假如我们想测量红领巾的面积，你准备怎么做？

生1：我把红领巾当作一个三角形，首先测量它的底，再测量它的高，然后根据公式S=ah÷2 计算它的面积。

生2：我会找两个完全一样的红领巾，拼成一个平行四边形，先得出平行四边形的面积，然后除以2，就得到红领巾的面积了。

师：同学们，通过这节课的学习，课后，你们会利用三角形的面积公式做些什么呢？

生1：利用这个公式测量家中三角形物品的面积。

师：同学们，得出三角形面积公式的途径有很多，我们可以用推导、切割、“数格”等许多方法来研究三角形的面积，课后同学们继续探究，你们还会有新的收获。

上面的教学环节可以理解为认知与思维的碰撞过程，也是渗透学科“立德树人”的过程。经历这一过程，有助于凸显知识的生活应用。

总之，基于元认知，让学生不断调整学习状态，在思维视角下去学习知识、积累经验、提高能力。在学习过程中，从学生的元认知着手，鼓励学生呈现“自我”，逐步提高元认知能力，发展数学核心素养。