熟练掌握方程知识 灵活求解各类问题

文 陈 林

二元一次方程建立在一元一次方程基础之上，我们也进一步学会用新的方程模型来刻画生活实际问题。二元一次方程的学习可以类比一元一次方程，但由于未知数的个数和方程的解的个数都发生了改变，所以要特别注意两者的区别。在本章中，同学们首先要学会解二元一次方程组，体会从二元一次方程组转化为一元一次方程，从复杂到简单的化归过程。下面以一些中考题为例进行分析，以帮助同学们理清思路，熟练掌握方程知识，从而灵活求解各类问题。

一、充分利用解的定义

例1（2019·江苏常州）若是关于x、y 的二元一次方程ax+y=3 的解，则a=______。

【分析】方程的解就是代入方程后能使原方程左右两边相等的未知数的值。所以本题直接将方程的解代入，然后得到一个关于a的方程，求出a即可。

解：将x、y代入原方程，得a+2=3，所以a=1。

变式1若关于x、y 的二元一次方程组的解也是二元一次方程x-2y=10的解，则k的值为_______。

【分析】本题中，方程组的解也是方程x-2y=10 的解，说明这三个方程有公共解。

解：根据题意，联立新的方程组解得再把这组解代入x+y=2k，得到k=-4。

【点评】方程的解与方程组的解，都是使方程成立的未知数的值。同学们一旦看到题目中有方程（组）的解这个条件，就可以采用代入的方法加以解决，也可以根据方程组的解建立新的方程组。

二、灵活选用求解方法

例2（2016·江苏无锡）解方程组：

【分析】用加减消元法消去未知数y，求出x 的值，再代入求出y 的值即可。也可以采用代入消元法，将①变形后代入②，消去未知数y，两种方法的计算量都差不多。

解：（加减消元法）由①得2x+y=3，③

③×2-②得x=4，把x=4 代入③，得y=-5，故原方程组的解为

（代入消元法）由①得y=3-2x，③

把③代入②，得x=4，把x=4 代入③得y=-5，故原方程组的解为

变式2解方程组

【解析】观察这个方程组的系数，就可以发现用加减消元法更加简便。

解：由①得2x+2y=3，③

【点评】中考中，关于这一章考查频率最高的就是解二元一次方程组。同学们要采用最简便的方法，这样既快速又准确。对于代入消元法，建议当某个未知数的系数为1 时选择此方法，而加减消元法适用于更加普通的方程组。

三、整体考虑求值问题

例3（2019·江苏南通）已知a、b满足方程组则 a+b 的值为（ ）。

A.2 B.4 C.-2 D.-4

【解析】对于本题而言，很多同学最先尝试的是先解方程组，求出a 和b，再计算a+b 的值。其实，我们只要仔细观察这个方程组，就会发现方程组未知数的系数有一定的规律，将两个方程相加就可以得到5a+5b，进一步就可以得到a+b的值。

解：两方程相加，得5a+5b=10，所以a+b=2。故选A。

变式3（2019·江苏常州改编）如果a-b-2=0，那么代数式1-2a+2b 的值是________。

【解析】本题是把a-b 看成一个整体来进行求解，但是我们在对要求的代数式变形的时候，要注意符号的变化。

解：由题意得a-b=2，所以1-2a+2b=1-2（a-b）=1-2×2=-3。

【点评】对于一些方程组的求解问题，我们不要一开始就直接解方程组，而是要在观察的基础上进行整体考虑，这是解方程组问题时非常重要的整体思想，当然最关键的还是要能发现这个整体部分。上述问题若是直接去解方程组，计算量就会大大增加或根本无法解。所以，遇到方程组类的问题，我们首先应该仔细审题，不仅要看题目的条件，还要看题目的问题，进而选取最合适的方法进行解答。