非线性项变号的分数阶微分方程的边值问题

闫璐

摘 要 首先，介紹了非线性项变号的分数阶微分方程边值问题解相关的定义及重要引理。讨论Caputo型非线性项变号的分数阶微分方程边值问题解的存在性以及利用Green公式求边值问题的解;最后，对该问题上一些理论进行推广与展望。

关键词 Caputo型非线性项分数阶微分方程 Green函数

中图分类号：O175.8文献标识码：A

0引言

近年来，分数阶微积分在物理学领域的量子力学方面和固体力学方面应用、环境力学领域诸多涉及反常扩散的问题、在黏弹性材料的本构关系研究领域中应用;信号处理领域、天气预报领域、生物医学领域、地震奇异性分析领域等。

非线性分数阶微分方程边值问题是目前一个重要的研究方向。二十世纪以来，针对分数阶非线性微分方程边值问题的主要工具有：Green函数、Laplace变换、上下解法、Adomian分解方法、Schauder不动点定理、Guo-Kransnoselskii不动点定理法、Banach不动点定理、Leggett-Williams不动点定理等。

本文考虑Caputo型分数阶非线性微分方程的边值问题，

1预备知识

引理（一）：Green函数满足下面三个条件：

（1）对任意的，;

（2）;

（3）。

则称为分数阶微分方程的Green函数。

这里是一些R-L型分数阶算子的线性形式。

引理（二）：设函数定义在区间上，则其阶左Caputo型分数阶导数的Laplace变换公式为：

，。

引理（三）：如果满足：任意的常数，存在，属于所有实数，则满足，且，那么在区间上存在唯一解。

引理（四）：令，如果，则分数阶微分方程。

有唯一解，，，其中

2主要结果

考虑线性项变号的分数阶微分方程的边值问题

（1）

定理（一）：分数阶微分方程（1）在（0，1）上取值，那么方程（1）的唯一解可表示为：，

其中                      （2）

证明：微分方程（1）的解

，

将边值条件代入上式，

，。因此，微分方程（1）的唯一解可表示为：

定理（二）：根据以上定理，下面我们给出两边边值Green函数具有的性质：

（1）;

其中

（2）;

其中

定理（三）：Caputo分数阶微分方程式两点边值问题：

（2）

当，（2）式的解为，其中

例1：求解分数阶微分方程的边值：

（3）

解：该方程的解可表示为：，其中，

代入方程（3）

（下转第277页）（上接第225页）

求出方程（3）边值问题解为：

例2：求解分数阶微分方程的边值：

（4）

解：该方程的解可表示为：，，其中，

则，

由已知，，，从而

于是，所求Caouto型分数阶微分方程（4）边值问题的解为：

基金项目：2018年陕西省教育厅科研计划项目资助（项目编号：18JK0987）。

参考文献

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