“MPCK”：图形与几何教学研究的全新视角

侯正奎

（盐城市尚庄小学江苏盐城 224023）

20世纪80年代，美国著名学者舒尔曼提出了“学科教学知识”（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）概念。通过这一概念，人们认识到教师教学工作的专业性、独特性，认识到教师在教学中不仅需要学科的本体性知识，更需要教育学、心理学等方面的教学法知识。而且，从某种意义上说，教师的教学法知识比本体性知识更为重要。而“MPCK”就是数学（Maths）学科知识与教学法知识的结合体，“MPCK”知识为教师的数学教学提供了全新的研究视角。本文以小学数学图形与几何知识板块教学为例，介绍“MPCK”视角下的教学实践操作。

一、基于“MK”视角，用“高观点”统领数学知识

“MPCK”知识可以初步分为数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、关于学生的知识（CK）等。对于学生的数学学习来说，首要的问题就是“学什么”的问题，这是数学课程本体的问题，也是最为核心的问题。著名数学教育家张奠宙先生认为，“学什么”永远比“怎样学”更为重要。因为“学什么”牵涉的是教学的方向问题，而“怎样学”牵涉的是教学的方法问题、策略问题、路径问题。基于“MK”视角，教师要引导学生从“高观点”视角来统领数学知识。

数学知识不仅包括显性的数学知识，而且包括隐性的数学知识，如数学思想方法、核心观念等。就图形与几何知识而言，其外在的特征、面积公式、体积公式等就是显性知识，而推导过程所蕴含的思想、方法、策略等就是隐性知识。对于图形与几何知识，教师不仅要引导学生认识其本质，更要认识到数学知识之间的关联，要从高观点、大思想的视角认识数学知识。比如，教学“多边形的面积”时，从“MK”视角看，不仅包括长方形知识、正方形知识、平行四边形知识、三角形知识和梯形知识，而且包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积的推导过程。换言之，数学知识教学不仅包括结果性知识，而且包括过程性知识。通过引导学生经历推导过程，让学生形成图形面积推导的转化思想，形成剪拼、平移、旋转、分割等的图形面积的推导策略。不仅如此，教师可以从知识视角对多边形的面积进行统整。比如，动态地展示长方形的面积、正方形的面积、平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积，就能通过梯形的面积公式将其他图形的面积公式进行有效整合。如“三角形的面积可以看成是上底为0的梯形面积公式”“平行四边形的面积可以看成是上底和下底相等的梯形面积公式”“长方形的面积可以看成是上底和下底相等、高与宽相等的梯形的面积公式”，等等。这样的一种高观点，有助于学生深刻理解数学知识本质，把握数学本质知识之间的关联。

基于“MK”视角的数学知识，表征了教师对数学本体性知识的基本看法，包括数学的核心概念、思想方法等，教师要对数学知识进行统揽、组织。教学中，尤其要把握数学知识中蕴含的数学思想方法。因为数学思想方法是数学本体性知识的灵魂，是最具活力的数学知识，能够发挥迁移、统领、概括等作用。

二、基于“CK”视角，用“学生立场”观照数学学习

学生数学学习的效能，不仅取决于教师对数学本体性知识的解读，更取决于对学生具体学情的把握。基于“CK”视角，教师要努力站到“学生立场”上去，从“学生立场”“学生视角”去观照数学知识。只有从“学生立场”来观照数学知识，数学教学才能取得应有的实效。因而，教师不仅要了解学生普遍性的年龄特征、心理规律等，更要把握每个学生的认知特质、认知倾向，把握学生的学习态度、相异构想等。

对于图形与几何这一部分内容，不同的学生会做出不同的解读、探索。有学生喜欢对图形与几何进行动手操作，有学生习惯于对图形与几何直观认知，有学生能够对图形与几何进行有效推理，等等。因此，在图形与几何这部分内容的教学中，我们常常发现一部分学生擅长于图形的变换，另一部分学生擅长于公式推导等。学生对不同的图形与几何板块内容的学习适应性是不同的。比如，教学苏教版四年级“三角形的内角和”时，有学生进行撕角法的直观操作，让三角形的3个内角拼成一个平角；也有学生过三角形的一个顶点画出对边的平行线，根据直觉判断相等关系的角（同位角、内错角等），从而洞察三角形内角和是180°；还有学生通过画三角形的高，将锐角三角形、钝角三角形分割成两个直角三角形进行推理等。不同的学生显示出认知的差异，在教学中教师只有把握好学生的认知差异，才能有效地培养学生的数学学习态度、学习能力，才能提升数学教学的效能。

基于“CK”视角，教师要把握学生的已有知识经验，把握学生的可能认知路径，把握学生理解的发展历程，认识到学生学习数学知识的优势、障碍等。只有这样，才能让图形与几何教学切入学生的最近发展区，才能让学生以积极的态度融入数学学习之中来。

三、基于“PK”视角，从“教学法”来审视教学

传统的数学教学，往往着眼于学生是否掌握数学知识，这种掌握主要是对结果性知识的掌握。基于“PK”视角，从“教学法”来审视教学，我们不仅要考量学生对结果性知识的掌握，更要考量学生获得数学知识的合理性。在数学教学中，教师要注重学生对数学问题的表征，注重学生对问题解决策略的选择。

因而，如何将“学术形态的数学”转化成“教育形态的数学”，如何有效选择和组织教学内容、确定教学方法，如何盘活学生的数学思维、催生学生的数学想象，如何激发学生的学习动机、评价学生的学习结果等，就成为“PK”视角下教师教学应当注重的问题。由于教学法知识的差异，同一个数学知识，不同教师会做出不同的教学设计，有的教师课堂教学平平淡淡，而有的教师课堂教学则风生水起。比如，教学苏教版六年级“圆锥的体积”时，有的教师会将这部分内容研发成“探究性教学”，有的教师将这部分内容研发成“验证性教学”，不同的教学有着不同的旨趣。一般来说，“经验性知识”适合于“探究性教学”，而“超经验性知识”适合于“验证性教学”。“探究性教学”注重的是让学生进行思考、探究，注重的是让学生进行发现。而“验证性教学”注重的是让学生大胆地猜想、小心地求证。以“验证性教学”为例，首先让学生提出猜想，有的学生猜想圆锥的体积应当是等底等高圆柱体积的一半，因为等底等高的直角三角形面积是长方形面积的一半，而直角三角形沿着直角边旋转形成圆锥，长方形沿着长或宽旋转形成圆柱。但通过实验验证后，学生很快就否定了自己的猜想，进而形成新的猜想：圆锥的体积是等底等高圆柱体积的三分之一。在通过实验验证之后，学生获得的猜想并不一定正确，必须进行有效的验证。

在小学数学教学中，从“MK”视角分析，教师对数学本体性知识有清晰的认知；从“CK”的视角分析，教师要尽可能深入了解学生，掌握学生具体学情，关注学生学习差异；从“PK”视角分析，教师结合学生认知特点，选择适当的方法进行教学。通过不断的学习研究，教师不断完善自身的“MPCK”，逐步建构最佳的“MPCK”结构，进而促进自身的专业发展。