形状记忆合金数值模型的不确定性分析

李金朋 陈城 侯和涛

摘 要：形状记忆合金（shape memory alloy，简称为SMA）具有“超弹性”，即在受到应力而发生较大变形并卸载后，可以恢复原始形状，并在这个过程中耗散能量，在建筑抗震和桥梁振动控制中具有广阔的应用前景。SMA的模型参数通常由优化方法来确定，然后用于装有SMA装置的结构地震时程响应分析中。利用Metropolis-Hasting算法（简称为MH算法）中的改进算法DRAM方法（延迟拒绝及自适应采样），基于经过“预拉伸”和热处理的SMA棒材循环拉伸试验结果，对SMA改进的Graesser & Cozzarelli模型参数进行采样，从SMA的本构模型参数和耗能能力两个方面分析了SMA材料的不确定性。建立了各参数的后验分布，并得到了参数两两之间的相关性，结果可用于概率模型的建立及基础模型数学形式的研究。研究表明，在累积概率密度为15%时，材料的能量耗散能力相对误差高達20%;累积概率密度为85%时，相对误差为10%。

关键词：形状记忆合金;不确定性分析;马尔可夫链蒙特卡罗方法;概率建模

中图分类号：TU512.9. 文献标志码：A 文章编号：2096-6717（2020）06-0112-07

Abstract： Shape memory alloy（SMA） has "super elasticity"， that is， it can recover original shape after deformation and unloading due to stress， and dissipate energy in this process. It has broad application prospect in seismic control of buildings and bridge vibration. The model parameters of SMA are often determined through optimization and treated as deterministic for dynamic analysis of structures with SMA based devices. In this study， the modified Metropolis-Hasting algorithm-DRAM algorithm， which is a combination of delay rejection and adaptive sampling， is utilized to characterize the uncertainties in modified Graesser & Cozzarelli SMA model parameters. A series of SMA bars with the same geometric size and heat treatment were tested under cyclic loads. The Markov Chain Monte Carlo （MCMC） method is applied to analyze the uncertainties of SMA in terms of model parameters and energy dissipation capacity. The analysis provide insight into the underlying mathematical form of a model， suggest simplifications or modifications and begin to indicate the relative significance of individual parameters， based on a limited set of experimental data. Besides， research shows thatthe energy dissipation of the SMA bar could have up to a relative error of 20% and 10% corresponding to the CDF of 15% and 85%.

Keywords：shape-memory alloy; uncertainty analysis; Markov Chain Monte Carlo; probabilistic modeling

形状记忆合金（SMA）具备形状记忆，这使其在经历较大幅度的变形后，可通过加热或者卸载恢复原本形状[1]。奥氏体相下的SMA受到应力而发生变形，并在卸载后恢复原始形状的行为称为“超弹性”（或“伪弹性”）。SMA的化学成分以及生产中的冶金处理过程对上述性质具有显著影响，而材料固有的不确定性导致这两个因素不易被精确控制。SMA的单轴应力应变响应通常为典型的旗帜型滞回曲线，并且具有良好的自定心能力、能量耗散能力和循环可重复性[1-2]。这使其在结构抗震装置，如振动控制装置[3]、多跨桥梁的限位装置[4]等领域得到广泛应用，其数值模型也得到了深入的研究。现有研究中，当进行基于SMA装置的地震响应模拟时，SMA模型参数通常通过优化算法来确定[5-6]。然而，数学模型的简化、不可避免的实验误差和诸多其他因素均可能导致材料或者结构的数值模型产生不确定性，进而导致模拟结果具有局限性并可能失真[7]。

笔者提出对模型参数进行概率建模的方法，基于SMA棒材的实验数据，采用改进的Graesser和Cozzarelli模型与MCMC算法的组合来分析模型本身固有的不确定性，将模型参数视为随机变量，采用Metropolis-Hastings算法来生成样本参数集，揭示了参数的概率特性和参数之间的潜在相关性，并从模型参数的角度研究了SMA模型中固有的不确定性及其对材料能量耗散能力预测值的影响。

1 SMA的数值模型与材性试验

1.1 改进的Graesser & Cozzarelli 模型

1.2 SMA棒材的循环拉伸试验

采用粒子群优化（PSO）方法[11]得到使模型具备良好拟合效果的参数值作为初始参数组，通过试验得到一组SMA棒材的循环拉伸测试的实测数据，采用PSO方法得到模型的确定性参数值。试验试件的原材料为直径12 mm的镍钛SMA棒材，其化学成分如表1所示。棒材加工成“狗骨”形状的试样，削弱部分直径6 mm，便于循环拉伸测试，如图1（a）所示。热处理的温度为400 ℃，持续时间为15 min。退火后，观察到试样的颜色从银色变为金色，如图1（b）、（c）所示。试件的加载方式如图1（d）所示。在热处理之前，先对试件进行峰值应变为7%的准静态拉伸并卸载处理，使材料内部晶体结构重新排列，有助于其性能的发挥[12];处理结束后，试件产生了3.8%的残余应变。

将热处理后的试件进行循环拉伸试验，其加载制度如图2（a）所示。图2（b）为循环拉伸试验得到的滞回曲线，其数据用于后续的不确定性分析。在进行不确定性分析之前，基于峰值应变为0.08的两条滞回曲线，采用PSO方法得到使模型具备良好拟合效果的参数值作为初始参数组，有助于提高马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟时马尔可夫链的收敛速度。由PSO方法得到的初始参数具体数值如表2所示。从图2（b）可以看到，PSO优化方法得到的参数虽然使得模型具有良好的拟合效果，但模拟结果与试验数据仍旧存在偏差，因此，有必要研究模型中存在的固有不确定性。

2 MCMC不确定性分析

2.1 MCMC方法

马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）是一种通过建立一条按照提议分布π（x）平滑分布的马尔科夫链来获取所需样本点的方法。MCMC方法通过沿着马尔可夫链计算1/n∑ni=1f（Xi）的值，當该值趋于稳定后，将该值作为给定函数f相对于分布π（x）的期望Eπf的估计（此时认为马尔可夫链收敛），进而得到平滑服从所给提议分布的马尔可夫链的样本点。其中，1/n∑ni=1f（Xi）称为MCMC算子。通常，MCMC采样是渐进无偏且服从正态分布的[13]。

2.1.1 DRAM方法

采用MCMC方法中两个重要方法的结合，即延迟拒绝法（DR法，Delaying Rejection）和自适应采样（AM法，Adaptive Metropolis Samplers），简称为DRAM方法[13-14]。DR法通过适当调整标准Metropolis-Hastings（MH）算法中马尔可夫链每一步中的提议分布来提高MCMC算子的效率。AM法则是基于马尔可夫链的历史来调整提议分布。当提议分布的方差非常小时，标准MH算法倾向于以小步长“遍历”目标分布，而无法有效地探索状态空间，且样本点分布偏移样本空间中心，产生偏差。Haario等[14]的研究证明了AM方法能够解决“探索范围未覆盖整个样本空间”的问题，DR方法能够解决“样本集中位置偏移样本空间中心”的问题，而DR和AM的组合，即DRAM方法可以同时解决这两个问题。

2.1.2 似然函数

似然函数定义为给定的一组参数值下，模型模拟结果与实验数据一致的概率，也可以将其视为模型预测和实验测量之间的误差概率。ss函数是似然函数的一部分，用于描述归一化后的误差[15]。

2.1.3 参数的先验概率

在模拟开始之前，首先要建立参数的先验概率，包括参数的范围及其在该范围内的分布。研究表明，先验分布并不是MCMC模拟得到参数所收敛的后验分布的决定性因素，而是影响收敛速度的关键因素[16]。因此，模拟中仅根据数学或物理要求对参数的范围进行合理规定，不指定其分布方式。参数的先验概率设置如表3所示。

2.2 MCMC分析结果

2.2.1 模型参数

基于峰值应变为8%的加载循环试验数据得到的参数不确定性分析结果如表4、图4所示。表4列出了10个参数的概率特性，包括均值、方差和偏度。图4为所有参数的频率分布直方图，图4中大多数参数的频率分布呈现出单峰结构，表明对参数采样的马尔可夫链收敛服从该参数。

2.2.2 能量耗散

为了更好地说明不确定性研究的必要性，研究通过模型参数的概率分布建立材料耗能能力的概率特征，其概率密度示意图如图6（a）所示。与实验数据得到的结果相比，在累积概率密度为15%时，材料的能量耗散能力相对误差高达20%;累积概率密度为85%时，相对误差为10%。图6（b）显示了对应能量耗散的累积概率密度值分别为0.15、0.5、0.64和0.85时模型的拟合效果。结果显示，此时模型具有非常好的拟合效果，但没有PSO优化结果好。这表明更新模型参数不会消除或补偿模型模拟的偏差，但会将偏差控制在可接受的范围内。

3 结论

1）基于形状记忆合金棒材循环拉伸试验数据的DRAM算法采样得到的马尔可夫链体现出模型参数的概率特性。样本的分布特征（均值、方差等）体现出优化方法可能存在偏差，部分参数之间存在线性相关性，在进行数值模型研究时应予以重视。

2）数值模型的不确定性也体现在模型的耗能预测上，在累积概率密度为15%时，材料的能量耗散能力相对误差高达20%;累积概率密度为85%时，相对误差为10%。加载应变峰值对材料的耗能性能有明显影响，等效粘滞阻尼分布显示，加载峰值应变为6%时，材料耗能性能较其他对比组更好。参考文献：

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（编辑 章润红）