多约束导引控制一体化的自适应鲁棒滑模设计方法

2020-12-14田福庆孙世岩梁伟阁

哈尔滨工业大学学报 2020年12期

姜尚，田福庆，孙世岩，梁伟阁

(海军工程大学兵器工程学院,武汉 430033)

随着科学技术的日新月异与海战思想的发展进步,舰炮武器需要具备持续的火力支援能力与精确的远程打击能力[1].舰炮制导炮弹效费比高,可以对近岸目标进行有效毁伤,较好地适应了信息化、远程化、精确化的现代海战需求[2].

末端导引控制是舰炮制导炮弹实现精确打击的技术核心,直接决定其制导性能.随着攻防装备体系的升级,弹目相对运动速度加快,导引与控制系统的频率接近,不再满足时标分离条件[3],控制舱空间有限,需要共享传感器,以节省研发经费,同时提高装备可靠性;实战中客观存在的约束条件也制约着系统性能,如攻击角约束、执行器控制饱和、视线角速率测量受限等[4].显然,传统的时标分离设计方式与仅满足脱靶量约束的导引控制方法难以适应,学者们开始致力于研究满足多约束的IGC设计方法.

Williams等[5]在1983年首次提出了IGC概念,它以气动角为纽带,建立起导引系统与控制系统的直接联系,将两个子系统联合成为串级型的高阶非线性系统,根据相对运动、弹体运动、弹体姿态等信息,运用控制算法直接解算出执行器的操纵指令.此后,学者们结合现代控制理论取得了较为丰硕的成果,主要有最优控制[6]、鲁棒控制[7-8]、动态面控制[9-11]、自适应控制[7-9]、滑模控制[11-13](sliding mode control,SMC)、模糊控制[14]等.基于最优控制,Vaddi等[6]设计了一种适用于非线性系统的IGC方法,降低了求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的难度,并运用卡尔曼滤波估计目标机动,缺陷是未考虑客观约束条件,且算法繁琐.为了提升制导炮弹的制导性能,杨靖等[7]基于滑模观测器提出了一种鲁棒IGC设计方法,构造自适应鲁棒项有效地镇定了观测误差,使弹体能够在打击机动目标时适应气动参数摄动,缺陷是需要精确的视线角速率信息,但是弹体的旋转特性会限制捷联式导引装置的测量.反步控制在求解高阶导数时易诱发微分膨胀,Seyedipour等[9]结合一阶低通滤波器构建了动态面,既能够保证制导系统稳定,又提升了系统性能,同时还使控制器的设计过程得到了简化.进而,Shao等[10]设计了ESO对参数摄动等系统内外的未知干扰进行了准确而又迅速的观测,并将观测信息运用到动态面控制器的设计当中,有效地补偿了干扰对系统造成的负面影响,缺陷是在分析系统稳定性时未考虑观测误差项.ESO由韩京清[15]首次提出,其优势在于结构简易,即使缺乏被控对象的精确数学模型,也能够对系统状态以及未知干扰进行有效地观测,为IGC设计方法提供必要信息.在实际飞行过程中,舵面有时候会运行到机械极限位置,带来了控制饱和受限问题,这就很容易导致需用过载大于可用过载,不能够按照所需弹道飞行.Nussbaum增益函数常常被用来设计含有执行器饱和的非线性系统控制器[8],可以结合鲁棒、动态面以及自适应控制等,对由舵机偏转受限诱发的控制饱和非线性问题进行妥善地处理.

SMC的优势在于能够克服线性与非线性系统的不确定性,对作用于系统的不确定性干扰和建模误差具有良好的鲁棒性.Shtessel等[11]基于滑模控制提出了一种高阶非线性的IGC设计方法,较好地克服了机动目标与模型气动系数摄动造成的负面影响,使系统具备良好的鲁棒性.为了使导弹满足攻击角约束,Wu等[12]将弹体速度与水平面的夹角作为攻击角,在基于非线性滑模控制提出了一种IGC设计方法,提升了制导系统的综合性能.值得注意的是,通过对现有研究文献的分析,将命中时刻的弹体与目标速度之间的夹角视为攻击角更具有普适性[13].众所周知,如何有效地削弱SMC切换抖振是亟待解决难点问题,现常采用连续饱和函数替代符号函数,由于与干扰项有关的切换增益难以确定,削弱效果不尽如人意,为此,Ran等[14]设计了自适应模糊系统逼近不确定干扰,提高了IGC精度与鲁棒性,但参数较多、结构复杂,难以付诸实践.

综上所述,IGC是具有时变性、非线性、多不确定性的高阶次严反馈串级系统,约束条件更是给系统的有限时间内收敛性与稳定性带来了不小的挑战,因此,现有文献多针对单约束,但多约束恰是作战中存在且亟待解决的需求.本文充分考虑了客观存在的多项约束和作用于弹体的各类未知干扰,提出了设计方法ARSMDS,运用Lyapunov稳定性理论严谨地证明了终端视线角跟踪误差与视线角速率能够在有限时间内收敛,以及系统的一致最终有界性.

1 系统建模

1.1 运动与力学模型

舰炮制导炮弹转速较低,马氏力与马氏力矩带来的通道耦合因素较小,铅直面内弹目相对运动关系如图1所示,Px0y0、Px1y1、Px2y2、Px6y6、Tx7y7、Tx8y8分别为弹体基准、弹体、弹道、视线、目标基准、目标弹道坐标系,P、T、r、θQ、θ、α、δz分别为弹体、目标、弹目距离、视线角、俯仰角、准攻角、俯仰舵偏角,vP、aP、θP与vT、aT、θT分别为P、T的速度、法向加速度、弹道倾角.

图1 弹目相对运动关系

假设1[8]视T为质点,r、θQ、θP、θT易测,P、T仅在速度法向有加速度,且始终满足vP>vT.

弹目相对运动关系为

(1)

令θQT=θQ-θT,θQP=θQ-θP,对式(1)求导可得:

考虑舵机一阶动态特性,舰炮制导炮弹在铅直面内的动力学模型为

假设2[12]升力主要由α产生,将δz产生的升力视为有界不确定干扰.

1.2 近岸机动目标模型

近岸机动目标由一阶惯性环节描述:

1.3 攻击角模型

将攻击角ϑE定义为命中时刻弹目速度夹角,如图2所示,攻击角约束即要求弹药以ϑE命中目标.

图2 攻击角

通过零化弹目相对法向速度可得:

由于近岸地势比较平坦,而且能够使用无人侦察手段获取,因此可以将θTf视为已知量.即,对于任一给定的ϑE,都存在着唯一的θQf与之相对应[1].

1.4 系统状态空间

(2)

其中,各函数与参量为

(3)

di(i=2,3,4,5)是考虑目标机动、模型假设、建模误差、气动参数摄动的综合干扰项,具体形式为

为便于IGC的设计,现引入一种连续可微的双曲正切函数g(x5)来描述俯仰舵偏角饱和.

此时系统状态空间为

(4)

本文针对系统(4),在状态变量x2测量受限、x5饱和受限、di未知有界的条件下,通过设计方法ARSMDS得到控制量u,令x1与x2在有限时间内收敛至零点的任意小邻域内,系统一致最终有界.

2 ARSMDS设计

2.1 ESO设计

为观测d2,定义观测量[zx1,zx2,zd2],建立ESO为

(5)

式中,0<β2i(i=1,2,3),0<σ2i<1(i=1,2), 0<η2i<1(i=1,2),非线性函数fal为

通过文献[16]可推导出ESO(5)的稳态误差为

(6)

由式(6)可知,无论干扰项是否连续,选择合适参数,令β23远大于β21、β22,就可以对其进行精确地观测,即zx1→x1、zx2→x2、zd2→d2.同理,为观测di(i=3,4,5),定义观测量[zxi,zdi],分别建立ESO为

(7)

(8)

(9)

式中,各参数取值范围同式(5).

2.2 非奇异终端滑模设计

为保证系统(4)中的x1、x2在有限时间内快速收敛至零点的任意小邻域内.

引理1[1,17]考虑如下系统：

现选用一种非奇异终端滑模:

s2=x1+β|x2|γsign(x2),0<β,1<γ<2,

(10)

求导可得:

(11)

为了使滑模在趋近的过程中具备优良的性能,运用弹目接近速率与弹目相对距离来设计滑模的自适应指数趋近律,即

(12)

式中,|e21|≤k2,0

(13)

定理1针对由系统(4)中第1、2个等式所组成的子系统,通过ESO(5)与控制指令(13)的调控,x1与x2在有限时间收敛内收敛至零点附近任意小的邻域内.

根据Lyapunov稳定性定理,当x2≠0时,s2在有限时间内收敛至零,当x2=0时也成立[18],在此后有

根据引理1,x1、x2在有限时间内收敛至零点附近任意小的邻域内.

为了削弱控制量的高频震颤,在现有文献中,通常引入连续饱和函数sat(s)=s/(|s|+δ)来替换滑模切换项,0<δ,则有

(14)

2.3 自适应鲁棒动态面设计

针对镇定系统(4),简化虚拟控制量的求解过程,并结合自适应鲁棒项削弱抖振.

步骤1定义s2为动态面2

地下室是建筑整体中重要的基础结构，对抗震性能要求较高。为了保证地下室的抗震性能，要求地下室的墙柱要保持和上部结构的墙柱协调统一。按规范要求作为被嵌入上部结构中的地下室顶楼盖应该采用梁板结构，无梁楼盖的地下室顶板不能被嵌入上部结构中。结构的计算应从上往下算，直至达到嵌固端要求的地下室底板位置，底部加强区的剪力墙结构层数应从地面往上算，而且包括地下层。

步骤2定义动态面3为

s3=x3-x3d,

求导可得：

(15)

(16)

选取观测误差:

s4=x4-x4d,

求导可得：

(17)

步骤4定义动态面5为

s5=g-gd,

求导可得：

定义1[19]若连续函数N(χ)满足以下性质:

则N(χ)为Nussbaum函数.

为有效地处理出现的控制输入饱和受限问题,设计控制量为：

(18)

(19)

选取Nussbaum函数,设计其自适应律为:

N(χ)=eχ2cos(χ),

3 稳定性分析

引理2[20]对任意给定的1阶线性非齐次微分方程dy/dt+P(x)y=Q(x),它的通解形式为

其中,C为任意常数.

引理3[21]V(t)与χ(t)是定义域为[0,tf)的光滑函数,0≤V(t),N(·)是光滑Nussbaum函数,∀t∈[0,tf),若有不等式下式成立,则V(t)与χ(t)是有界的.

虚拟控制量的误差项为

求导可得：

进一步推导可得：

经推导可得:

选取全系统Lyapunov函数V,即

(20)

定义动态面向量s=[s2,s3,s4,s5]T,其范数为

定理2对于系统(4),采用式(5)、(7)～(9)的ESO,鲁棒自适应律为式(16),控制量如式(14)、(15)、(17)、(18),(19)通过选择适宜的参数,系统一致最终有界,动态面向量的范数‖s‖满足下式：

(21)

证明对式(20)进行微分,可得：

为保证系统稳定,选取合适的参数满足：

(23)

由引理2可得式(23)的解满足如下不等式：

(24)

由上式可知，影响系统收敛速度与精度的参数主要有ε、ζ、γχ，经分析可知ε、γχ与收敛精度成正相关，ζ与收敛精度成负相关，进一步地，可以通过调整影响ε、ζ、γχ的mi、ρ、κi等参数来间接调控收敛速度与精度，但这些参数的取值必须满足式(21).根据引理3与Barbalat引理,系统一致最终有界.进而,式(21)经过进一步地推导,可得：

由式(24)可得：

V(T)-V(0)≤V(T)-V(0)e-2εT≤

(25)

进一步地,由式(24)、(25),推导可得：

证毕.

4 仿真实验

为验证ARSMDS的有效性与鲁棒性,考虑了气动参数摄动,通过数字仿真模拟复现了打击正弦与方波机动目标的工况,并引入文献[19]中的自适应动态面控制(ADSC)作为对比,受篇幅所限仅展示部分结果.

弹体气动参数、弹目运动参数、制导参数见表1～3.了体现ARSMDS无需视线角速率,式(3)、(4)、(5)、(10)、(14)中都使用zx2,设定导引盲区为30 m,盲区内舵机指令不变,依靠惯性飞行.

表1 弹体气动参数

表2 弹目运动参数

表3 导引控制参数

4.1 工况1:正弦机动目标

表4 工况1仿真实验结果

图3(a)为弹目运动轨迹,ARSMDS、ASDC都可以成功地攻击正弦机动目标,ARSMDS弹道更为平直,通过分析表4可知,ARSMDS使脱靶量等重要指标得到了优化,降低了气动参数摄动对制导系统的影响.法向加速度在图3(b)中展示,仅采用自适应鲁棒项的ASDC不能有效地处理未知干扰,而ARSMDS将ESO与鲁棒控制相结合,降低了加速度的峰值与变化范围,变化趋势更为平滑.从图3(c)中可以看出,准攻角的变化趋势与法向加速度保持一致,验证了假设2的正确性,ASDC受气动参数摄动影响较大,出现了突变与发散的现象,而ARSMDS通过ESO与鲁棒项的调控,使准攻角的变化始终保持在较小的范围内,有益于弹体稳定飞行.由图3(d)可知,通过引入自适应Nussbaum函数,ARSMDS有效地处理了饱和非线性问题,较好地保护了舵机,尽量避免因舵机控制饱和而达不到战技指标.视线角、视线角速率的变化情况如图3(e)、(f)所示,在ARSMDS的调控下,视线角与视线角速率自7 s后能够稳定地保持收敛状态,x1与x2有限时间收敛,ARSMDS收敛速度优于ASDC.分析图3(f)～图3(i)可知,ESO能够对视线角速率与干扰进行快速准确地观测,为设计方法提供重要信息,使弹体具备足够的可用过载,以补偿不确定性干扰对制导飞行的负面影响.

4.2 工况2:方波机动目标

图3 工况1仿真实验曲线

表5 工况2仿真实验结果

图4(a)为弹目运动轨迹,两种设计方法都可以令弹体命中作正弦机动的目标,通过分析表5可知,ARSMDS在ESO与自适应鲁棒项的调控下,降低了气动参数摄动的不利影响,提升了制导系统性能.法向加速度的仿真曲线在图4(b)中描述,ASDC受气动参数摄动等不确定性干扰的影响较大,致使其加速度峰值较大、收敛速率缓慢,并且存在抖振发散的现象,而ARSMDS使弹体能够较好地适应气动参数在一定范围内的摄动,制导系统具备良好的鲁棒性.图4(c)展示了准攻角的变化曲线,由于设计并采用了ESO、自适应鲁棒项等有效措施,ARSMDS准攻角的变化范围较小、变化趋势平缓,这有利于弹体在末制导段的稳定飞行.观察图4(d),在不确定性干扰的影响下,ASDC舵偏峰值与变化范围都比较大,而ARSMDS通过引入自适应Nussbaum增益函数,妥善地处理了由舵偏受限诱发的控制饱和非线性.视线角与视线角速率的变化情况在图4(e)～图4(f)中描绘,ARSMDS可以令终端视线角跟踪误差在7 s后保持稳定的收敛状态,充分体现出“定理1”的正确性.图4(f)～图4(i)表明ESO具有良好的观测性能与鲁棒性,即使在气动参数摄动范围较大的工况下也能够快速准确地观测出视线角速率与综合干扰项,为ARSMDS提供了准确的必要反馈信息,使弹体具备足够的可用过载,进一步提升了制导系统性能与战技指标.